初高中数学衔接教材配套练习

第页初高中数学衔接教材1.1数与式的运算1.１.1．绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即绝对值的几何意义：（1）一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．（2）两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离．1．填空：（1）若，则x=_________；若，则x=_________.（2）如果，且，则b＝________；若，则c＝________.2．选择题：下列叙述正确的是（）（A）若，则（B）若，则（C）若，则（D）若，则1.1.2.乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式；（2）完全平方公式．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式；（2）立方差公式；（3）三数和平方公式；（4）两数和立方公式；（5）两数差立方公式．1．填空：（1）（）；（2）；(3)．2．选择题：（1）若是一个完全平方式，则等于（）（A）（B）（C）（D）（2）不论，为何实数，的值（）（A）总是正数（B）总是负数（C）可以是零（D）可以是正数也可以是负数1.1.3．二次根式分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，与，与，等等．一般地，与，与，与互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程例计算：．解法一：＝＝＝＝＝．解法二：＝＝＝＝＝．例试比较下列各组数的大小：（1）和；（2）和.解：（1）∵，，又，∴＜．（2）∵又4＞2eq\r(2)，∴eq\r(6)＋4＞eq\r(6)＋2eq\r(2)，∴＜.1.1.４．分式例2（1）试证：（其中n是正整数）；（2）计算：；．（1）证明：∵，∴（其中n是正整数）成立．（2）解：由（1）可知＝．（3）证明：∵＝＝，又n≥2，且n是正整数，∴eq\f(1,n＋1)一定为正数，∴＜eq\f(1,2)．1.2因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1分解因式：（1）x2－3x＋2；（2）x2＋4x－12；（3）；（4）．解：（1）如图1．1－1，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以，有x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．－ay－by－ay－byxx图1．1－4－2611图1．1－3－1－211图1．1－2－1－2xx图1．1－1说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．1－1中的两个x用1来表示（如图1．1－2所示）．（2）由图1．1－3，得x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．（3）由图1．1－4，得－11xy图1．1－5－11xy图1．1－5（4）＝xy＋(x－y)－1＝(x－1)(y+1)（如图1．1－5所示）．练习一、填空题：1、把下列各式分解因式：（1）__________________________________________________。（2）__________________________________________________。（3）__________________________________________________。（4）__________________________________________________。（5）__________________________________________________。（6）__________________________________________________。（7）__________________________________________________。（8）__________________________________________________。（9）__________________________________________________。（10）__________________________________________________。2、3、若则，。2．提取公因式法例2分解因式：（1） （2）解：（1）．=（2）===．或＝＝＝＝＝2.1.2根与系数的关系（韦达定理） 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根，，则有 ；． 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝，x1·x2＝．这一关系也被称为韦达定理． 特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知x1＋x2＝－p，x1·x2＝q， 即p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2， 所以，方程x2＋px＋q＝0可化为x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．因此有 以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．例2已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值．分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值．解法一：∵2是方程的一个根，∴5×22＋k×2－6＝0，∴k＝－7．所以，方程就为5x2－7x－6＝0，解得x1＝2，x2＝－．所以，方程的另一个根为－，k的值为－7．解法二：设方程的另一个根为x1，则2x1＝－，∴x1＝－．由（－）＋2＝－，得k＝－7．所以，方程的另一个根为－，k的值为－7．例5若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根． （1）求|x1－x2|的值；（2）求的值；（3）x13＋x23． 解：∵x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根，∴，． （1）∵|x1－x2|2＝x12+x22－2x1x2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝＝＋6＝，∴|x1－x2|＝． （2）． （3）x13＋x23＝(x1＋x2)(x12－x1x2＋x22)＝(x1＋x2)[(x1＋x2)2－3x1x2]＝(－)×[(－)2－3×()]＝－． 说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则，，∴|x1－x2|＝．于是有下面的结论：若x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则|x1－x2|＝（其中Δ＝b2－4ac）．今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．填空:（1）方程kx2＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝．（2）方程2x2－x－4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝．（3）已知关于x的方程x2－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是．（4）方程2x2＋2x－1＝0的两根为x1和x2，则|x1－x2|＝．3．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x2－7x－1＝0各根的相反数．2.2.2二次函数的三种表示方式通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．3．交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．例1已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式．分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a．解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，∴顶点的纵坐标为2．又顶点在直线y＝x＋1上，所以，2＝x＋1，∴x＝1．∴顶点坐标是（1，2）．设该二次函数的解析式为，∵二次函数的图像经过点（3，－1），∴，解得a＝－2．