五年(2018-2022)全国高考数学真题分类汇编(全国卷新高考卷北京天津卷等)专题4导数选择、填空题(含详解)

2018-2022五年全国各省份高考数学真题分类汇编

专题4导数选择、填空题

一、选择题

1.（2022年全国高考甲卷数学（文）•第8题）当x=l时，函数/（x）=alnx+±取得最大值-2,则八2）=

X

（）

11

A.—1B.—C.-D.1

22

2.（2021年新高考I卷•第7题）若过点（。力）可以作曲线y=e"的两条切线，则（）

A.e"<aB.ea<h

C.0<a<eAD.0<b<ea

3.（2021年全国高考乙卷文科•第12题）设a00,若x=a为函数/（x）=a（x—a）2（x—。）的极大值点，

则（）

Aa<bB.a>hC.ab<a2^>-ab>a2

4.（2019年高考全国III文•第6题）已知曲线丫:呢^+月!^在点（1,讹）处的切线方程为y=2x+8,则

（）

A.a=e,b=—\B.a=e,h=\

C.a=e1,b=\D.a=e",6=-1

5.（2019年高考全国II文•第10题）曲线y=2sinx+cosx在点（肛一1）处的切线方程为（）

A.x-y-Tt-l=OB.2x-y—2K—1=0C.2x+y—2兀+1=0

D.x++l=0

6.（2018年高考数学课标卷I（文）•第6题）设函数/（幻=_?+5-1）/+6.若〃工）为奇函数，则曲

线y=/（x）在点（0,0）处的切线方程为（）

A.y=-2xB.y=—xC.y=2xD.y=x

二、多选题

7.（2022新高考全国I卷•第10题）已知函数/。）=_?7+1,则（）

A.Ax）有两个极值点B.f（x）有三个零点

C.点（0,1）是曲线y=f（x）的对称中心D.直线y=2x是曲线y=f（x）的切线

三、填空题

8.（2022新高考全国II卷•第14题）曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为，

.9.（2022新高考全国I卷•第15题）若曲线y=（x+a）e，有两条过坐标原点的切线，

则a的取值范围是.

10.（2021年新高考全国H卷•第16题）己知函数/（幻=卜'一1|,h<0,々>0,函数的图象在点

A（X，/（xJ）和点8（々,/（巧））的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M,N两点，则程^取值范围

是.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

11.（2020年高考课标III卷文科•第15题）设函数/（幻=工.若/'（1）=刍，则。=_______.

x+a4

12.（2019年高考天津文•第11题）曲线y=cosx-］在点（0,1）处的切线方程为.

13.（2019年高考全国I文•第13题）曲线丫=3（*+x）/在点（0,0）处的切线方程为.

14.（2019年高考江苏•第11题）在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的

切线经过点（e为自然对数的底数），则点A的坐标是.

15.（2018年高考数学江苏卷•第11题）若函数.f（x）=2/一o^+igeR）在Q”）内有且只有一个零点，

则/（%）在［-1,1］上的最大值与最小值的和为.

16.（2018年高考数学天津（文）•第10题）已知函数f\x）=ex\nx,/'（X）为/（x）的导函数，则/'⑴的

值为•

17.（2018年高考数学课标II卷（文）•第13题）曲线y=21nx在点（1,0）处的切线方程为.

2018-2022五年全国各省份高考数学真题分类汇编

专题4导数选择、填空题

一、选择题

1.(2022年全国高考甲卷数学(文)•第8题)当x=l时，函数/(x)=alnx+±取得最大值-2,则八2)=

X

()

11

A.—1B.—C.-D.1

22

【答案】B

【解析】因为函数/(X)定义域为(0,+8),所以依题可知，/⑴=2/'⑴=0,而/(力=?-9，

所以6=-2,。-6=0,即。=-2,。=一2,所以:(》)=，+：,因此函数f(x)在(0,1)上递增，在(1,3)

XX

上递减，x=l时取最大值，满足题意，即有:(2)=-l+g=-g.

故选:B.

【题目栏目】导数、导数的应用'导数与函数的单调性,导数与函数单调性的联系

【题目来源】2022年全国高考甲卷数学(文)•第8题

2.(2021年新高考I卷•第7题)若过点(",切可以作曲线y=e*的两条切线，贝I]()

A.eh<aB.ea<b

C.0<“<e"D.0<*<ea

【答案】D

解析:在曲线y=/上任取一点P(t,e'),对函数y="求导得y'=e、，

所以，曲线y=e"在点尸处的切线方程为y-e'=e'(xT),即y=dx+(l-f)e'，

由题意可知，点(。力)在直线y=e'x+(l-f)d上，可得。=ad=(a+l-f)d,

令/(♦)=(a+则(⑺=(a-r)d.

当f<a时，/⑺>0,此时函数单调递增，

当时，此时函数〃。单调递减，

所以，/⑺皿=/(")=",

由题意可知，直线y=6与曲线y=的图象有两个交点，则1tm=e",当t<a+i时，/(/)>o,

当f>a+l时，/(r)<0,作出函数/⑺的图象如下图所示:

个交点,故选D.

