定积分概念性质

关于定积分概念性质第1页，共44页，2023年，2月20日，星期三

17世纪，从实际需要中人们提出许多问题，归结起来有两类：速度问题、切线问题。导数研究了事物变化的速度，定积分则研究相反的问题：事物变化的累积和。如面积、路程、电量多少、变量作功等等。本章将重点学习定积分的概念、几何意义及微积分基本定理。

前言第2页，共44页，2023年，2月20日，星期三

4.1定积分概念一、定积分的引入—曲边梯形面积的求法注：此“面积”一定是以x轴为一边的曲边梯形；yxbaAy=f(x)第3页，共44页，2023年，2月20日，星期三例如：求曲线y=x2、直线x=0、x=1和y=0所围成的面积？如图所示此问题的难点是图形有一边是曲的，如何求它的面积呢？研究此问题的基础是已知矩形的面积公式S=长*宽=a*b，那么研究方法是“无限细分，以直代曲”，将曲边图形分划为若干个小矩形，用小矩形面积△Si矩近似代替小曲边梯形面积△Si曲，即:xyy=x21A0如果右边的和式有极限（n→∞），则极限值即为整个曲边梯形的面积，即：第4页，共44页，2023年，2月20日，星期三如图所示：

1）将区间[0,1]n等分。其分点分别为：2）得n个小条形，每个小条形的宽均为高则分别取区间右端点xi(i=1,2,…,n)的函数值3）相乘为第i个小矩形面积：xy0x2x3xn=1xn-1y=x2x0x14）第i个小曲边梯形面积近似：5）曲边梯形面积S曲近似：第5页，共44页，2023年，2月20日，星期三xy010y=x2x01若取n=10容易发现n越大（即区间分得越细）则此面积误差越小，6）直到用极限方法令n→∞，得曲边梯形的精确值：第6页，共44页，2023年，2月20日，星期三总结：求曲边梯形面积的步骤引例1——曲边梯形的面积（演示）其中设物体的运动速度引例2——变速直线运动的路程分割区间取近似值作和取极限

（1）细分区间ti-1ti(2)取近似值

（3）作和（4）取极限

T1T2vt第7页，共44页，2023年，2月20日，星期三曲边梯形面积A：变速运动的路程S：记为记为二、定积分的概念（演示）第8页，共44页，2023年，2月20日，星期三

定积分定义

如果当最大的子区间的长度时，此和式有极限，则此极限叫作f(x)在[a，b]上的定积分，

记为：即第9页，共44页，2023年，2月20日，星期三在定积分中其中“∫”为积分号（把字母s拉长），a，b为积分下限和上限，即积分变量x的范围：a≤x≤b，又叫积分区间；f(x)为被积函数，f(x)dx称为被积表达式。上例曲边图形的面积用定积分表示注意：据定义有如下说明:(1)定积分是特殊和式极限,它是一个定数;(2)定积分的大小仅与区间[a,b]和被积函数f(x)有关；(3)规定：第10页，共44页，2023年，2月20日，星期三1.若函数在上连续，2.若函数在上有界，且只有有限个间断点，三、定积分存在的充分条件则在上可积。则在上可积。有界是函数在区间[a,b]上可积的必要条件。第11页，共44页，2023年，2月20日，星期三表示曲线与x轴围成的图形面积的代数和。表示曲线与x轴围成的图形面积。四、定积分的几何意义（演示）abA1A2A3（1）（2）第12页，共44页，2023年，2月20日，星期三（2）若是奇函数，则（1）若是偶函数，则a-a五、定积分的几何性质-aa由定积分几何意义可得：第13页，共44页，2023年，2月20日，星期三补充规定：abxx+dx第14页，共44页，2023年，2月20日，星期三定积分几何意义的应用1428173第15页，共44页，2023年，2月20日，星期三0xy-33第16页，共44页，2023年，2月20日，星期三把区间分成n等份，每份长，各分点是：解

因为在上连续，所以存在例

用定义求定积分=第17页，共44页，2023年，2月20日，星期三规定：abxx+dx六、定积分的基本性质第18页，共44页，2023年，2月20日，星期三无论a,b,c的相对位置如何，（3）式均成立。可推广至有限个函数的代数和的情形。bca···acb···◆定积分的基本性质第19页，共44页，2023年，2月20日，星期三..则有推论1设

，对任意òò≤babadxxgdxxf)()(（5）对任意)≥0，则有(xf第20页，共44页，2023年，2月20日，星期三.性质6（介值定理）：设f(x)在[a,b]上可取得最大值M和最小值m，于是，由性质5有.几何意义也很明显再根据闭区间上的联系函数的介值定理可得第21页，共44页，2023年，2月20日，星期三

如果变速直线运动物体的运动方程是

S=S(t)，则在时间段[T1,T2]内所发生的位移变化为S(T2)-S(T1)如果物体的运动方程为V=V(t)，则由定积分可知

连续函数

在区间

上的定积分等于它的一个原函数

在积分区间上的增量◆微积分基本公式而？第22页，共44页，2023年，2月20日，星期三微积分基本公式（一）——变上限的积分定理axb第23页，共44页，2023年，2月20日，星期三证明思路参见书第24页，共44页，2023年，2月20日，星期三例1例2

解：用分点0插分区间[x,-2x]第25页，共44页，2023年，2月20日，星期三例3例4第26页，共44页，2023年，2月20日，星期三设

在区间

上连续，

是它的任意一个原函数，则有微积分基本公式（二）——牛顿—莱布尼兹公式证明思路

记作第27页，共44页，2023年，2月20日，星期三例2求下列定积分解

因为

在

上连续，

是它的一个原函数

所以

第28页，共44页，2023年，2月20日，星期三或解原式

几何意义第29页，共44页，2023年，2月20日，星期三解原式

几何意义第30页，共44页，2023年，2月20日，星期三解原式

解原式

合理应用对称区间上奇偶函数的积分性质，简化定积分的计算。第31页，共44页，2023年，2月20日，星期三解设，求分段函数的积分计算，应分区间选取相应的函数函数在x=1处间断第32页，共44页，2023年，2月20日，星期三exit引例曲边梯形的面积

第33页，共44页，2023年，2月20日，星期三exit定积分的定义

第34页，共44页，2023年，2月20日，星期三exit定积分的几何意义第35页，共44页，2023年，2月20日，星期三exit估值定理

第36页，共44页，2023年，2月20日，星期三exit积分中值定理

第37页，共44页，2023年，2月20日，星期三牛顿-莱布尼兹公式返回第38页，共44页，2023年，2月20日，星期三若

是奇函数，则若

是偶函数，则a-a◆定积分的几何意义是偶函数，是奇函数。-aa偶函数奇函数第39页，共44页，2023年，2月20日，星期三

广义积分*定义假设对在[a,b]有定义且可积，

(1)对于[a,+∞]上的无穷积分如果存在，我们称收敛，且定义：

否则，称发散。

(2)对于[-∞，b]的无穷积分

如果存在，我们称收敛，且定义：

否则，称发散。

第40页，共44页，2023年，2月20日，星期三

广义积分*（3）对于区间（-∞，+∞）的无穷积分

如果=A+B.

如果右边每一个无穷积分都存在，我们称收敛，如果其中之一不存在，则