∴二次函数的解析式为，即y＝－2x2＋8x－7．说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．例2已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴可设二次函数为y＝a(x＋3)(x－1)(a≠0)，展开，得y＝ax2＋2ax－3a，顶点的纵坐标为，由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2，∴|－4a|＝2，即a＝．所以，二次函数的表达式为y＝，或y＝－． 分析二：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x＝－1，又由顶点到x轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式． 解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴对称轴为直线x＝－1．又顶点到x轴的距离为2，∴顶点的纵坐标为2，或－2．于是可设二次函数为y＝a(x＋1)2＋2，或y＝a(x＋1)2－2，由于函数图象过点(1，0)，∴0＝a(1＋1)2＋2，或0＝a(1＋1)2－2．∴a＝－，或a＝．所以，所求的二次函数为y＝－(x＋1)2＋2，或y＝(x＋1)2－2． 说明：上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．例3已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．解：设该二次函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得解得a＝－2，b＝12，c＝－8．所以，所求的二次函数为y＝－2x2＋12x－8．通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？3.2.1三角形常用的“四心”重心，内心，垂心，外心三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.图3.2-1图3.2-1如图3.2-1，在三角形△ABC中，有三条边，三个顶点，在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段.重心三边中线的交点。内心三个内角平分线的交点。垂心三边的高的交点。外心三边的中垂线的交点。3.3.3证明四点共圆的基本方法1、利用圆的定义根据圆的定义可以知道，平面上到一个定点等距离的几个点在同一个圆上，这个圆是以定点为圆心，以定点到这几个点中任一点的距离为半径。2、利用三角形的关系(1)同斜边的直角三角形的各顶点共圆；(2)同底同侧张等角的三角形的各顶点共圆。已知C、D在线段AB的同侧，且∠ACB=∠ADB。求证：A，B，C，D四点共圆。证明：如图7-39，过A，B，C三点作⊙O。(1)如果D点在⊙O内部，则延长BD交⊙O于，连A。∵∠=∠C，且∠ADB＞∠。∴∠ADB＜∠C，这与∠ADB=∠ACB矛盾。因此D点不可能在⊙O的内部。(2)如图7-40，如果D点在⊙O的外部，连AD，BD。则必有一条线段与⊙O相交，设BD与⊙O交于，连A。∵∠AB=∠ACB，且∠D＜∠AB。∴∠D＜∠ACB，这与∠ADB=∠ACB矛盾。因此，D点不可能在⊙O的外部。综上所述，D点必在⊙O上。3、利用四边形的关系(1)如果四边形的一组对角互补，那么它的两个顶点共圆(图7-41)；(2)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么它的四个顶点共圆(7-42)4、利用线段的乘积式的关系(1)线段AB，CD相交于P，且PA·PB=PC·PD，则A，B，C，D四点共圆。证明：如图7-43，连AD，BC，AC。在△APD和△BPC中，∵PA·PB=PC·PD，∴。又∠APD=∠BPC，∴△APD∽△BPC。∴∠B=∠D，又B，D在线段AC同侧。因此，A，C，B，D四点共圆。两线段AB，CD的延长线相交于P，且PA·PB=PC·PD，则A，B，C，D四点共圆(图7-44)。高一年级班别姓名学号请高一的同学们利用宝贵的假期充电时间，在网上下载《梧州一中初高中数学衔接教材》电子版进行自学，完成以下配套练习，军训时候上交班主任，开学第一周进行检测，为高中数学学习打下良好基础。《初高中数学衔接教材》配套练习1.1.1绝对值1．填空：（1）若，则x=_________；若，则x=_________.（2）如果，且，则b＝________；若，则c＝________.1.1.2乘法公式1．填空：（1）（）；（2）；(3)．1.1.3二次根式1．填空：（1）＝_____4．比较大小：2－eq\r(3)eq\r(5)－eq\r(4)（填“＞”，或“＜”）1.1.4分式1．填空题：对任意的正整数n，()；4．计算．习题1．1A组1．解不等式：(1)；(2)；3．填空：（1）＝________；（3）________．1.2分解因式一、填空题：1、把下列各式分解因式：（1）__________________________________________________。（2）________________________________________________（5）__________________________________________________。（6）_________________________________________________（8）__________________________________________________。（9）__________________________________________________。（10）__________________________________________________。2.、，，的公因式是______________________________。4、分解因式：（1）x2＋6x＋8；（2）8a3－b3；2.1.2根与系数的关系（韦达定理）2．填空（1）若方程x2－3x－1＝0的两根分别是x1和x2，则＝．（3）以－3和1为根的一元二次方程是．习题2.11．选择题:（1）已知关于x的方程x2＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（）（A）－3（B）3（C）－2（D）22．填空:（1）方程kx2＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝．（2）方程2x2－x－4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝．（3）已知关于x的方程x2－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是．（4）方程2x2＋2x－1＝0的两根为x1和x2，则|x1－x2|＝．3．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x2－7x－1＝0各根的相反数2.2.1二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质2．填空题（1）二次函数y＝2x2－mx＋n图象的顶点坐标为(1，－2)，则m＝，n＝．（2）已知二次函数y＝x2+(m－2)x－2m，当m＝时，函数图象的顶点在y轴上；当m＝时，函数图象的顶点在x轴上；当m＝时，函数图象经过原点．（3）函数y＝－3(x＋2)2＋5的图象的开口向，对称轴为，顶点坐标为；当x＝时，函数取最值y＝；当x时，y随着x的增大而减小．2.2.2二次函数的三种表达方式3．根据下列条件，求二次函数的解析式．（1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)；（2）当x＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；2.2.3二次函数的应用2、某商场销售一批名脾衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件：(1)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫要降价多少元？(2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多?2.3.1二元二次方程组的解法解方程组（1）；（2）2.3.2一元二次不等式的解法1．解下列不等式：（1）3x2－x－4＞0；（2）x2－x－12≤0；（3）x2＋3x－4＞0；（4）16－8x＋x2≤0．习题2.33、若0<a<1,则不等式(x－a)(x－)<0的解是()A.a<x< B.<x<aC.x>或x<a D.x<或x>a3.1.1平行线分线段成比例定理图3.1-61．如图3.1-6，，下列比例式正确的是（）图3.1-6A．