高考理科数学导数的概念与运算复习资料

第十二章极限与导数导数的概念与运算第讲41考点搜索●导数的概念及其几何意义●几种常见函数的导数公式●导数的四则运算法则，复合函数的求导法则高考猜想1.导数的基本运算，求函数的导数.2.导数条件的转化与可导条件分析.3.导数与切线的综合应用.21.对于函数y=f(x)，记Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，如果当Δx→0时，

有极限，就说函数y=f(x)在x0处可导，并把这个极限叫做f(x)在点x0处的导数(或变化率)，记作f′(x0)或y′|x=x0，即f′(x0)=———————

=——————————————.2.如果函数f(x)在开区间(a，b)内每一点都可导，则对(a，b)内每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数f′(x0)，3这样就在开区间(a，b)内构成一个新的函数，称这一新函数叫做f(x)在开区间(a，b)内的

，简称导数，记作f′(x)或y′，即f′(x)=

.3.曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是

.相应地，切线方程为————————————————.4.常见函数的导数导函数f′(x0)y-y0=f

′(x0)(x-x0)4(1)C′=

(C为常数)；(2)(xn)′=

(n∈Q);(3)(sinx)′=

;(4)(cosx)′=

;(5)(lnx)′=

;(6)(logax)′=

(a＞0，a≠1);(7)(ex)′=

;(8)(ax)′=

(a＞0，a≠1).0nxn-1cosx

-sinx

ex

axlna

55.导数的四则运算法则(1)(u±v)′=

;(2)(uv)′=

;(3)(uv)′=

(v≠0).u=φ(x)在点x处有导数，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数，则复合函数y=f［φ(x)］在点x处也有导数，且fx′［φ(x)］=

.f′(u)φ′(x)u′±v′

u′v+uv′

61.如果质点A按规律s=2t3运动，则在t=3s时的瞬时速度为()A.6B.18C.54D.81解：因为s′=6t2，所以s′|t=3=6×32=54.C7y=x2-x+c上一点P的横坐标是-2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则c的值为(

)A.1

B.2C.3

D.4解：因为y′=2x-1，所以y′|x=-2=-5.又P(-2，6+c)，所以

,解得c=4.D83.若f′(x0)=2,则等于()A.-1B.-2C.1D.解：A9题型1

求函数的导数1.求下列函数的导数：解：1011点评：掌握常见函数的导数是求函数的导数的关键，注意函数的和、差、积、商的导数在解题中的应用.涉及到复合函数的导数注意把复合函数分解为几个基本函数.12131415题型2在导数条件下求参数的值2.已知函数若存在x0∈R，使得f

′(x0)=0且f(x0)=0，求a的值.解：因为f

′(x)=3x2+2ax，令f

′(x)=0，则3x2+2ax=0，所以x0=0或x0=-.16当x0=0时，由f(x0)=0，可得所以a=0.当x0=-时，由f(x0)=0，可得即a3-9a=0，所以a=0或a=±3.综上分析，a=0或a=±3.17点评：求参数的值或取值范围的问题，仍是转化题中的条件，得到相应参数的方程或不等式，然后通过解方程或不等式得到所求的问题的解.18已知函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e(其中a、b、c、d、e∈R)为偶函数，它的图象过点A(0，-1)，B(1，0)，且f′(1)=-2，求函数f(x)的表达式.解：因为f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)恒成立.即a(-x)4+b(-x)3+c(-x)2+d(-x)+e=ax4+bx3+cx2+dx+恒成立，所以b=0，d=0，即f(x)=ax4+cx2+e.又由图象过点A(0，-1)，可知f(0)=-1，即e=-1.因为f′(1)=-2且f(1)=0，所以4a+2c=-2且a+c-1=0，解得a=-2，cf(x)=-2x4+3x2-1.193.已知曲线求：(1)曲线在x=2处的切线方程；(2)曲线过点P(2，4)的切线方程.解：(1)因为y′=x2,所以在x=2处的切线的斜率k=y′|x=2=4.又x=2时，所以曲线在x=2处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.题型3利用导数求切线方程20(2)设曲线

