高考数学三角函数与解三角形练习题

三角函数与解三角形

一、选择题

（2016·7）若将函数

y=2sin

2x

的图像向左平移

12

个单位长度，则平移后图象的对称轴为（

）

B．

x

(k

Z

)

A．

x

k

(k

Z

)

2

6

k

2

6

C．

x

(k

Z

)

D．

x

(k

Z

)

k

2 12

k

2

12

)

，则

sin

2α

=（

）

（2016·9）若

cos(

3

4

5

B．

C．

A．

7

25

1

1

5

5

D．

7

25

（2014·4）钝角三角形

ABC

的面积是

1

，AB=1，BC=

2

，则

AC=（ ）

2

A．5 B．

5 C．2 D．1

（2012·9）已知

0

，函数

f

(

x)

sin(x

)

在

(

,

)

单调递减，则

的取值范围是（）

4

2

A.

[

,

]1

5

1

3

2

4 B.

[

2

,

4

]

1

C.

(0,

]

D.

(0,2]

2

=

（2011·5）已知角

θ

的顶点与原点重合，始边与

x

轴的正半轴重合，终边在直线

y=2x

上，则

cos2θ

（ ）

5

B．

3

5

D．

4

A．

4

5

C．

3

5

2

)

的最小正周期为

，且

f

(

x)

f

(

x)

，

（2011·11）设函数

f

(

x)

sin(x

)

cos(x

)(

0,|

|

A．

f

(

x)

在

(0, )

单调递减

B．

f

(

x)

在

(

,

)

单调递减

C．

f

(

x)

在

(0, )

单调递增

D．

f

(

x)

在

(

,

)

单调递增

则（ ）

3

2 4 4

3

2 4 4

二、填空题

（

x

0,

（2017·14）函数

f

x

sin

2

x

3

cos

x

3

4

2

）的最大值是

．

（2016·13）△ABC

的内角

A、B、C

的对边分别为

a、b、c，若

cos

A

4

5

5

，cos

C

，a

=

1，则

b

=

.

13

（2013·15）设

为第二象限角，若

tan(

)

，则

sin

cos

_________.

（2014·14）函数

f

(

x)

sin(

x

2)

2sin

cos(

x

)

的最大值为_________.

1

4 2

,

（2011·16）在△ABC

中，

B

60o

AC

3

，则

AB

2BC

的最大值为 .

三、解答题

（2017·17）

ABC

的内角

A,

B,

C

的对边分别为

a,

b,

c

,已知

sin(

A

C

)

8sin

2

B

2

．

sin

B

（1）求

cos

B

；

（2）若

a

c

6

,

ABC

面积为

2，求

b.

．

（2015·17）在∆ABC

中，D

是

BC

上的点，AD

平分∠BAC，∆ABD

面积是∆ADC

面积的

2

倍．

（Ⅰ）求 ；

sin

C

（Ⅱ）

若

AD=1，DC=

2

2

，求

BD

和

AC

的长．

（2013·17）在△ABC

内角

A、B、C

的对边分别为

a，b，c，已知

a=bcosC+csinB.

（Ⅰ）求

B；

（Ⅱ）若

b=

eq

\o\ac(△,2)

，求 ABC

面积的最大值.

（2012·17）已知

a，b，c

分别为△ABC

三个内角

A，B，C

的对边，

a

cos

C

3a

sin

C

b

c

0

.

（Ⅰ）求

A；

（Ⅱ）若

a

eq

\o\ac(△,=2)

， ABC

的面积为

3

，求

b，c.

，令

2

x

kπ

+

，得对称轴方程：

（

2016·

7）

B

解析：

平移后图像表达式为

y

2sin

2

x

x

k

Z

，故选

B．

2011

年—2017

年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编

8．三角函数与解三角形（逐题解析版）

一、选择题

π

12

π

π

12

2

kπ π

2 6

3 π π 7

（2016·

9）D

解析：∵

cos(

)

，sin

2

cos(

2

)

cos[2(

)]

2cos

2(

)

1

，故选

D．

4 5 2 4 4 25

（2014·4）B

解析：∵

S

ABC

1

1

1

|

AB

|

|

BC

|

sin

B

，即：

1

2

sin

B

，

2

2

2

∴

sin

B

2

2

，即

B

45o

或135o

．

又∵

|

AC

|2

|

AB

|2

|

BC

|2

2

|

AB

|

|

BC

|

cos

B

，∴

|

AC

|2

1

或

5，

又∵

ABC

为钝角三角形，∴|

AC

|2

5

，即：

|

AC

|

5

.

∵

0，∴

.

（

2012·9

）

A

解

析

：

由

1 5

2 4

3

1

5

2k

2k

,

k

Z

得

，

4k

2k,

k

Z

，

2

2

4

4

2

2

4

（2011·5）B

解析：由题知

tan

2

,

cos2

cos2

sin2

1

tan

2

3

，故选

B.

cos2

sin2

1

tan

2

5

2

)

的最小正周期为

π，所以

2

，

（2011·11）A

解析：Q

f

(

x)

2

sin(x

4

)(

0,|

|

又

f

(x)

f

(x)

，∴

f

(x)为偶函数，=

x

+k

,

k

Z

，f

(x)

2sin(2

)

2cos2x

，故选

A.

