高考数学考点专题：立体几何：空间几何体的表面积与体积

33233323空间几何体的表面积与体积【考点梳理】1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱

圆锥

圆台侧面展开图侧面

S

圆柱侧

＝

S

圆锥侧

＝

S

圆台侧积公式

2πrl

πrl

＝π(r＋r)l2.空间几何体的表面积与体积公式几何体

名称

表面积

体积柱体棱柱和圆柱)

S

表面积

＝S＋S侧

底

＝S底锥体棱锥和圆锥)

S

表面积

＝S＋S侧

底

1＝S底台体

S

表面积

＝S

侧

1＝(S＋S上

下棱台和圆台)

＋S＋S上

下

＋SS)h上下球

S＝

4＝π

3【教材改编】1必修2内文改编以长为a宽为的矩形的一边所在的直线为轴旋转一24周所得圆柱的侧面积为)A．．2π[案]

．πabD．2ab[析]

若以长边所在的直线为轴旋转，则S＝2ab侧3球3223球322若以短边所在的直线为轴旋转，则S＝2πba.侧∴S

圆柱侧

＝2πab故选C.2．必修2例改编)圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与27圆柱的体积比∶为()球柱A．12．34[案]B

．2∶3D．13[析]

设球的半径为R4πR2则＝＝，故选B.πR×2柱3．必修2练习改编)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为15()A．6．23[案]B

．33D．3[析]

由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，其底面为侧视图，该侧视图是底边为，高为3三角形，正视图的长为三棱柱的高，h3，所以几何体的体积＝Sh＝×2×33.4．必修B组改编)已知等腰直角三角形的直角边的长为，将该三角303形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()333333333323333333333222

B.

423．22[案]B

D．42[析]

绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个底面重合体积的圆锥如图所示一个圆锥的底面半径和高都为，1π故所求几何体的体积＝××2π2＝.5．必修2BT改编)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，37容器高8，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6，如果不计容器厚度，则球的体积为)500πcm

866πB.C.

1372π3

cm

2048πD.cm[案]A[析]

如图，作出球的一个截面，则MC8－6＝2(cm)，1BM＝AB＝×8＝4(cm)．222球3334max22222222323222球3334max222222223234设球的半径为Rcm则＝OM＋MB＝(－2)＋4∴＝5∴＝π×5500π＝)．

36．必修2AT改编)已知圆柱内接于半径为1的球，则圆柱的侧面积的35最大值为()A．．3π[案]B

．2πD．4π[析]

如图所示，该圆柱上、下底面圆心连线的中点M即为外接球的球心，设为下底面圆的一条直径，设∠＝α，∵MA＝，∴＝sin，AO＝，∴OO′＝2sin，∴该π圆柱侧面积S＝π＝2π·2sinαcosα＝πsin2α当α＝时＝2π.7．必修2BT改编)由八个面围成的几何体，每一个面都是正三角形，36并且有四个顶点、B、D在同一个平面内，是边长为的正方形，则该几何体的体积为_______．[案][析]

该几何体的六个顶点分别是正方体的六个面的中心，如图到平面ABCD的距离为h＝

1－AC＝

1

2－12∴该几何体体积＝×××＝.3322223322228．必修2AT改编)在长方体-AD中，AB＝BC＝2过，28111，三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD-CD，11这个几何体的体积为

403

，则经过，C，，D四点的球的表面积为________．1[案][析]

24π设＝x，11则AD＝-ABD－VB-C＝×××××x11111140＝，则x＝4.因为，C，，D是长方体的四个顶点，所以经过A，C，B，四点的球11的球心为长方体-BCD的体对角线的中点长方体的体对角线为球的直11径，所以球的半径R＝

2＋＋

＝，所以球的表面积为π.9(必修2练习T改编)已知圆锥的侧面积为a，且它的侧面展开图为半27圆，则圆锥的体积为________m

3

.[案]

a6

3a2π[析]

圆锥的直观图与侧面展开图如图所示．2223223322232233设圆锥的底面半径为r母线为l则rl＝a，①2πr＝l，②联立①②解得r＝

aa，l＝2，2π2π＝l－r＝13a.2π

a1，∴圆锥的体积＝πr·＝π·2π132

3aa＝2π10(必修2P球体的体积改编已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体32的体积为________[案]

163

π[解]

由三视图可知，该几何体是一个圆柱挖去了一个圆锥，其体积为116π×2×2－π×2×＝π.11(必2PB组T改编)一块边长为cm正方形铁片按如图所示的阴影374部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥面是正方形从顶点向底面作垂线垂足是底面中心的四棱锥)形容器若正四棱锥底面边长为.222223正方形626235323332324222223正方形6262353233323246333273max求容器的容积(x；求(x的最大值；求当(x取最大值时正四棱锥的全面积．xa[析](1)如图，＝，OF＝＝，(0<<a)∴EO＝－OF1＝－x1∴(x＝＝a－x1V()＝x－，令＝ax－(0<<a)，则′＝4a

2

x

－6

＝2

(2a

2

－3

．6当′＝0，x＝6当′<0时，axa，′>0时，x6∴＝ax－<a)在0)上是增函数，664在(aa)上是减