第2章结构的几何构造分析课件分解

第2章

结构的几何构造分析

§2.1

几个概念一、几何构造分析的目的1.几何不变体系和几何可变体系

几何不变体系：体系在随意荷载作用下，若忽视杆件本身的材料变形，而能保持其几何形态和位置不变的体系。几何可变体系：体系在随意荷载作用下，即使忽视杆件本身的材料变形，也不能保持其几何形态和位置不变，而发朝气械运动的体系。1.所谓忽略杆件本身的材料变形，即把体系中各杆件视为不会发生变形的刚体。

2.建筑结构必须是几何不变体系。

注意：图2.12．探讨体系几何组成的目的（1）探讨几何不变体系的组成规律，推断某一体系是否几何不变，从而判定该体系是否可作为结构运用；（2）明确结构各部分在几何组成上的相互关系，从而选择简便合理的计算依次；（3）判定结构是静定结构还是超静定结构，以便选择正确的计算方法。

平面内的刚体称为刚片。

一根杆件、地基基础（即地球）或体系中已经确定为几何不变的某个部分都可看作一个平面刚片。1.刚片

留意：由于刚片中随意两点的距离保持不变，故刚片可以由刚片内的一条直线来代替。二、相关概念2.自由度

确定物体在平面内的位置所须要的独立坐标数。xyOAxyW=2W=3（1）平面内一点（2）平面内一刚片xyOxyAθB留意：凡体系W＞0，则是可以发生运动的，都是几何可变体系。3.约束（联系）又称联系，是体系中构件之间或构件与基础之间的联接装置，限制了体系的某些方向的运动，是使体系自由度削减的因素。削减一个自由度的装置，称为一个约束。(1)链杆：两端用铰与其它物体相连的杆件，可以是直杆、折杆、曲杆。约束的类型：链杆、铰结点、刚结点图2.2增加一根链杆可以削减一个自由度，相当于一个约束。W=3（x、

y、

）W=2（

1、

2）xyBA⌒A⌒2⌒1BxyOxyO(2)单铰结点：

连接两个刚片的铰结点。

一个链杆供应一个约束，故一个单铰相当于两根链杆。增加一个单铰可以削减两个自由度，相当于二个约束。W=4（x、

y、

1、

2）W=6ⅠⅡAxy⌒1⌒2xyO(3)复铰结点：

连接两个刚片以上的铰结点。

连接3个刚片的复铰，相当于2个单铰的作用，供应4个约束。W=9W=5（x、

y、

1、

2、

3）xyOⅠⅡAxy⌒1⌒2⌒Ⅲ3xyOⅠⅡAxy⌒1⌒2⌒Ⅲ3Ⅳ4⌒连接4个刚片的复铰，相当于3个单铰的作用，供应6个约束。W=12W=6（x、

y、

1、

2、

3、

4）连接n个刚片的复铰，相当于（n-1）个单铰的作用，供应2（n-1）个约束。(4)单刚结点：连接两个刚片的刚结点。

W=6W=3一个单刚结点可削减三个自由度相当于三个约束。(5)复刚结点：连接两个刚片以上的刚结点。

W=9W=3连接n个刚片的复刚结点，相当于（n-1）个单刚结点的作用，供应3（n-1）个约束。(6)支座约束：(a)可动铰支座相当于1个约束。(b)固定铰支座相当于2个约束。(c)固定支座相当于3个约束。构件与基础之间的联接装置。4.必要约束与多余约束(1)必要约束：能限制体系自由度的约束，是使体系自由度数削减为零所需的最少约束。(2)多余约束：对限制体系自由度不起作用的约束，即不能使体系自由度削减的约束。5.实铰与虚铰(瞬铰）(2)虚铰：虚铰是由不干脆相连接的两根链杆构成的。虚铰的两根链杆的杆轴可以平行、交叉，或延长线交于一点。留意：无论是实铰还是虚铰，都供应2个约束。(1)实铰：由两根链杆相交于一点构成的铰成为实铰。

虚铰的特点：如下图（a）所示刚片Ⅱ不动，刚片Ⅰ以点C为瞬时转动中心进行转动，只有一个自由度。经过一微小位移后，两杆延长线的交点C的位置也发生了变更，C点起到一个铰的作用。无穷远虚铰6.瞬变体系留意：Ⅰ.瞬变体系一般是总约束数满足但约束方式不满足规则的体系，是特殊的几何可变体系,往往具有多余约束。Ⅱ.瞬变体系是严禁作为结构运用的。(1)概念：原本是几何可变，在微小荷载作用下发生瞬间的微小位移后成为几何不变的体系称为瞬变体系。(2)静力特性：在微小荷载作用下可产生无穷大内力。图(a)是有一个多余约束的几何不变体系图(b)是瞬变体系§2.2平面几何不变体系的组成规律一、一点一刚片1.规则一：一个点与一个刚片之间用两根不在同一条直线上