4

2

（2017·14）1

【解析】∵

f

x

sin

2

x

3

cos

x

x

0,

，

sin2

x

cos2

x

1，

二、填空题

3

4

2

，设

t

cos

x

，t

0,1，∴

f

x

t

2

3t

，函数对称轴为

t

∴

f

x

cos2

x

3cos

x

1

1

4

4

3

2

0,1，

max

1

．

∴

f

x

（2016·

13）

21

4

5

3

12

解析：∵

cos

A

，

cos

C

，∴

sin

A

，

sin

C

，

13

5

13

5

13

sinB

sinA

C

sinAcosC

cosAsinC

，由正弦定理得：

，解得

b

．

63 b a 21

65 sin

B sin

A 13

（2014·14）1

解析：∵

f

(x)

sin(x

2)

2sin

cos(x

)

sin[

(x

)]

2sin

cos(x

)

sin

cos(

x

)

cos

sin(

x

)

2sin

cos(

x

)

cos

sin(

x

)

sin

cos(x

)

sin

x

∵

x

R

，∴

f

(

x)

的最大值为

1.

解析：由

tan

（2013·15）

10

5

π

1

tan

1

1

1

，得

tan

θ＝

，即

sin

θ＝

cos

θ.

将其代入

4

1

tan

2

3

3

sin2θ＋cos2θ＝1，得

10

9

cos2

1

.

因为

θ

为第二象限角，所以

cos

θ＝

3

10

10

，sin

θ＝

，

10

10

sin

θ＋cos

θ＝

10

5

.

（2011·16）

2

7

解析：

A

C

1200

C

1200

A

,

A

(0,120

0)

，

AB AC

2

AB

2sinC

2sin(120

A)

3cos

A

sin

A

sinC sin

B

BC

AC

2

BC

2sin

A

，

sin

A

sin

B

，

AB

2

BC

3

cos

A

5sin

A

28

sin(

A

)

2

7

sin(

A

)

，故最大值是

2

7

.

三、解答题

（2017·17）

ABC

的内角

A,

B,

C

的对边分别为

a,

b,

c

,已知

sin(

A

C

)

8sin

2

（1）求

cos

B

；

（2）若

a

c

6

,

ABC

面积为

2，求

b.

．

B

2

．

解析：（Ⅰ）【解法

1】由题设及

A

B

C

,sin

B

8sin

2

B

2

4

，故

sin

B

（1-cosB），

上式两边平方，整理得

17cos

2B-32cosB+15=0

，解得

cosB=1（舍去），

cosB=

.

15

17

【解法

2】由题设及

A

B

C

,sin

B

8sin

2

B

B

B

B

B

，所以

2sin

cos

8sin

2

，又

sin

0

，所

2

2

2

2

2

B

1

2

15

2

4 B

17

以

tan ，

cos

B

1

tan

2

1

tan

2

B

2

.

（Ⅱ）由

cosB=

得

sin

B

，故

S

=2，则ac

，

b2

a2

c2

2ac

cos

B

（a

+c）2

2ac(1

cosB)

36

2

17

sin

B

（Ⅱ）

若

AD=1，DC=

，求

BD

和

AC

的长．

15 8 1 4 17

ABC

2

ac

sin

B

17

ac

，又

SABC

17 17 2

由余弦定理及

a

c

6

得

15

(1 )

4

，所以

b=2．

2 17

（2015·17）在∆ABC

中，D

是

BC

上的点，AD

平分∠BAC，∆ABD

面积是∆ADC

面积的

2

倍．

（Ⅰ）求 ；

sin

C

2

2

ABD

1

AB

AD

sin

BAD

，

S

ADC

AC

AD

sin

CAD

，

因

为

S

解

析

：（

Ⅰ

）

S

1

2

2

ABD

2S

ADC

，

BAD

CAD

，所以

AB

2

AC

，由正弦定理可得

.

sin

B AC 1

sin

C AB 2

（Ⅱ）因为

S

ABD

:

S

ADC

BD

:

DC

2

，

DC

2

2

，所以

BD

2

，在

ABD

和

ADC

中，

由余弦定理知，

AB2

AD2

BD2

2AD

BDcosADB，

AC2

AD2

DC2

2AD

DCcosADC，

故

AB

2

2

AC

2

3

AD

2

BD

2

2DC

2

6

，由（Ⅰ）知

AB

2

AC

，所以

AC

1

.

（2013·17）在△ABC

内角

A、B、C

的对边分别为

a，b，c，已知

a=bcosC+csinB.

（Ⅰ）求

B；

（Ⅱ）若

b=

eq

\o\ac(△,2)

，求 ABC

面积的最大值.

解析：（Ⅰ）由已知及正弦定理得

sin

A＝sin

Bcos

C＋sin

Csin

B

①，

又

A＝π-(B+C)，故

sin

A＝sin(B+C)

＝sin

Bcos

C+cos

Bsin

C

②，由①，②和

C∈(0，π)得

sin

B＝cos

B，又

B∈(0，π)，所以

B

4

.

ac

.

由已知及余弦定理得

4=a2

+c2

2ac

cos

.

又

a2＋c2≥2ac，

1 2

（Ⅱ）△ABC

的面积

S

acsin

B

2 4 4

故

ac

4

2

2

，当且仅当

a＝c

时，等号成立．因此△ABC

面积的最大值为

2+1

.

（2012·17）已知

a，b，c

分别为△ABC

三个