湖南省2020年高二数学上学期期中考试卷（一）

湖南省2020年高二数学上学期期中考试卷(一)

(文科)

(考试时间90分钟满分100分)

一、单项选择题(共15小题，每小题3分，共45分)

1^1

1.已知命题p：若x2+y2=0,则X、y全为0：命题q：若a>b,则­给出下列四个复

合命题：①p且q,②p或q,③rp④rq,其中真命题的个数为()

A.1B.2C.3D.4

2.若A,B为互斥事件，贝()

A.P(A)+P(B)<1B.P(A)+P(B)>1C.P(A)+P(B)=1D.P(A)+P(B)

<1

3.已知椭圆彘+得=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一个焦点的距离

()

A.2B.3C.5D.7

4.同时掷3枚硬币，至少有1枚正面向上的概率是()

7531

A.gB.WC.oD."g

5.变量X与Y相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,

5),变量U与V相对应的一组数据为(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),

(13,1)表示变量Y与X之间的线性相关系数，殳表示变量V与U之间的线性相关系数,

则()

A.F2<ri<0B.0<r2<rjC.r2<0<r)D.r2=r)

6.双曲线kx2+5y2=5的一个焦点是（0,2）,则k等于（）

55V15V15

A.3B.-■§C.-D.--

7.抛物线y=4x2的准线方程为（）

12d__L

A.y=-4B.y=8C.丫=/D.y=一获

8.命题“若X2<4,则-2<xV2"的逆否命题是()

A.若X2N4,则疟2或狂-2B.若-2<x<2,则x2<4

C.若x>2或x<-2,则X2>4D.若X±2,或x4-2,则x2±4

jri

9.“a=—+2kn(keZ)”是"cos2a—”的()

62

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

10•点A,B的坐标分别是(-5,0),(5,0),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率

之积是《，则点M的轨迹方程是()

9

2292

4全需1廿±5)B.总华1廿±5)

C后需1(后。)D—

22

11.若在双曲线3(a>0,b>0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，则

a2bZ

双曲线的离心率的取值范围是()

A.e>V2B.l<e<V2c-e>2D.l<e<2

12.ABCD为长方形，AB=2,BC=1,O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到

的点到0的距离大于1的概率为()

7T,JT兀c,冗

A.—B.1--C.—D.1---

4488

22

13.设椭圆C：马名=1(a>b>0)的左、右焦点分别为Fi、F2,P是C上的点PF2，FIF2,

a2b2

/PFF2=30。，则C的离心率为()

ATBic4

14.经过双曲线上任一点M作平行于实轴的直线，与渐近线交于P、Q两点，则|MP|・|MQ|为定

值，其值为()

A.a2B.b2C.c2D.ab

15.曲线C］：y2=2px(p>0)的焦点F恰好是曲线C2：--^=1(a>0,b>0)的右焦点，

且曲线Ci与曲线C2交点连线过点F,则曲线C2的离心率是()

A.&-1B.C.D.V2+1

二、填空题(共5小题，每小题3分，共15分)

16.抛物线y2=4px(p>0)上一点M到焦点的距离是a(a>p),则点M的横坐标是.

17.给出以下命题：①VxWR,有x4>x2；@3a£R,使得sin3a=3sina；(3)3aGR,对Vxe

R使x2+2x+a<0.其中真命题的序号是.

18.观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图:

4频率

组距

o.ooi------

240027003000330036003900体重(x)g

则新生婴儿体重在(2700,3000)的频率为.

19.将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：0001,0002,0003,1000,打算从中抽取一

个容量为50的样本，按系统抽样的办法分成50个部分.如果第一部分编号为0001,0002,

0020,从中随机抽取一个号码为0015,则第40个号码为.

22

20.椭圆二+二=1的焦点为F],F2，点P是椭圆上的动点，当NF1PF2为钝角时，点P的横坐

134

标的取值范围是.

三、解答题(共5小题，每题8分，共4()分)

21.从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入不(单位：千元)与月储蓄yi(单

位：千元)的数据资料，算得£x1=80,£y/20,£x】y『184,£x：=720・

i=li=li=li=l

(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程丫4*+2；

(II)判断变量X与y之间是正相关还是负相关；

(III)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.

Ex1yi-nxy

附：线性回归方程y=bx+a中，b上1----------，a=y-b^.其中彳，J为样本平均值，线性

回归方程也可写为

22

22.已知p：|1-121\<2,q：X-2X+1-m<0(m>0).若"非p"是"非q"的必要而不充分条

件，求实数m的取值范围.

23.已知关于x的一元二次函数f(x)=ax2-4bx+l.

(1)设集合P={1,2,3^DQ={-1,1,2,3,4},分别从集合P和Q中随机取一个数作为a

和b,求函数y=f(x)在区间［1,+8)上是增函数的概率；

x+y-8^0

(2)设点(a,b)是区域x>0内的随机点，记A={y=f(x)有两个零点，其中一个大

y>0

于1,另一个小于1},求事件A发生的概率.

24.如图，已知直线与抛物线y2=2px(p>0)交于A、B两点，J.OA1OB,ODLAB交AB

于点D,点D的坐标为(2,1).

