高考数学回归基础知识三函数的基本性质

1若f(x)在1若f(x)在间，上都是增减)函数，但在∪D2上不一定是(减)函数。的不等关系可以“正逆互推三、函数的基本性质一)数的单调性1单调性一般地，设函数f(x)的义域为I如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x,x，当x1

<x1时，都有f(x

)<f(x)，那么就说函数f(x)区间D上增函数，如下图(所示。1如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x

,x1

，当x

<x1时，都有f(x

)>f(x)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数。如果数1在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性做区间。

间D叫的单调拓展与提示(1)定义中的x具有任意性，不能用特殊值代替。2单调性的由于定义域都是充要性命题，因此由f(x)是增(减函数，且判断方法f()f(x)x)，说明单调性使得自变量间不等关系和函数值之间12定义法。用定义法判断函数单调性的步骤为第一步：取值。设x、x是该区间内的任意两个值，且12

<x12

。第二步：作差、变形。准确作出差值，并通过因式分解、配方、分(分母)有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形。第三步：判断f(x

)-f(x)［或f(x)-f(x)的符号。122第四步：根据定义作出结论。简记为“取值—作差—变形—定号—结论(2)接法。运用已知的结论，直接得到函数的单调性，常见结论有：/

ax1例讨论函数fx)(x2ax1例讨论函数fx)(x2f()f(x)解析设-2<x<x，则上是减函数；a(a)).x时，时，f(x)①函数y=-f(x)与函数y=f(x)的单调性相反；②当函数f(x)恒为正或恒为负时，函数

y

f(x)

与y=f(x)的单调性相反在公共区间内增函数+函数和为增函数，增函数-减函数，其差为增函数等。(3)象法：按照作图的方法，准确作出函数的图象，观察判断函数的单调性。(4)导法当x∈(a,b)f′f(x)在(a,b)上递增当x∈(a,b)f′(x)<0则f(x)在(a,b)递减。拓展与提示：定义有如下等价形式设x,x∈么1

)

在(-2)上的单调性。①1f(x)在a上是增函数，x1axaaf(x).x

f(x)f()1xx12

(x)在,b②

()-f(x)f(x)f()在［a,b］上是增函数，(x)f()()f(x上减函数。2xx2

(1a)(

1)xx2

.

(1a)

12.(xx2)2又∵-2<x<x，∴1

x1(x2)21

∴当，即

时，上式<，即f(x)<f(x)21当时，即

时，上式>0即f(x)>f(x)21∴当

axf()x

在(-2+)上为减函数当

x

在(-2+)上为增函数3复合函数的单调性/

2二次函2二次函数在闭区间上的最值对于复合函数y=fg(x)t=g(x)在间(上是单调函数则y=f(t)在区间(g(a),g(b))或(g(b),g(a))是单调函数t=g(x)单调性相同(时为增或减)，则［g(x)为增函数，若t=g(x)g=f(x)单性相反，则［g(x)］减函数，简单地说成“同增异减Y=f［g(x)

增增增

减减增

增减减

减增减二)数的最大(小)值1定义一般地，设函数的定义域为I如果存在实数M满：对于任意的x∈I，有f(x)≤M；存在x

0

∈I，得f(x

0

那么，我们称M是函数y=f(x)的大值。同样地：如果存在实数M满足：对于任意x∈I，有f(x)≥M；存在x

0

∈I，得f(x

0

那么我们称M函数的最小值。拓展与提示(1)函数的最小)值是函数的图象的最高点(最低点对应的纵坐标。一个连续不断的函数在闭区间］一定有最大值和最小值。求函数最值的常见方法为①构造二次函数；②单调性法；③导数法。二次函数f(x)=ax论：

2

，当，在闭区间［m,n上的最值可分如下讨①若

b2a

m

时，则最大值为f(n)，最小值为f(m)/

∵1，2函数奇偶性的性∵1，2函数奇偶性的性②若

时，则最大值为f(m)，最小值为；③若

bm2a

n

时，则最大值为f(m)或f(n)最小值为f().a例已知若f(x)=ax

2

-2x+1在［1］上最大值为M(a)最小值为N(a)令g(a)=M(a)-N(a),求的函数表达式。解析

1f()

.1a又∵x∈［，］

.∴当

x

时，f(x)=N(a)=min

1

1a当

，即时，f(x)=M(a)=f(3)=9a-5.max当

1即2

时，f(x)=M(a)=f(1)=a-1max∴

1192g()(a)Na)1a2,a3三)数的奇偶性1定义偶函数一般地如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。奇函数般地果对于函数f(x)的义域内任意一个x有，那么函数f(x)就做奇函数。拓展与提示①并不是所有的函都具备奇偶性些既不是奇函数又不偶函数的函数称为非奇非偶函数；既是奇函数又是偶函数的函数只有一个，就是。②判断函数奇偶性的前提条件是定义域关于原点对称，否则称为非奇非偶函数。/

若函数f(x)是偶函数，那么：①对任意定义域的x,都；②函数f(x)的象关于y轴称；③函数f(x)在个半对称区间上的单调性是相反的。若函数f(x)是奇函，那么：①对任意定义域内的x，都有f(-x)=-f(x)；②函数f(x)的象关于坐标原点对称；③函数f(x)在个半对称区间上的单调性是相同的。3函数奇偶性的判定方法定义法f(x)是函数(x)f()f()f(x)是函数f(f(x)f()(x)利用图象的对称性f(x)是函数f(xf(x)是函数f(x

的图象关于原点对称。的图象关于y对称。例

设函数f(x)对意xyR都有f(x+y)，且x>0时f(x)<0f(1)=-2。求证：f(x)为奇函数试问在-3x≤3f(x)是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由。解析

∵f(x)对于任意x、∈都有成立∴令x=y=0得f(0)=f(0)+f(0)，f(0)=0/

再令y=-x得f(0)=f(x)+f(-x)，即f(-x)=-f(x)，f(x)为函数。设x<x1

时∈f(