初中数学培优竞赛讲座第24讲-质数、合数与因数分解

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质数、数与因数分一个大于的整数，若除了1与自身，没有其他的约数，这样的正整数叫做质数；一个大于1的正整数，除了1与自身，若还有其的约数，这样的正整数称为合数．这样，我们可以按约数个数将正整数分为三类：1

质数，合数有下面常用的性质：．不是质数，也不是合数；是惟一的偶质数．．若质数

│，则必有

│或p

│b．若正整、的积是质数p

，则必有a=

或

．．算术基本定理：任意一个大于l的数N能解成K个因的乘积，若不考虑质因数之间的顺序，则这种分解是惟一的，从而N可以写成标准分解形式：Nk

其中

ppp12

k

，

i

为质数，

i

为非负整数，(i，2„．例【例】已知三个不同的质数a，，满abc+a=2000，那么十．(江苏省竞赛思点运用乘法分配律、算术基本定理，从因数分解人手，突破a的．注于研究者来说，寻找最大质数的精神，犹如物理学家在寻找比原子更懂小的粒子、或天文学家在不断追寻未为人所知的星体般，都须付出惊人的救力，正是这种单纯为满足求知欲的好奇心正好是人类突破知识领域的动力．世纪，欧拉发现了当时最的质数2

－l20世末人类借助超级计算机，发现了最大的质数－1【例】不过100的有质数的乘积减去不超过个位数字为的有质数的乘积所得之差的个位数字是(．A．B．1C7D9思点从找适合题意的质数人手．【例】求这样的质数，当它加上10和时，仍为质数．

(上海市竞赛题)思点由质数的分布不规则，不妨从最小的质数进行实验，但这样的质数惟一吗还按剩余类的方法进行讨论．【例】(1)l，„2004这个随意排成一行，得到一个数N．求证：N一是合数；(2)若大于正整数，求证：2一与2中至多有一个是质数．思点(1)到2004随排成一行的数有很多，不可能一一排出，不妨能找出无论怎样排．所得数都有非本身的约数(2)需说明一中有一个是合数，不能同为质数即可．【例】用方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为cm格的地砖，恰用；若选田边长为ycm规的地砖，则要比前一种刚好多用124．已知xyn都是正整数．(xy)＝1试问这块地有多少平方米?(湖省荆州市竞赛)思点虽然同一块地有不同的铺法这块地的面积不变用面积不建立x的式找解题的突破口．【例】由超级计算机运算得到的结果—1是个质数，则2是()A质数B合数奇数D．偶合思点∵2—，2，2+1是个连续正整数，—的末位数字是1∴2是偶合数∵述三个数中一定有一个能被除而2

859433

—1是质数∴

+1的位数字是奇数且能被除，故2

859433

+1是合数，故选C．

1

2222222222222222544445qqp322222222222注学们，你们知道什么是“哥德巴赫猜想”吗?二多年前，德国数学家哥德巴赫发现：任一个不小于的偶数都可以写成两个奇数之和．如12=5+7等对许多偶数进行检验，都说明这个猜想是正确的，但至今仍无法从理论上加以证明，也没有找到一个反例．到目前最好的结论是我国学家陈景润证明的“任一充分大的偶数，都可2222222222222222544445qqp322222222222【例】用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长x(㎝规格的地砖，恰用块；若选用边长为了规格的地砖，则要比前一种刚好多用124．已知、n都是正整数，且(x，．试问：这块地有多少平方米思点设块地的面积为S，则=(n+124)y，得(x—)=124y．∵x>y，(x，y)=1，∴．－，，得x－y)│124．∵

×，x

－y

=(x十－y)x十y>x－y，且x十y与x－y奇性相同，31或xy解之得x=16，，时n=900．故这块地的面积为S=nx×16=230400(cm．．注：虽然同—块地有不同的铺法，但是这块地的面积不变，利用面积不变建立x、y、等式，寻找解题的突破口．【例】p是数，

4

+3仍质数，求

+3的．思点质数，∴p+3又为数，∴p必为奇数，必偶数，为偶数．又∵p是数，，∴p+3=2+3=35．【例9已知正整数都质数，且7p+q也是质数，试求+q的值．思点pq+11且是数，pq+11必正奇质数为偶数，而数、为质数，故p=2或q=2．当时有14+q与均质数．当q=3k+1(k≥时，则14+q=3(k+5)不是质数；当∈时2q+11=3(2k+5)不是数，因此，且q为数，故q=3．当q=2时有与2p+11均为质数．当p==3k+1(k2)，不质数；当∈)2p+11=3(2k+5)是质数，因此，当质数，故．故

+q

+3

=17【例10若n为然数，n+3与都质数，n除3得的余数．思点我知道n除所得的余数只可能为0、1三种．若余数为0，即n=3k(k是个非负整数，下)，则n+3=3k+3=3(k+1)，以│，又3n+3故n+3不质数，与题设矛盾．若余数为2且n=3k+2则n+7=3k+2+7=3(k+3)，故3，n+7是质数；与题设矛盾．所以除以得的余数只能为1．注：一个整数除以后余数可能为0，1，„—，共m个将整数按除以所得的余数分类，可以分成m．如m=2时，余数只能为1因此可以分为两类，一类是除以数为整数，即偶数；另一类是除以2余为整数，即奇数．同样m=3时就可将整数分为三类，即除以3余分别为、1、2这的三类．通过余数是否相同来分类是一种重要的思想方法，有着广泛的应．【例】设、b、、都自然数，且=c，明：a+b+c+d定合数．思点∵与a+b同偶，+d与c+d奇偶，又a，∴与c+d同奇偶，因此同奇偶．∴是数，且a+b+c+d4∴a+b+c+d一是合数．注：偶数未必都是合数，所以a+b+c+d≥在题中是不能缺少的．2

aa22aa2【例12正整数m和m是个不同的质数m+n+mn的小值是，求的．p思点使p的最小，而和都质数，则m和分取和，于是p=m+n+mn=11故m213p121