(1)求AB直线方程；

(2)求p的值.

25.如图，已知中心在原点且焦点在x轴上的椭圆E经过点A(3,1),离心率

(1)求椭圆E的方程;

(2)过点A且斜率为1的直线交椭圆E于A、C两点，过原点O与AC垂直的直线交椭圆E

丁B、D两点，求证A、B、C、D四点在同一个圆上.

参考答案

一、单项选择题

1.B2.D3.D.4.A.5.C.6.B.7.D8.D.9.A.10.C.11.C.

12.B.13.D.14.A.15.D.

二、填空题

16.解：如图,

•.•抛物线y2=4px的准线方程为x=-p,

由抛物线定义得xM+p=a,

则xM=a-p.

故答案为：a-p.

17.解：当x=l时，x4=x2,故①错误；

当a=0时，sin3a=3sina,故②正确；

对于③由于抛物线开口向上，一定有函数值大于0,故③错误

故答案为②

频率

18.解：频率分布直方图：小长方形的面积=组距*趣率,

•••新生婴儿体重在(2700,3000)的频率为0.001x300=0.3

故答案为：0.3

19.解：•••系统抽样是先将总体按样本容量分成k=2段，再间隔k取一个.

n

又•.•现在总体的个体数为1000,样本容量为50,.•.k=20

若第一个号码为0015,则第40个号码为0015+20x39=0795

故答案为0795

20.解:由椭圆的标准方程可得:a2=13,b=2,

Fi(-3,0),F2(3,0).

2

设P(x,y),则2-

13

,2

，y=4.

XJ

•.•/F1PF2为钝角，

APF\•PF^=(X+3,y)•(x-3,y)=x2-9+y2<0,

.\X2-9+4(1-2_)<0.

13

化为x2〈带,

解得-逗<xV逗.

33

，点P的横坐标的取值范围是(-运，返)，

33

故答案为：(-返，返).

33

三、解答题

21.解：(I)由题意可知n=10,xX、罩=8,yy尸架2,

n11

i=l10ri=110

nn__

故】xx=E=720-I0X82=80,1xy=£xy-nxy=184-10x8x2=24,

i=l1i=l11

194——

故可得b=--Y-V=—=0.3,a=y-bx=2-0.3x8=-0.4,

】xx80

故所求的回归方程为：y=0.3x-0.4；

(II)由(I)可知b=0.3>0,即变量y随x的增加而增加，故x与y之间是正相关；

(III)把x=7代入回归方程可预测该家庭的月储蓄为y=().3x7-0.4=1.7(千元).

22.解：解法一：由p：区2,解得-24X410,

二“非p"：A={x|x>10或x<-2}、

由q：x2-2x+l-m2<0,解得1-m<x<l+m(m>0)

非q"：B={x|x>l+m或x<l-m,m>0=

HL>0

由"非p"是"非q"的必要而不充分条件可知：BGA.Jl-n<-2解得m>9.

Ll+m>10

,满足条件的m的取值范围为{m|m29}.

解法二：由"非p"是"非q"的必要而不充分条件.即"非q"="非p",但"非"非q〃，可以等

价转换为它的逆否命题："p=q,但qAp".即p是q的充分而不必要条件.

由|1-J-42,解得-24x30,

3

/.p={x|-2<x<10}

由x2-2x4-1-m2<(),解得1-m<x<l+m(m>0)

/.q={x|l-m<x<l+m,m>0}

由p是q的充分而不必要条件可知：

rnC>0

pUqO1-欣-2解得m>9.

，满足条件的m的取值范围为{m|mz9}.

23.解：(1)♦.•函数f(x)=ax2-4bx+l的图象的对称轴为

要使f(x)=ax2-4bx+l在区间［1,+8)上为增函数，当且仅当a>0且即2b<a..

a

若a=l则b=-1,若a=2贝ijb=-1,1若a=3则b=-1,1...

记8={函数y=f(x)在区间［1,+8)上是增函数},则事件B包含基本事件的个数是1+2+2=5,

.,.P(B)=

a+b-8^0

(2)依条件可知试验的全部结果所构成的区域为(a,b)|.a>0},

b>0

其面积SQ孕8X8=32

a+b-8^0a+b-8<0

a>0a^>0

事件A构成的区域：A={(a,b)|}={(a,b)b)

b>0b>0

f(1)<0a-4b+l<0

a+b-8=0一,31q、

由,得交点坐标为(yW)，”，

a-4b+l=055

(8-1)x31961

540

s

•••事件A发生的概率为P(A)=廿=盘>

1ZoU

24.解：(1),点D的坐标为(2,1),.•.如甘

XAB1OD,且AB过D(2,1),

/.AB：y-1=-2(x-2),整理得：2x+y-5=0；

(2)设点A的坐标(xpyi),点B的坐标(x2,y2)>

由OA±OB得:XjX2+yiy2=0,

由(1)知AB的直线方程为y=-2x+5

•'•yiy2-(yi+y2)+5=0,①

联立y=-2x+5与y2=2px,消去x得:y2+py-5p=0,

yi+y2=