高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解

高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解第一章函数、极限、连续第1函数★基本内容学习一基本概念和性质1数的定义设有两个变量x和y，变x的变域为，如果对D中的每一个x值，按照一定的法则变量有一个确定的值与之对应称变量y为变量x的函数作：。2数概念的两要素①定义域：自变量的变化范围②对应关系：给定x值,y的方法。函数的三种表示方法①显式形如的称作显式它最直观也是初等函数一般采用的形式。②隐式：有时有些关系用显式无法完全表达，这时要用到隐式，形如x2y2，如椭圆函数。③参数式：形如平抛运动的轨迹方程

称作参数式。参数式将两个变量的问题转化为一个变量的问题，从而使很多难以处理的问题简化。4函数的四个基本性质1高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解①奇偶性：设函数在对称区间X上有定义，如果对于

恒有或，则称为偶函数(或奇函数)。注：偶函数图形关于轴对称，奇函数的图形关于坐标原点对称。②有界性数在区X上有定义如果使得对一切恒有：则称在区间X有界若不存在这样的则称在区间X上无界注：函数有无界是相对于某个区间而言的。③周期性：设函数在区间X上有定义,存在一个与无关的正数，使对任一，恒有

则称是以T为周期的周期函数，把满足上式的最小正数T称为函数的周期。④单调性：设函数在区间X上有定义，如果对

恒有：或

则称在区间X是单调增加(或单调减少)的；如果于

恒有：

或则称在区间X上是严格单调增加(或严格单调减少)的。5它函数定义①复合函数：设函数的定义域为Df而函数的定义域是值域为若则称函数数，它的定义域是{x∣且。这里表示空集。

为x的复合函②反函数：设函数的值域为Zf，如果对于Zf中任一y值，从关系式中可确定唯一的一个x值，则称变量x为变量y的函数，记为：，2高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解其中称为函数的反函数，习惯上的反函数记为：。6等函数常值函数为常数)，幂函数定由定但不论，在(0,

且x④对数函数且⑤三角函数如；；；

等⑥反三角函数；；；以上六类函数称基本初等函数。由基本初等函数经有限次加、减、乘、除、复合而成的函数称初等函数。7分段函数一个函数在其定义域当当②取整函数[x]表示不超过x的最大整数；当，其中为整数。当x为有理数时③狄利克莱(Dirichlet)数当x为无理数时3高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解④绝对值函数★基本题型训练一典型例题1断函数的等价性例下列各题中，函数f(x)与g(x)是否相同？为什么？；

；解：不相同，因为lgx2的定义域是，而2的定义域是。不相同，因为两者对应法则不同，当时，。相同，因为两者定义域、对应法则均相同。不相同，因为两者定义域不同。2函数的定义域例设的定义域为则f(x)的定义域为多少？解：函数的)定义域是指x的变化范围，即令则对函数f(x)而言的变化范围为函数表达式的变量无关性”，知：f(x)定义域为。常见错误：。主要是对定义域所指的变量取值范围理解不深，误认为，由此得到。3断函数奇偶性例下列函数中哪些是奇函数，哪些是偶函数，哪些是非奇非偶函数？4高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解(2)2解：(1)因为为奇函数，为偶函数，所以

为奇函数。故f(x)为奇函数4断函数的周期性例下列哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期。解是周期函数，周期为；是周期函数，周期是25断函数单调性例设f(x)在上有定义，且对任意x有证明

在上单调增加。2证明：设

所以，而所以

所以即F(x)在

上单调增加。6反函数例1.7求函数5高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解解：令。所以，，所以，所以反函数7合函数求法

即为所求。例设

则f[g(x)]等于多少？解：当当

时，时，

，所以当时有；所以时有故，。注求复合函数一般用三种方法分析法代入法图示法本题用的是分析法，下面分别介绍这三种方法。分析法：是抓住最外层函数定义域的各区间段，结合中间变量的表达式及中间变量的定义域进行分析从而得出复合函数的方法该法适用于初等函数与分段函数或分段函数之间的复合。代入法：将一个函数中的自变量用另一个函数的表达式来替代，这种构成复合函数的方法称之为代入法该法适用于初等函数或抽象函数的复合这种方法在求复合函数时一般最先想到。图示法借助于图形的直观性达到将函数复合的一种方法适用于分段函数，尤其是两个均为分段函数的复合。关于图示法解题的一般步骤如下：先画出中间变量函数的图形；把的分界点在平面上画出这是若干条平行于x轴的直；③写出u不同区间段上所对应的变化区间；④将③所得结果代入中得的变6