．注：要使值最小，别m和可能取较小的值，而、n是个同的质数，故和n分取2和，从而值求．【例13若a、b、c1998的个不同的质因数，且＜＜c，则(b+c)的值是多少思点1998=2××37而a、bc为数，∴、b、c的分别为2、37＜b＜c，故，，c=37，得(b+c)．【例14是不小于40的数，试证明n总以表示成两个奇合数的和．思点因是小于40的数，所以，n的个位数字必为02、、8，现在以的个位数字分类：(1)若个位数字为0则n=15+5k(k≥5为)(2)若个位数字为2则n=27+5k(k≥3奇数)；(3)若个位数字为4则n=9+5k(k≥奇数；(4)若个位数字为6则n=21+5k(k≥5为)(5)若个位数字为8则n=33+5k(k≥3为)综上所述，不小于的任一偶数，都可以表示成两奇合数的和．注：本题证明一个不小于40的偶数可以表示成两个奇合数之和其难度与“哥德巴赫猜想”当然不可同日而语，但本题证明时使用了构造的方法，值得大家注意．【例15运动员所穿运动衣号码是，2，„这41个然数，问：(1)能否使这名运动员站成一排，使得意两个相邻运动员的号码之和是质(2)能否让这名运动员站成一圈，使得意两个相邻运动员的号码之和都是质若能办到，请举一例；若不能办到，请说明理由．思点(1)办到．注意到41与43都质数，据题意，要使相邻两数的和都是质数，显然，它们不能都是奇数，因此，在这排数中只能一奇一偶相间排列，不妨先将奇数排成一排，7，„在每两数间留有空档，然后将所有的偶数依次反序插在各空档中，得1，3，5，7，„，356，，39，，这样任何相邻两数之和是41或，满足题目求．不能办到．若把，，3„，41排一，要使相邻两数的和为质数，这些质数都是奇数，故圆圈上任何相邻两数必为一奇一偶，但现有20个偶数21个数，总共有41个号码，由此引出矛盾，故不能办到．注站一排和站成一圈虽只一字之差，但却有着质的不同，因为一圈形成了首尾相接的情形．【例16(第62届斯科竞赛试写出5个整数，使它们的总和等于，而它们的积等于．思点设这个正整数为

、、x、、1234

5

，则

x2135

，而145

，故知这个数分别为1、43、、7注：在420的解式中，把2看2×即两个数相乘)还是一个数4是否再增加一个因数，这取决于对求和式的观察．【例17若自然数与n+7都是质数，求n除以6的数．思点不妨将分成六类，，，„，然后讨论．当n=6k时3

11222223585943322n2211222223585943322n22当时，n+3=6k+4=2(3k+2)与n+3为数盾；当时，n+7=6k+9=3(2k+3)与n+7为数盾；当时，n+3=6k+6=6(k+1)与质数矛盾；当时，n+7=6k+12=6(k+2)与n+7为数盾．所以只有，即n以余数为4本题利用分类讨论进行．学训．在l，2，3„n自然数中，已知共有p个质数，q合数，个奇数，偶数，则一m)(p＝．．是质数，并且也质数，则p一52．

(北京市竞赛题)．若、b、整数，(+b)(c，则+d

．．已知a是数，是奇数，且a+b，则＝．．以下结论()个结论不正确．既是合数也不是质数；(2)大于0的数中只有一个数不是合数；(3)个位数字是自然数中，只有一个数不是合数；(4)各位数字之和是3的数的自然数，个个都合数．

(江苏省竞赛题)A．1B2C．(“五羊杯”竞赛)．若质数，p仍质数，p+7为()．

(湖北省黄冈市竞赛)A质数

B可为质数也可为合数C合数

D．既不是质数也不是合数．超级计算机曾找到的最大质数是一1这个质数的末尾数字是)．A．1B．3．．9．若正整数a、、c满

，为数，那么b、c两数．A同为奇数

B同为偶数．一一偶

D．同为合数．设自然数n+3与都质数，求n除3所得的余数．．试证明：形如十×10

为自然)的正整数必为合数．11．若、质数m正整数＝m+nq＝，则

mn

=

．．若质数、满足＝，则m+n＝．

(河北省竞赛题)．已知三个质数p的等于这三个质数的和的5倍则m＝(2004年汉选拔)4

．个两位质数，将的十位数字与个位数字对调后仍是一个两位质数，我们称它为“无暇质数所有“无暇质数”之和等于．．机器人对自然数从1开由小到大按如下的规则进行染色：凡能表示为两个合数之和的自然数都染成红色，不合上述要求的自然数都染成黄色，若被染成红色的数由小到大数下去，则第是．(北京市“迎春杯”竞赛)．证明有无穷多个，使多项式(1