江苏省苏州市2023中考数学专题训练（四）三角形、四边形中的相关证明及计算

PAGEPAGE52022中考数学专题训练(四)三角形、四边形中的相关证明及计算纵观近5年中考题，三角形常与旋转、折叠、平移等知识点结合起来考查；四边形中要特别关注平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质和判定，以及运用其性质解决有关计算的问题．类型1三角形的有关计算及证明【例1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D.CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF＝∠CBG.求证：(1)AF＝CG；(2)CF＝2DE.【解析】(1)要证明AF＝CG，可以利用“ASA〞证明△ACF≌△CBG来得到；(2)要证明CF＝2DE，由(1)得CF＝BG，那么只要证明BG＝2DE，又利用△AED≌△CEG可得DG＝2DE，再证明DG＝BG即可．【学生解答】证明：(1)∵∠ACB＝90°，CG平分∠ACB，AC＝BC.∴∠BCG＝∠CAB＝45°.又∵∠ACF＝∠CBG，AC＝BC，∴△ACF≌△CBG(ASA)，∴CF＝BG，AF＝CG；(2)延长CG交AB于点H.∵AC＝BC，CG平分∠ACB，∴CH⊥AB，H为AB中点．又∵AD⊥AB，∴CH∥AD，∠D＝∠EGC.又∵H为AB中点，∴G为BD中点，∵E为AC中点，∴AE＝EC.又∵∠AED＝∠CEG，∴△AED≌△CEG(AAS)，∴DE＝EG，∴DG＝2DE，∴BG＝DG＝2DE.由(1)得CF＝BG，∴CF＝2DE.针对练习1．：如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝10，D为△ABC外一点，连接AD，BD，过D作DH⊥AB，垂足为H，交AC于E.假设△ABD是等边三角形，求DE的长．解：∵△ABD是等边三角形，AB＝10，∴∠ADB＝60°，AD＝AB＝10.∵DH⊥AB，∴AH＝eq\f(1,2)AB＝5.∴DH＝eq\r(AD2－AH2)＝eq\r(102－52)＝5eq\r(3).∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°.∴∠AEH＝45°.∴EH＝AH＝5.∴DE＝DH－EH＝5eq\r(3)－5.2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E，F分别是边AB，AC的中点，点D在边BC上．假设DE＝DF，AD＝2，BC＝6，求四边形AEDF的周长．解：∵AB＝AC，E，F分别是边AB，AC的中点，∴AE＝AF＝eq\f(1,2)AB.又∵DE＝DF，AD＝AD，∴△AED≌△AFD.∴∠EAD＝∠FAD.∴AD⊥BC，且D是BC的中点．在Rt△ABD中，∵E是斜边AB的中点，∴DE＝AE.同理，DF＝AF.∴四边形AEDF的周长是2AB.在Rt△ABD中，AD＝2，BD＝eq\f(1,2)BC＝3，AB＝eq\r(4＋9)＝eq\r(13)，∴四边形AEDF的周长为2eq\r(13).3．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE＝∠CBE.(1)线段BH与AC相等吗？假设相等给予证明，假设不相等请说明理由；(2)求证：BG2－GE2＝EA2.证明：(1)BH＝AC.∵∠BDC＝∠BEC＝∠CDA＝90°，∠ABC＝45°，∴∠BCD＝45°＝∠ABC，∴DB＝DC.又∵∠BHD＝∠CHE，∴∠DBH＝∠DCA.∴△DBH≌△DCA，∴BH＝AC；(2)连接GC.那么GC2－GE2＝EC2.∵F为BC中点，DB＝DC，∴DF垂直平分BC，∴BG＝GC.∴BG2－GE2＝EC2.∵∠ABE＝∠CBE，∠CEB＝∠AEB，BE＝BE，∴△BCE≌△BAE.∴EC＝EA，∴BG2－GE2＝EA2.4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E.在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC.(1)求证：BE＝CF；(2)在AB上取一点M，使BM＝2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME.求证：①ME⊥BC；②DE＝DN.证明：(1)∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°.∵FC⊥BC，∴∠BCF＝90°.∴∠ACF＝90°－45°＝45°，∴∠B＝∠ACF.∵∠BAC＝90°，FA⊥AE，∴∠BAE＋∠CAE＝90°，∠CAF＋∠CAE＝90°，∴∠BAE＝∠CAF.在△ABE和△ACF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BAE＝∠CAF，,AB＝AC，,∠B＝∠ACF，))∴△ABE≌△ACF(ASA)．∴BE＝CF；(2)①过点E作EH⊥AB于H，那么△BEH是等腰直角三角形．∴HE＝BH，∠BEH＝45°.∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，∴DE＝HE，∴DE＝BH＝HE.∵BM＝2DE，∴HE＝HM，∴△HEM是等腰直角三角形，∴∠MEH＝45°，∴∠BEM＝45°＋45°＝90°，∴ME⊥BC.②由题意，得∠CAE＝45°＋eq\f(1,2)×45°＝67.5°，∴∠CEA＝180°－45°－67.5°＝67.5°，∴∠CAE＝∠CEA＝67.5°，∴AC＝CE.在Rt△ACM和Rt△ECM中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CM＝CM，,AC＝CE，))∴Rt△ACM≌Rt△ECM(HL)，∴∠ACM＝∠ECM＝eq\f(1,2)×45°＝22.5°.又∵∠DAE＝eq\f(1,2)×45°＝22.5°，∴∠DAE＝∠ECM.∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，∴AD＝CD＝eq\f(1,2)BC.