2023年高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形第23讲解三角形应用举例实战演练理

PAGEPAGE32022年高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形第23讲解三角形应用举例实战演练理1．(2022·浙江卷)如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)．假设AB＝15m，AC＝25m，∠BCM＝30°，那么tanθ的最大值是(D)A．eq\f(\r(30),5) B．eq\f(\r(30),10) C．eq\f(4\r(3),9) D．eq\f(5\r(3),9)解析：由题意，在△ABC中，sin∠ACB＝eq\f(AB,AC)＝eq\f(15,25)＝eq\f(3,5)，那么cos∠ACB＝eq\f(4,5).作PH⊥BC，垂足为H，连接AH，如下图．设PH＝x，那么CH＝eq\r(3)x，在△ACH中，由余弦定理得AH＝eq\r(AC2＋CH2－2AC·CH·cos∠ACB)＝eq\r(625＋3x2－40\r(3)x)，tan∠PAH＝eq\f(PH,AH)＝eq\f(1,\r(\f(625,x2)－\f(40\r(3),x)＋3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)>0))，故当eq\f(1,x)＝eq\f(4\r(3),125)时，最大值为eq\f(5\r(3),9).2．(2022·湖北卷)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，那么此山的高度CD＝100eq\r(6)m.解析：依题意有AB＝600，∠CAB＝30°，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠DBC＝30°，DC⊥CB．∴∠ACB＝45°，在△ABC中，由eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(CB,sin∠CAB)，得eq\f(600,sin45°)＝eq\f(CB,sin30°)，有CB＝300eq\r(2)，在Rt△BCD中，CD＝CB·tan30°＝100eq\r(6)，那么此山的高度CD＝100eq\r(6)m.3．(2022·上海卷)在相距2千米的A，B两点处测量目标点C，假设∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，那么A，C之间的距离为eq\r(6)千米．解析：∠ACB＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理得eq\f(AC,sin60°)＝eq\f(AB,sin45°)＝eq\f(2,sin45°)，AC＝eq\r(6)千米．4．(2022·江苏卷)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA＝eq\f(12,13)，cosC＝eq\f(3,5).(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解析：(1)在△ABC中，因为cosA＝eq\f(12,13)，cosC＝eq\f(3,5)，所以sinA＝eq\f(5,13)，sinC＝eq\f(4,5).从而sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝eq\f(5,13)×eq\f(3,5)＋eq\f(12,13)×eq\f(4,5)＝eq\f(63,65).由eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)，得AB＝eq\f(AC,sinB)×sinC＝eq\f(1260,\f(63,65))×eq\f(4,5)＝1040(m)．所以索道AB的长为1040m.(2)设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为dm，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130tm，所以由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋5t)×eq\f(12,13)＝200(37t2－70t＋50)，因0≤t≤eq\f(1040,130)，即0≤t≤8，故当t＝eq\f(35,37)(min)时，甲、乙距离最短．(3)由eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AC,sinB)，得BC＝eq\f(AC,sinB)×sinA＝eq\f(1260,\f(63,65))×eq\f(3,13)＝500(m)．乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710m才能到达C．设步行的速度为vm/min，由题意得－3≤eq\f(500,v)－eq\f(710,50)≤3，解得eq\f(1250,43)≤v≤eq