【题目栏目】导数\导数的概念及运算,导数的几何意义

【题目来源】2021年新高考I卷•第7题

3.(2021年全国高考乙卷文科•第12题)设a0o,若x=a为函数=.(x—ap(x—。)的极大值点,

则()

AQ</?B.a>bC.ab<a2O.ab>a2

【答案】D

解析：若。=>，则/(x)=a(x—。丫为单调函数，无极值点，不符合题意，故标b.

依题意，x=。为函数/(x)=a(x—a)2(x—。)的极大值点，

当。<0时，由x>b,/(x)WO,画出/(x)的图象如下图所示:

当a>0时，由x>b时，/(x)>0,画出/(x)的图象如下图所示:

由图可知h>a,a>0，故ah〉/.

综上所述，成立.

故选：D

【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.

【题目栏目】导数\导数的应用、导数与函数的极值\含参函数的极值问题

【题目来源】2021年全国高考乙卷文科•第12题

4.(2019年高考全国H1文•第6题)已知曲线y=m'+xlnx在点(1,㈤处的切线方程为y=2x+b,则

()

A.a=e,b=-lB.a=e,b=l

]

C.a=e",b=1D.a=efb=-l

【答案】【答案】D【解析】y=ae'+x以的导数为y=ae'+仇r+1,由在点(l,ae)处的切线方程为

y=2x+b,

可得小+1+0=2,解得。=1,

又切点为(1,1),可得1=2+6,即％=—1,故选：D.

【题目栏目】导数\导数的概念及运算'导数的几何意义

【题目来源】2019年高考全国W文•第6题

5.(2019年高考全国H文•第10题)曲线y=2sinx+cosx在点(乃,-1)处的切线方程为()

A.x-y-7i-l=0B.2x—y—2兀-1=0C.2x+y—2n+\=0

D.x+y-n+\=0

【答案】【答案】C

【解析】当*=万时,,y=2sin7i+cos7i=-l,即点(兀,-1)在曲线y=2sinx+cosx上.

/=2cosx-sinx,/.y'\x=„=2cos7T-sin;r=-2,则y=2sinx+cosx在点(n,-l)处的切线方程

为y-(-1)=-2(%一兀)，即2x+y-2兀+1=0.故选C.

【点评】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采

取导数法，利用函数与方程思想解题.学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为

切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程.

【题目栏目】导数'导数的概念及运算,导数的几何意义

【题目来源】2019年高考全国H文•第10题

6.(2018年高考数学课标卷I(文)•第6题)设函数/(》)=丁+3-1)/+公.若/(x)为奇函数，则曲

线y=/(x)在点(0,0)处的切线方程为()

A.y=—2xB.y=—xC.y=2xD.y=x

【答案】D

2

解法1：由基本函数y=/,y=(a-i)xfy=ox的奇偶性，结合/(x)为奇函数，易知。=1.

则f(%)=/+x,求导数,得/(乃=3/+1,.,./'(())=1,由点斜式得y-o=i.(x—。)，即y=%.

解法2：•・•/(x)=/+(a-l)x+ar为奇函数，,二/(一次)=—/(工)，

即一V+(Q_1)X2_CIX=_V_(Q_I)/_QX,「.(2。一2)X~-0,得4=1.

则/(x)=/+x,求导数，得/口)=3/+1,，r(0)=l,由点斜式得y-即kX.

【题目栏目】导数'导数的概念及运算'导数的几何意义

【题目来源】2018年高考数学课标卷I(文)•第6题

二、多选题

7.(2022新高考全国I卷•第10题)已知函数/(刈=%3一x+1,则()

A./(x)有两个极值点B.f(x)有三个零点

C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心D.直线y=2x是曲线y=/(x)的切线【答案】AC

解析：由题，/'(》)=3/一1,令/'(x)>0得%>曰或x<_q,

令/（x）＜0得一旦x〈立,

33

所以〃x）在（_*,当）上单调递减，在（_oo,_曰），（等,+oo）上单调递增，

所以x=±立是极值点，故A正确；

3

因/（—#）=1+竽＞0,/（/）=1一¥＞。，/（—2）=—5＜0，

所以，函数“X）在F,-等）上有一个零点，

当时，/（%）＞/^^＞0,即函数“X）在与,+B上无零点，

综上所述，函数/（X）有一个零点，故B错误；

令〃（x）=d-x,该函数的定义域为R,h{-x）-（-X）3-（--^）--X3+%=-A（x）,

则/Mx）是奇函数，（0,0）是/Mx）的对称中心，

将力（幻的图象向上移动一个单位得到/5）的图象，

所以点（0,D是曲线y=fM的对称中心，故c正确；

令r（x）=3d_l=2,可得x=±l,又/⑴="-1）=1,

当切点为（1,1）时，切线方程为y=2x-l,当切点为（一1,1）时，切线方程为y=2x+3,

故D错误

故选：AC.