的表达式及相应x高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解化区间。关于这种方法我们会在后面的练习或者能力拓展中用到。二能力拓展例设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，

表示M的充分必要条件是N”，则必有F(x)是偶函数是奇函数。F(x)是奇函数是偶函数。F(x)是周期函数是周期函数。F(x)[A]解法一：任一原函数可表示为，且当是单调函数是单调函数。为偶函数时，有是，即也即，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则为偶函数，从而为偶函数，可见选(A)。0x1法二：f(x)=1，则，排(B)；令f(x)=x，取F(x)=x2，2排除(D)；故应选A)。例2

则f{f[f(x)]}等于。解：由f[f(x)]＝1得，f{f[f(x)]}1，故应选7高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解★函数理论框架图第2极限与连续性★基本

一个正整数

当

时，8恒有高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解存在极限，称{收敛，否则称{发散。定义

一个整数X当时，有数当有义2列、函数极限的基本性质与相关定理定理极限的不等式性质)，若，设nlim则，当时，若时，；，则。，则。定理2.2(极限的唯一性设定理收敛数列的有界性)xn收敛，则xn有界（即常数，

若则，定理2.4(极限的不等式性质)设当

时；若，则。或

则存在一个，[推](极限的保号性)若时，或。，则。定理2.5(极限的唯一性设定理2.6(夹逼准则)设在x0领域内，恒有，且，则limf

。定理2.7(单调有界准则)单调有界数列必有极限。函数连续性定义定义设函数在x0某领域内有定义，给x在x0以增量，相应9高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解地得到函数增量若极限则称在处连续。定义2.2设函数满足条件：处出现以下三种情形之一：

在x0某领域若

在x0不存在；。x0的间断点。间断点x0的分类：第Ⅰ类间断点

在x0无定义；(2)xlim(3)xlim称均存在。其中若断点。第Ⅱ类间断点：

，称为可去间断点。若称为跳跃间至少有一个不存在若之中有一个为，则称为无穷间断点。5区间上连续函数的性质连续函数的有界性)设函数在上连续，则在上有界，即常数，对任意的，恒有fM。(2)最值定理)设数

在

上连续，则在

上

至少取得最大值与最小值各一次，即

使得：10高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解(3)介值定理)若数在上连续，是介于与f

或最大值M与最小值m)间的任一实数，则在上至少一个，使得。(4)(零点存在性定)设数在上续，且，则在内至少一个，使得5穷小及其阶(1)无穷小与无穷大的定义定义在某一过程中以零为极限的变量称为无穷小（量一个，当时，恒有。时恒有。当定义在自变量的某一变化过程中，若函数的绝对值无穷增大，则称函数为无穷大量。一个，当时(2)无穷小与无穷大、无穷小与极限的关系其中；

时，恒有一个，为无穷小，则为无穷大为无穷大，则1为无穷小(3)无穷小阶的概念定义设在同一极限过程中，、

在同一极限过程中，。为无穷小且存在极限11高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解。①若，则称

是比

高阶的无穷小，记为②若，则称是比低阶的穷小，则称与是同阶无穷小。③若lim④若，则称与是等价无穷小，记为。⑤若，则称为的k阶无穷小。等价无穷小的重要性质，①若且存在，则该结论表明：在求极限过程中等价无穷小因子可以替换。②(5)确定无穷小阶的方法

)①利用洛必达法则确定使得，则f(x)是的k阶无穷小。洛必达法则：法则Ⅰ(

时，型设函数满足条件：；在x0的领域内可(在处可除且12高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解；

存在(或。则法则型)设函数件：；一

满足条个，当

时，

可导，且；lim存在(或。则法则Ⅱ若

型)设函数在x0的领域

满足条件：；则。因此f(x)是的n阶无穷小后面章节还会讲到)。③利用无穷小的运算性质如若时，分别是则是的阶无穷小，当时，阶无穷小，的n无穷小。

的n与是m★本章需要记忆知识1点概念、性质函数的定义、函数连续的定义、间断点及其类型、夹逼准则、单调有界准高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解则等。2点公式或；常用极限：特例★基本题型训练1复合函数例解：由题设

