上海市高考压轴卷数学3

/10/10/绝密★启封前2021上海市高考压轴卷数学第I卷（选择题）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．若集合，，则____.2．若复数满足(其中为虚数单位)，则的虚部是___________.3．行列式中，6的代数余子式的值是______．4．已知球的体积为，则该球大圆的面积等于______.5．在的二项展开式中，常数项等于____.6．已知向量|，若，且，则的最大值为____.7．若，则____.8．函数的反函数的图象经过点，则实数=______.9．设为双曲线的右焦点，为坐标原点，?是以为直径的圆与双曲线渐近线的两个交点.若，则___________.10．从以下七个函数：中选取两个函数记为和，构成函数，若的图像如图所示，则____.11．小王同学有本不同的数学书，本不同的物理书和本不同的化学书，从中任取本，则这本书属于不同学科的概率为______________（结果用分数表示）．12．已知?与?是4个不同的实数，若关于的方程的解集不是无限集，则集合中元素的个数构成的集合为___________.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．设，则是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件14．在圆锥中，已知高，底面圆的半径为4，为母线的中点；根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为①圆的面积为；②椭圆的长轴为；③双曲线两渐近线的夹角正切值为④抛物线中焦点到准线的距离为.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个15．在中，若，则的取值范围是（）A． B．C． D．以上答案都不对16．已知定义在上的函数是奇函数，且满足，，数列满足（其中为的前项和），则（）A． B． C． D．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．将边长为的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧.(1)求三棱锥的体积；(2)求异面直线与所成的角的大小.18．已知函数（1）设是的反函数，当时，解不等式；（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求实数的值；（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围.19．对于函数，若存在正常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“同比不减函数”．（1）求证：对任意正常数，都不是“同比不减函数”；（2）若函数是“同比不减函数”，求的取值范围；（3）是否存在正常数，使得函数为“同比不减函数”，若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．20．设是单位圆上的任意一点，是过点与轴垂直的直线，是直线与轴的交点，点在直线上，且满足.当点在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程，判断曲线为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；（2）过原点且斜率为的直线交曲线于，两点，其中在第一象限，它在轴上的射影为点，直线交曲线于另一点.是否存在，使得对任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.21．若数列满足(，且为实常数)，，则称数列为数列.（1）若数列的前三项依次为，，，且为数列，求实数的取值范围；（2）已知是公比为的等比数列，且，记.若存在数列为数列，使得成立，求实数的取值范围；（3）记无穷等差数列的首项为，公差为，证明：“”是“为数列”的充要条件.2021上海市高考压轴卷数学参考答案1．【答案】2．【答案】3．【答案】64．【答案】.5．【答案】2406．【答案】7．【答案】8．【答案】29．【答案】11．【答案】12．【答案】13．【答案】C14．【答案】B15．【答案】B16．【答案】C17．【答案】(1)(2).18．【答案】（1）；（2）或；（3）.【解析】（1）因为，所以，所以，所以，当时，，故解集为；（2）方程即，即的解集中恰好有一个元素，当时，，符合题意，当时，，解得，综上所述，或；（3）当时，设，则，，所以在上单调递减，所以函数在区间上的最大值与最小值为，所以，所以设，则，，当时，，当时，，因为在上递减，所以，所以，所以实数的取值范围是.19．【答案】（1）证明见解析（2）（3）存在，【解析】证明：（1）任取正常数，存在，所以，因为，即不恒成立，所以不是“同比不减函数”.（2）因为函数是“同比不减函数”，所以恒成立，即恒成立，对一切成立.所以.（3）设函数是“同比不减函数”，，当时，因为成立，所以，所以，而另一方面，若，（Ⅰ）当时，因为，所以，所以有成立.（Ⅱ）当时，因为，所以，即成立.综上，恒有有成立，所以的取值范围是.20．【答案】（1）答案见解析；（2）存在，.【解析】（1）如图1，设，，则由，且可得，，所以，①，因为点在单位圆上运动，所以②，将①式代入②式即得所求曲线的方程为且，因为，所以当时，，曲线是焦点在轴上的椭圆，两焦点坐标分别为，；当时，，曲线是焦点在轴上的椭圆，两焦点坐标分别为.（2）存在，理由如下：如图2?3，，设，，则，，因为，两点在椭圆上，所以两式相减可得，③依题意，由点在第一象限可知，点也在第一象限，且，不重合，故，于是由③式可得，④又，，三点共线，所以，即，于是由④式可得，而等价于，即，又，得，故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有.21．【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.【解析】（1）因为为（3）数列，所以，则，解得，即的取值范围是，；（2）由数列为（4）数列，可得或，当时，由，，所以．则，所以，即；当时，由，，所以．则，所以，即，所以，则的取值范围是；（3）先证充分性．因为，所以，为等差数列，所以当时，，此时，由，所以成立，所以为数列；当时，，因为，所以，所以，即有，因为，所以，所以恒成立，所以为数列，综上可得，为数列；再证必要性．因为为数列，所以恒成立，所以，当时，显然成立；当时，因为，所以的每一项