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文档简介

小结函数极限的定义函数极限的基本性质概念的引入2.2函数极限

第二章极限与连续一、概念的引入自变量变化过程的六种形式:对分别研究函数f(x)的极限.二、函数极限的定义1.

时函数极限的定义例题一考察函数当时的变化趋势．解函数的定义域为，下图是几何描述．也可用数据描述，见表．32从表看出,当x无论从2的左边还是2右边无限接近2时，这时称3为该函数当时的极限。函数都无限接近3.

例题二考察函数当时的变化趋势．下图是几何描述．也可用数据描述，见表．从表看出,当x无论从1的左边还是1右边无限接近1时，这时称2为该函数当时的极限。函数都无限接近2.

解函数的定义域为，21

如果函数f(x)的值无限地接近于常数A

则常数A就叫做函数f(x)的当xx0时的极限记作定义1:

设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义,当xx0时,注:函数在点x0处的极限存在与否与函数在点处是否有定义无关，其中包含两层含义：其一，可以不属于函数的定义域；其二，可以属于函数的定义域，但这时函数在点的极限与在点的函数值没有任何联系．

定义2:

设函数f(x)在点x0的某一左去心邻域内有定义,当xx0-时,

如果函数f(x)的值无限地接近于常数A

则常数A就叫做函数f(x)的当xx0-时的极限记作定义3:

设函数f(x)在点x0的某一右去心邻域内有定义,当xx0+时,

如果函数f(x)的值无限地接近于常数A

则常数A就叫做函数f(x)的当xx0+时的极限记作左极限和右极限统称为单侧极限．例题三例题四2.

时函数极限的定义例题五定义4:

如果f(x)当|x|大于某一正数时有定义，当x如果函数f(x)无限接近于某一常数A则常数A叫做函数f(x)当x时的极限记为

类似地可定义定义5:如果f(x)当x大于某一正数时有定义，当x+如果函数f(x)无限接近于某一常数A则常数A叫做函数f(x)当x+时的极限记为定义6:如果f(x)当x小于某一负数时有定义，当x-如果函数f(x)无限接近于某一常数A则常数A叫做函数f(x)当x—时的极限记为例题六三、函数极限的性质性质1(唯一性)

函数有极限必唯一

性质2(局部有界性)

如果f(x)A(xx0)

那么f(x)在x0的某一去心邻域内有界

性质3(局部保号性)

如果f(x)A(xx0)

而且A0(或A0)那么在x0的某一去心邻域内有f(x)0(或f(x)0)

思考:

若推论中的条件改为是否必有不能!

如

如果在x0的某一去心邻域内f(x)0(或f(x)0)

而且

f(x)A(xx0)

那么A0(或A0)

推论性质4(函数极限与数列极限的关系)

如果当xx0时f(x)的极限存在

{xn}为f(x)的定义域内任一收敛于x0的数列且满足xn

x0(nN)

那么相应的函数值数列{f(xn)}必

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