【题目栏目】导数,导数的应用'导数与函数的极值'极值（点）的概念与判定

【题目来源】2022新高考全国I卷•第10题

三、填空题

8.（2022新高考全国II卷•第14题）曲线y=In|x|过坐标原点的两条切线的方程为

.【答案】①.y=-x②.y^--x

ee

解析：因为y=lnW，

当x>0时y=lnx,设切点为(务In%),由y'=L所以川—,=一，所以切线方程为

%x()

y-lnx0=—(x-x0),

又切线过坐标原点，所以Tnx0=-5-(—%),解得%=e,所以切线方程为y一1=1(％-6),即^=!8；

xoee

当x<0时y=ln(—x),设切点为(西,历(一石))，由y'='，所以)'[=』=，,所以切线方程为

XX

y-ln(-,

x\

又切线过坐标原点，所以Tn(一玉)='(一玉)，解得％=-e,所以切线方程为y—i=_L(x+e),即

X]—e

1

y=一x；

e

故答案为：y=—x；y=­x

ee

【题目栏目】导数\导数的概念及运算'导数的几何意义

【题目来源】2022新高考全国II卷•第14题

9.(2022新高考全国I卷•第15题)若曲线y=(x+〃)e"有两条过坐标原点的切线，则。的取值范围是

【答案】(一8,-4)5°，+8)

解析:Vy=(x+tz)ex,/./=(x+l+a)e^,

设切点为(工,%),则%=(%+a)e%,切线斜率&=(而+l+a)e",

切线方程为：y-(xo+a)e*>=(』+1+0)/>(%一%),

:切线过原点，.•.-(%)+a)e&=(玉)+l+a)e*(一%)，

整理得：龙；+以0-。=°，：切线有两条，•••△=。2+4。〉0,解得々<-4或。>0,

，。的取值范围是(F,T)U(O,”)，

故答案为：(-°o,T)U(0,+8)

【题目栏目】导数\导数的概念及运算,导数的几何意义

【题目来源】2022新高考全国I卷•第15题

10.（2021年新高考全国II卷•第16题）已知函数/（幻=,-“当＜0,々＞0，函数/（幻的图象在点

和点8（%,/（々））的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M,N两点，则愣^取值范围

是.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

【答案】（0,1）

1—e",x<0、~cx,x<0

解析:由题意，/（x）=『Te-'则八z步

e\x>()

所以点A(x「l-e")和点8(孙e*-1),kAM=-e\kBN=e^,所以—e"d=-l,x,+x2=(),所以

AM.y-l+e^'=-e''(x-x,),M(0,er^+1),所以卜根=Jx：+(e%)2=«T而也|,

2x

同理忸M=,——k—.冈’所以\AM局\=Vl万+e昌'-l力x.I=2_l+e2x'

石-N1+h=eJ(0,l).故答案为(0,1).

四.解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

【题目栏目】导数\导数的综合应用

【题目来源】2021年新高考全国H卷•第16题

1L（2020年高考课标HI卷文科•第15题）设函数f（x）=£.若/'⑴=二，则。=

x+a4

【答案】1

X+Q)一£X(x+Q—1)

【解析】由函数的解析式可得:

,“八e1x(l+a-l)aeaee

则：/(!=—；~~-r,据此可得：7一"涓=，，整理可得：4―2。+1=0,解得:

(1+a)(a+1)(a+1)4

a=\.

故答案为：1.

【点睛】本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中等题.

【题目栏目】导数'导数的概念及运算'导数的运算

【题目来源】2020年高考课标in卷文科•第15题

12.（2019年高考天津文•第11题）曲线y=cosx4在点（0,1）处的切线方程为.

【答案】【答案】x+2)-2=0

【思路分析】本题就是根据对曲线方程求导，然后将x=0代入导数方程得出在点(01)处的斜率，然后

根据点斜式直线代入即可得到切线方程.

【解析】由题意，可知y'=—sinx—g,因为sinO—；=—；.

x

曲线y=cosx-］在点(0,1)处的切线方程：=1整理得：x+2y-2=0.故答案为：x+2y—2=0.

【归纳与总结】本题主要考查函数求导以及某点处导数的几何意义就是切线斜率，

然后根据点斜式直线代入即可得到切线方程.本题属基础题.

【题目栏目】导数\导数的概念及运算'导数的几何意义

【题目来源】2019年高考天津文•第11题

13.(2019年高考全国I文•第13题)曲线丫=3(1+x)e'在点(0,0)处的切线方程为.

【答案】【答案】y=3x

【解析】y=3(2x+l)ex+3(/+=3(f+3x+\)ex,结合导数的几何意义曲线在点(0,0)处的切

线方程的斜率左=3,切线方程为y=3x.

【题目栏目】导数\导数的概念及运算,导数的几何意义

【题目来源】2019年高考全国I文•第13题

14.(2019年高考江苏•第11题)在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的

切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是.

【答案】【答案】®1)

【解析】设切点A(xo』nxo),因为y'=(lnx)，=L,所以切线的斜率《=’