六节多元函数极值市公开课金奖市赛课一等奖课件

第六节多元函数极值一多元函数极值二多元函数最值三条件极值第1页第1页一多元函数极值1极值定义设函数在点某一邻域内有定义，假如对于该邻域内任意点都有则称函数在点P0处取得极大值假如有则称函数在点P0处取得极小值函数极大值和极小值统称为极值，使函数取得极值点称为极值点。第2页第2页比如函数在点（0，0）处取得极小值，下列左图：oxyzoxyz函数在点（0，0）处取得极大值，如上右图：如何求极值？假如能将有也许使函数取得极值点找到，这个问题就基本处理了。第3页第3页2二元函数极值存在必要条件定理1设函数在点处取得极值，且两个偏导数都存在，则在点有证实：由于是函数极值，若固定则是一个一元函数，则该函数在处取得极值，又由于对处可导，故同理可证第4页第4页将二元函数两个偏导数为零点称为驻点，则必要条件可叙述为：

可微函数极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点。3极值存在充足条件定理1设函数在点某个邻域内含有二阶连续偏导数，且点是函数驻点，即设则（1）当点是极值点，且时，点是极大值点，点是极小值点。且时，第5页第5页（2）当时，点不是极值点。（3）当时，

是否为极值点。不能拟定点总结：求极值环节：第一步：拟定定义域（若未给出）；第二步：解方程组求得一切实数解，可得一切驻点。第三步：对每个驻点，求出二阶偏导数值A，B，C。第四步：定出符号，按充足条件结论做出结论。第6页第6页例1求函数极值。解：此函数定义域为解方程组解得驻点（0，1），又因此故函数在点（0，1）取得极小值，为0。第7页第7页例2求函数极值。解：此函数定义域为解方程组解得驻点P1(-1,-1)，P2(0,0)，P3(-1,-1)，又列表讨论下列：第8页第8页

驻点参数P1（-1，-1）P2（0，0）P3（1，1）ABCB2-ACz10101010-2-2-2-2-2-96-960-2极小值0不能拟定-2极小值第9页第9页例3求证函数有无穷多个极大值点而无一个极小值点。解：此函数定义域为解方程组得又因此第10页第10页故当为奇数时，无极值。故当为偶数时，-2〈0

，函数z有极大值，即当时，且A=函数有极大值。由于取整数，因此函数有无穷多个极大值点，而无一个极小值点。第11页第11页二多元函数最值函数假如在有界闭区域D上连续，则一定在该区域上能够取得最大值和最小值。二元函数最值，也也许在区域D内驻点、不可微点或区域边界上取得。求二元函数最值办法是：将函数在所讨论区域内所有驻点函数值，不可微点函数值以及函数在区域边界上最值相比较，其中最大者就是函数最大值，最小者就是函数最小值。第12页第12页例4求函数在闭区域上最值。解：由于函数z在区域D内处处可微，解方程组得驻点（6，-8），函数在该点处值为在D边界上，将代入函数中得第13页第13页由于因此在边界上函数最大值为125，最小值为-75。故该函数在此有界闭区域上最大值为125，最小值为-100。

例5要制作一个中间是圆柱，两端为相等圆锥形中空浮标，如图。在体积V是一定量情况下，如何选择圆柱和圆锥尺寸，才干使制作材料最省？第14页第14页解：设圆柱底面半径为，高为H，圆锥高为，由题意得因此又定义域为解方程组第15页第15页解得驻点代入H

表示式得。

从实际考虑，此浮标在体积V一定条件下，存在最小表面积。故制作时应取才干使制作材料最省。总结求实际问题最值环节下列：第一步：建立函数关系式，拟定定义域；第二步：求出所有驻点；第三步：结合实际意义，鉴定最大或最小值。第16页第16页三条件极值先看下列例子：在条件下，求函数极值。解：从中解出并代入中得这是一个一元函数，可用一元函数求极值办法解，不难得到在点处取得极值为这类问题称为条件极值，称为约束条件。当把约束条件代入函数（称目的函数）时，条件极值化为无条件极值。第17页第17页对于条件极值问题，我们经常采用所谓——Lagrange乘数法，环节下列：第一步：结构辅助函数（Lagrange函数）；第二步：解方程组第三步：判断所有驻点是否为极值点。第18页第18页例6某厂生产甲乙两种产品，计划天天总产量为42件，假如生产甲产品件，生产乙产品件，则总成本函数为单位为元，求最小成本。解：约束条件为结构Lagrange函数：解方程组：第19页第19页得驻点（25，17）。由于驻点是唯一，因此在此点处函数取得最小值，即应计划天天生产甲产品25件，乙产品17件，才干取得最小成本，为：C（25，17）=8×252-25×17+12×172