2023届高考数学二轮精讲三角与向量第5讲平面向量的概念和线性运算

/06/6/第5讲平面向量的概念和线性运算知识与方法本专题主要内容是向量的基本概念及线性运算(加法、减法、数乘)、向量共线定理及其在证明三点共线中的应用.1.向量的有关概念(1)向量的定义、模及表示法.(2)两个特殊的向量:零向量、单位向量.(3)平行(共线)向量:方向相同或相反的非零向量(零向量和任一向量平行).(4)相等(反)向量:长度相等且方向相同(反)的向量.2.向量的线性运算(1)向量的加法三角形法则(图1):.平行四边形法则(图2):.(2)向量的减法三角形法则(图3):.(3)向量的数乘定义:一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作,长度和方向规定如下.(1).(2)当时,与方向相同;当时,与方向相反;当时,.3.共线向量定理及其应用定理:向量与共线的充要条件是存在唯一一个实数,使得.应用:如图4,若三点共线4.如图5,在四边形中,.(1)四边形是平行四边形.(2)且四边形是菱形.(3)四边形是矩形.(4)平行四边形对角线的性质:.典型例题【例1】(多选题)下列命题正确的有（）A.若,则B.向量与向量是共线向量,则四点在一条直线上C.当两个非零向量共线时,一定有,反之也成立D.在中,若是的中点,则【例2】在中,已知为边上的中线,为的中点,则_____.A. B.C. D.【例3】设两个非零向量与不共线.(1)若.证明:三点共线.(2)试确定实数,使和共线.【例4】记设为平面向量,则（）A. B.C. D.【例5】如图,在中,已知点在线段BC上,且满足,过点的直线分别交直线于不同的两点.若,则;若,写出类似的结论:.(答案不唯一)【例6】在平面直角坐标系中,为坐标原点,已知两点.若点满足,其中,且,则点的轨迹方程为（）A. B.C. D.【例7】设是平面上的定点,是平面上不共线的三个点,动点满足,则点的轨迹一定通过的（）A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心【例8】若是所在平面内的一点,且满足,则的形状为_____.【例9】已知是内一点,且,则的面积与的面积之比为_____.【例10】已知,点在线段上,且的最小值为1,则的最小值为_____.A. B. C.2 D.强化训练1.给出下列命题:(1)若是不共线的四点,则“”是“四边形为平行四边形”的充要条件;(2)若都是单位向量,则;(3)向量与相等.所有正确命题的序号是（）A.(1) B.(3) C.(1)(3) D.(1)(2)2.在中,已知为边上的高,为的中点.若,则（）A.1 B. C. D.3.已知向量,则（）A.三点共线 B.三点共线C.三点共线 D.三点共线4.设是两个非零向量,下列选项正确的是().A.若,则B.若,则C.若,则存在实数,使得D.若存在实数,使得,则5.如图,在中,已知是上一点.若,则实数的值为_____.6.已知等差数列的前项和为,若,且三点共线(该直线不过原点),则_____.A.100 B.101 C.200 D.2017.已知点是所在平面内的一点,动点满足,则点的轨迹一定通过的（）A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心8.已知为四边形所在平面内的任意一点,若,则四边形一定是（）A.正方形 B.平行四边形 C.矩形 D.菱形9.在中,已知分别为的中点.为线段上的