在△ADE和△CDN中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DAE＝∠ECM，,AD＝CD，,∠ADE＝∠CDN，))∴△ADE≌△CDN(ASA)，∴DE＝DN.类型2四边形的有关计算及证明【例2】(2022邵阳中考)准备一张矩形纸片，按如下图操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点；将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；(2)假设四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积．【解析】(1)由矩形及翻折的性质可证得△EDM≌△FBN，从而证出四边形BFDE是平行四边形；(2)由菱形及矩形的性质得出∠ABE＝∠DBE＝∠DBC＝30°，利用锐角三角函数可求出AE、BE，进而求出AD、DE，即可求出菱形BFDE的面积．【学生解答】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD.由翻折得：BM＝AB，DN＝DC，∠A＝∠EMB，∠C＝∠DNF，∴BM＝DN，∠EMB＝∠DNF＝90°，∴BN＝DM，∠EMD＝∠FNB＝90°.∵AD∥BC，∴∠EDM＝∠FBN，∴△EDM≌△FBN(ASA)，∴ED＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形；(2)∵四边形BFDE是菱形，∴∠EBD＝∠FBD.∵∠ABE＝∠EBD，∠ABC＝90°，∴∠ABE＝eq\f(1,3)×90°＝30°.在Rt△ABE中，∵AB＝2，∴AE＝eq\f(2,3)eq\r(3)，BE＝eq\f(4,3)eq\r(3)，∴ED＝eq\f(4,3)eq\r(3)，∴S菱形BFDE＝ED·AB＝eq\f(4,3)eq\r(3)·2＝eq\f(8,3)eq\r(3).针对练习5．如图，△ABC.按如下步骤作图：①以A为圆心，AB长为半径画弧；②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；③连接BD，与AC交于点E，连接AD，CD.(1)求证：△ABC≌△ADC；(2)假设∠BAC＝30°，∠BCA＝45°，AC＝4，求BE的长．解：(1)在△ABC与△ADC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AD，,BC＝CD，,AC＝AC，))∴△ABC≌△ADC(SSS)；(2)设BE＝x，∵∠BAC＝30°，∴∠ABE＝60°，∴AE＝tan60°·x＝eq\r(3)x，∵∠BCA＝45°，∴CE＝BE＝x，∴eq\r(3)x＋x＝4，∴x＝2eq\r(3)－2，∴BE＝2eq\r(3)－2.6．(2022温州中考)如图，E是▱ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F.(1)求证：△ADE≌△FCE.(2)假设∠BAF＝90°，BC＝5，EF＝3，求CD的长．解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAE＝∠F，∠D＝∠ECF，∵E是▱ABCD的边CD的中点，∴DE＝CE，在△ADE和△FCE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DAE＝∠F，,∠D＝∠ECF，,DE＝CE，))∴△ADE≌△FCE(AAS)；(2)∵ADE≌△FCE，∴AE＝EF＝3，∵AB∥CD，∴∠AED＝∠BAF＝90°，在▱ABCD中，AD＝BC＝5，∴DE＝eq\r(AD2－AE2)＝eq\r(52－32)＝4，∴CD＝2DE＝8.7．(2022青岛中考)：如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE＝CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O.(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)连接DG，假设DG＝BG，那么四边形BEDF是什么特殊四边形？请说明理由．解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠BAE＝∠DCF，在△ABE和△CDF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝CD，,∠BAE＝∠DCF，,AE＝CF，))，∴△ABE≌△CDF(SAS)；(2)四边形BEDF是菱形；理由如下：如下图：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵AE＝CF，∴DE＝BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∴OB＝OD，∵DG＝BG，∴EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．8．(2022滨州中考)如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接ED，DG.(1)请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；(2)假设∠ABC＝30°，∠C＝45°，ED＝2eq\r(10)，点H是BD上的一个动点，求HG＋HC的最小值．解：(1)四边形EBGD是菱形．理由：∵EG垂直平分BD，∴EB＝ED，GB＝GD，∴∠EBD＝∠EDB，∵∠EBD＝∠DBC，∴∠EDF＝∠GBF，在△EFD和△GFB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠EDF＝∠GBF，,∠EFD＝∠GFB，,DF＝BF，))∴△EFD≌△GFB，∴ED＝BG，∴BE＝ED＝DG＝GB，∴四边形EBGD是菱形；(2)作EM⊥BC于点M，DN⊥BC于点N，连接EC交BD于点H，此时HG＋HC最小，在Rt△EBM中，∵∠EMB＝90°，∠EBM＝30°，EB＝ED＝2eq\r(10)，∴EM＝eq\f(1,2)BE＝eq\r(10)，∵DE∥BC，EM⊥BC，DN⊥BC，