设，求

。分以下情况讨论。(1)当

时，或，或，

即即(2)当

时，或，或，

即即14高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解综上所述，利用函数概念求函数表达式例已知求f(x)。解：令，则是从而。ix注：设其中是已知函数，则有两类问题：一是已知f求；二是已知求f。①若f是已知，并存在反函数，则。②若已知，并存在反函数而。因此，这两类问题都是求反函数问题。3未定型函数极限例求下列极限①③解：①原式④②15高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解②原式1③原式④原式()16高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解4变限积分不等式的极限02x02＝例求极限：原式3xedt2t22x22x24e4x22xetdt22xetdt22注：在验证条件时，要用到以下结论f(x)连续，又也可为。5极限确定函数中的参数例

，则确定值，使解：当原式故原式故存在，并求该时，由可得同理可得的值，使极限例试确定常数极限值.17高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解解：原式由可得，即存在则原式同理由所以原式6用函数收敛准则求极限例1(利用夹逼准则)_可得，即解：且又由夹逼原则可得原式例2(利用单调有界准则若序列的项满足：

为正的常数，且

，这里18高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解。试证

有极限，并求出它。解：由今用数学归纳法证又。这只须注意到：，故单调且有下界，从而其极限时存在其为A。由即，所以

有即，。从而7n和数列的极限例求＝而，另一方面，19高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解sinsinsi2n且，故由夹逼定理原式＝8n积数列极限xxx例当时，原极限2xxxx

＝2nsinn2xxxx2sin2sinx2nsinx2nx9用函数极限求数列极限12例求lim(ntan)n解：因为limntan1tan1可化为求lim(xtan1)x2nttant又因为20，其中t而高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解，

故

原

式

=e310穷小的比较与无穷小的阶的确定例设函数f(x)在处处可导

(B)恰有一个不可导点(C)恰有两个不可导点(D)至少有三个不可导点[C]解求出f(x)的表达式讨论其可导情形当时，；当时；当

时，即(C)11数连续性与间断点类型的讨论例判断间断点并判别类型解：当

可见f(x)仅在

时不可导应选时，当时，当时，即，所以为函数第一类间断点21高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解12关极限的证明例设f(x)在连续求证x证明因A，由极限的不等式性质可知，A当

时

则

时,22，因此lx注：

若

则，

类似可知，若

则。x13用泰勒公式求极限例求下列极限(关于泰勒展式有关；(3)；；解(1)limx22x22∵分母的次数为4∴只要把cosx，e22展开到出现x的四次幂即可。121442!4!121122114故

原极限(22高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解的展开式只要取到项即可原极限(3)∵分子关于x的数为2。1111∴原极限x∵故★练习题一1空题(1)已知

∴(2)设函数则__有连续的导函数，，,23高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解在处连续，则常数(3)设当(4)(5)已知(6)时，，则为的阶无穷小，则，1222n2和n为正整数且)设

在

处间断，则a与b应满足的关系是2选择题(1)若函数在处连续，则的值是(2)设24其中则必有高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解x在定义域(B)有下界无上界11x有界,

有界且函数41(C)则(A)1(B)03(6)设

则不存在(A)有无穷多个第一类间断点(B)自由一个可去间断点(C)有两个跳跃间断点(1)

(D)有3可去间断点3计算与证明求极限①②(2)设试讨论在处的连续性和可导性.(3)试确定常数极限值.25的值，使极限存在，并求该高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解(4)设的值。求在及，且是的可去间断点，求(5)设的值。求(6)设的某邻域

。n设f(x)在上连续，且，证明：一个，使得设f(x)g(x)在[a,b]上连续且则在(a,b)(3)26，高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解(4)16(5),(6)2(7)13(8)m2(1)(A)(2)(D)(3)(C)(4)(A)(5)(6)(D)3nm1(3),,9,227

提示：用介值定理提示：辅助函数，用零点定理辅助函数，利用介值定理可利用零点定理可利用前面讲到的求复合函数当中的图示法高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解★极限理论框架图28高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解第二章一元函数微分学※本章要求理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程了解导数的物理意义会用导数描述一些物理量(▲数三、数四不要)，理解函数的可导性与连续性之间的关系(▲数三、数四增加要求了解经济意义（含边际与弹性的概念掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。3解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。会求分段函数的导数，会求隐函数和参数方程所确定的函数以及反函数的导数。(▲数三、数四参数方程求导不要求)理解并会用罗尔定理拉格朗日中值定理泰勒定理了解并会用▲数三数四不要求)柯西中值定理。掌握用洛必达法则求未定型极限的方法(▲数三四会用洛必达法则求极限)。7解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描