与过点P(2，4)的切线相切于点则切线的斜率k=y′|x=x0=x02.所以切线方程为即因为点P(2，4)在切线上，所以即21所以所以所以(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2.故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.点评：求曲线在某点处的切线方程的思路是：先求得函数在此点处的导数值，即为切线的斜率，然后根据切点的坐标，再用点斜式可得切线方程.若是经过某点的切线，注意先设切点坐标，然后写出切线方程，再把已知点代入切线方程求得切点的横坐标.22(2010·全国课程标准卷)曲线y=在点(-1，-1)处的切线方程为(

)A.y=2x+1

B.y=2x-1C.y=-2x-3

D.y=-2x-223解：易知点(-1，-1)在曲线上，即为切点，又由于f

′(x)=

=，故f

′(-1)=，即切线的斜率为2，从而切线方程为y+1=2(x+1)，化简可得y=2x+1.24已知函数f(x)在点x=1处连续，且求f

′(1).解：因为f(x)在点x=1处连续，所以又

参考题题型函数的连续性与导数的关系分析25所以即f(1)=0.所以26求证：如果函数y=f(x)在点x0处可导，那么函数y=f(x)在点x0处连续.证明：由已知，得27所以所以命题得证.281.f(x)在点x0处的导数f′(x0)也可理解为：这相当于Δx=x-x0，所以增量Δx可用其他形式替代，如-t，2t等.但在转换时，必须与导数概念保持一致，如事实上，292.

求函数f(x)的导数是一个最基本的题型，利用求导法则将f(x)的导数转化为基本函数的导数，再套公式化简整理，是解决这类问题的基本思路.有时可先对f(x)作适当变形，再求导.3.

复合函数的求导法则表明：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数.30求解时要正确分析函数的复合过程，选好中间变量，尤其是涉及多个函数复合而成的函数，求导时首先要弄清它是几层复合关系，然后由外而内，逐层求导.必要时可通过换元，使复合关系更加明确、具体.同时注意在求导后，要把中间变量换成自变量的函数.4.

求f′(x0)的值，一般先求f′(x)，然后再求当x=x0时导函数的值.有时也可直接利用导数的定义，转化为求函数在某个点处的极限.315.判断函数f(x)在点x=x0处是否可导，可转化为判断

是否存在.若存在，则这个极限值就是f(x)在x0y=f(x)在点x0处可导，那么函数f(x)在点x0y=f(x)在点x0处连续，那么f(x)在x0处不一定可导(例如函数y=|x|在点x=0处连续，但无导数)，它可直观地理解为连续函数对应的曲线在点x0处不一定有“切线”.326.

求过某个点M的曲线的切线方程，关键是求切线的斜率，从而转化为求曲线在切点处的导数.但必须注意的是，先要明确点M是否在曲线上.若点M在曲线上，则它就是切点，否则，要另设切点坐标，切不可把函数在点M处的导数误认为是切线的斜率.7.

由于函数y=f(x)在x=x0处的导数表示曲线在点P(x0，f(x0))处切线的斜率，因此，曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程可按如下步骤求得：33第一步，求出函数y=f(x)在点x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率.第二步，在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f′(x0)(x-x0).如果曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)，由切线的定义可知，切线的方程为x=x0.34第十二章极限与导数导数的应用第讲5（第一课时）35考点搜索●利用导数判断函数单调性的基本原理●函数极值的概念及其判定原理●函数的最大值与最小值高考猜想1.利用导数确定函数的单调性、极值和最值，并进行分类讨论.2.利用导数解决方程、不等式问题，以及实际应用性问题，考查导数的工具性作用.361.设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)＞0，则f(x)为①

;如果f′(x)＜0，则f(x)为②

.如果在某个区间内恒有③

，则f(x)为常数.2.设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有④

，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0);增函数减函数f′(x)=0f(x)＜f(x0)37如果对x0附近的所有的点，都有⑤

，就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，极大值与极小值统称为⑥

.3.当函数f(x)在点x0处连续时，如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是⑦

；如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是⑧

.f(x)＞f(x0)极值极大值极小值38f(x)在［a，b］上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在［a，b］上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求f(x)在(a，b)内的⑨

；(2)将f(x)的各极值与⑩

比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.f(a)、f(b)极值391.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是()A.(-∞,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+∞)解：f′(x)=(x-3)′ex+(x-3)(ex)′=(x-2)ex,令f′(x)>0,解得x>2,故选D.D40

在x=1处取极值，则a=

.解：由

解得a=3.3

41题型1利用导数判断函数的单调性及简单证明1.求函数y=2x3-9x2+12x-3的单调区间.解：函数的定义域为R.y′=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2).令y′=0，得x1=1，x2=2.x1，x2将定义域分成三个区间(-∞，1)，(1，2)，(2，+∞)，可列表讨论如下：42所以函数y=2x3-9x2+12x-3的单调增区间为(-∞，1)，(2，+∞)；单调减区间为(1，2).x(-∞，1)1(1，2)2(2，+∞)y′+0-0+y极大值极小值43点评：利用导数判断函数在区间(a，b)上的单调性，其步骤是：先求导函数f

′(x)，然后判断导函数f

′(x)在区间(a，b)上的符号；而求函数的单调区间，则先求导，然后解方程f′(x)=0，得出不等式f′(x)>0的解的区间(即递增区间)或f

′(x)<0的解的区间(即递减区间).若没有指定区间，应先求出函数的定义域.444546题型2利用导数讨论函数的单调性2.设a为实常数，试讨论函数f(x)=lg(10x+1)-ax的单调性.解：47(1)因为10x+1＞10x＞0，所以故当a≥1时，

(2)当0＜a＜1时，1-a＞0，令f′(x)＞0，则即令f′(x)＜0，则即(3)当a≤0时，综上分析，48当a≤0时，f(x)是增函数；当a≥1时，f(x)是减函数；当0＜a＜1时，f(x)在(-∞，)上是减函数，在(，+∞)上是增函数.点评：含参数的函数的单调性问题，在求导后判断f

′(x)的符号时，需要根据参数的取值情况进行分类讨论.49已知函数f(x)=e2x-2t(ex+x)+x2+2t2+1，证明：(1)当t＜时，g(x)在R上是增函数；(2)对于给定的闭区间［a，b］，总存在实数k，当t＞k时，g(x)在闭区间［a，b］上是减函数.证明：(1)由题设得g(x)=e2x-t(ex+1)+x，则g′(x)=2e2x-tex+1.又由2ex+e-x≥，且t＜

，得t＜2ex+e-x，即g′(x)=2e2x-tex+1＞0.由此可知，g(x)为R上的增函数.50(2)证法1：因为g′(x)＜0是g(x)为减函数的充分条件，所以只要找到实数k，使得t＞k时，g′(x)=2e2x-tex+1＜0，即t＞2ex+e-x在闭区间［a，b

］上成立即可.因为y=2ex+e-x在闭区间［a，b

］上连续，故在闭区间［a，b

］上有最大值，设其为k，于是在t＞k时，g′(x)＜0在闭区间［a，b

］上恒成立，即g(x)在闭区间［a，b

］上为减函数.51证法2：因为g′(x)＜0是g(x)为减函数的充分条件，所以只要找到实数k，使得t＞k时，g′(x)=2e2x-tex+1＜0在闭区间［a，b

］上成立即可.令m=ex，则g′(x)＜0(x∈［a，b

］)当且仅当2m2-tm+1＜0(m∈［ea，eb］).而上式成立只需52取2ea+e-a与2eb+e-b中较大者记为k，易知当t＞k时，g′(x)＜0在闭区间［a，b］上恒成立，即g(x)在闭区间［a，b］上为减函数.2e2a-tea+1＜02e2b-teb+1＜0，即t＞2ea+e-at＞2eb+e-b成立.533.已知f(x)=ex-ax-1.(1)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围；(2)是否存在a,使f(x)在(-∞，0］上单调递减，在［0，+∞)上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.题型3利用导数求单调函数中参数的取值范围54解：f′(x)=ex-a.(1)因为f(x)在R内单调递增，所以f′(x)≥0在R上恒成立.所以ex-a≥0，即a≤ex在R上恒成立.所以a≤(ex)min.又因为ex＞0，所以a≤0.故a的取值范围为(-∞,0］.55(2)解法1：由题意知ex-a≤0在(-∞，0］上恒成立,所以a≥ex在(-∞，0］上恒成立.因为g(x)=ex在(-∞，0］上为增函数,所以当x=0时，ex取得最大值1.所以a≥1.同理可知ex-a≥0在［0，+∞)上恒成立，即a≤ex在［0，+∞)上恒成立，所以aa=1.56解法2：由题意知，x=0为f(x)的极小值点，所以f′(0)=0,即e0-a=0,所以a=1.点评：由可导函数在某指定区间上是单调的，可得此函数在区间上的导函数的符号