的链杆相连，组成无多余约束的几何不变体系。2.推论：二元体规则(1)二元体：两根不在同一条直线上的链杆联接一个新结点的装置，如图2.3(a)所示。(2)二元体规则：在一已知体系中依次增加或拆除二元体，不变更原体系的几何性质。留意：利用二元体规则可以简化体系，使构造分析更简洁。图2.3二、两刚片规则1.规则二：两个刚片用一个单铰和杆轴不过该铰铰心的一根链杆相连，组成无多余约束的几何不变体系。如图2.3(b)所示。2.推论：两个刚片用不全交于一点也不全平行的三根链杆相连，组成无多余约束的几何不变体系。如

图2.4(a)所示。三、三刚片规则留意：以上三个规则可相互变换。之所以用三种不同的表达方式，是为了在具体的构造分析中敏捷运用。1.规则三：三个刚片用不全在一条直线上的三个单铰(可以是虚铰)两两相连，组成无多余约束的几何不变体系。如图2.3(c)所示。2.铰接三角形规则：平面内一个铰接三角形是无多余约束的几何不变体系。图2.4图(d)是几何常变体系图(b)(c)是几何常变体系四、分析举例

1.分析的一般要领：先将能干脆视察出的几何不变部分当作刚片，并尽可能扩大其范围，这样可简化体系的组成，揭示出分析的重点，便于运用组成规则考察这些刚片间的联结状况，作出结论。3.常用的分析途径：

(1)当体系中有明显的二元体时，可先依次去掉其上的二元体，再对余下的部分进行分析。如图2.5所示体系。2.分析步骤：选择刚片→确定约束→运用规则→得出结论图2.5(2)

当体系的基础以上部分与基础间以三根支承链杆按规则二相联结时，可先拆除这些支杆，只对上部体系本身进行分析，所得结果即代表整个体系的组成性质。如图2.6所示体系。(3)凡是只以两个铰与外界相连的刚片，不论其形态如何，从几何组成分析的角度看，都可看作为通过铰心的链杆。如图2.7所示体系。图2.6图2.7【例2.1】试对图2.8所示体系进行几何组成分析。图2.8【解】AB杆与基础之间用铰A和链杆1相连，组成几何不变体系，可看作一扩大了的刚片。将BC杆看作链杆，则CD杆用不交于一点的三根链杆BC、2、3和扩大刚片相连，组成无多余约束的几何不变体系。

【例2.2】试对图2.9所示体系进行几何组成分析。【解】体系中折杆DHG和FKG可分别看作链杆DG、FG（图中虚线所示），依次去掉二元体（DG、FG）、（EF、CF），对余下部分，将折杆ADE、杆BE和基础分别看作刚片，它们通过不共线的三个铰A、E、B两两相连，故为无多余约束的几何不变体系。【例2.3】试对图2.10所示体系进行几何组成分析。【解】体系基础以上部分与基础用三根不交于一点且不完全平行的链杆1、2、3相连，符合两刚片规则，只分析上部体系。将AB看作刚片Ⅰ，用链杆AC、EC固定C，链杆BD、FD固定D，则链杆CD是多余约束，故此体系是有一多余约束的几何不变体系。在本例中链杆AC、EC、CD、FD及BD其中之一均可视为多余约束。【例2.4】分析图2.11所示体系的几何构造。【解】（1）分析图(a)中的体系首先，三角形ADE和AFG是两个无多余约束的几何不变体系，分别以Ⅰ和Ⅱ表示。Ⅰ与地基Ⅲ间的链杆1、2相当于瞬铰B，Ⅱ与地基Ⅲ间的链杆3、4相当于铰C。如A、B、C三个铰不共线，则体系为无多余约束的几何不变体系。（2）

分析图（b)中的体系先把折杆AC和BD用虚线表示的链杆2与3来替换，于是T形刚片CDE由三个链杆1、2、3与基础相连。如三链杆共点，则体系是瞬变的。

五、留意的问题1．恰当敏捷地确定体系中的刚片和约束体系中的单个杆件、折杆、曲杆或已确定的几何不变体系均可视为刚片。但若刚片只用两个铰与体系的其它部分连接时，则可用一根过两铰心的链杆代替，视其为一根链杆的作用。2．假如上部体系与大地的连接符合两刚片的规则，则可去掉与大地的约束，只分析上部体系。3．通过依次从外部拆除二元体或从内部（基础、基本三角形）增加二元体的方法，简化体系后再作分析。4．杆件和约束不能重复利用。W=3m-(3g+2j+r)一、平面一般体系计算自由度的表达式平面体系的计算自由度W:刚片数m支座链杆数r自由度数3m单刚结点数g

约束数3g单铰结点数j

约束数2j约束数r§2.3

平面杆件体系的计算自由度留意：支座链杆数是把全部的支座约束全部转化为链杆约束所得到的。W=2j-(m+r)二、链杆体系计算自由度的表达式铰结点个数j链杆数m

自由度数2j约束数m支座链杆数r约束数r链杆体系的计算自由度W:例1.求图示体系的计算自由度。(a)(b)图(a)中：m=1，r=3，W=3m-(3g+2j+r)=3×1-3=0体系自由度为0。图(b)中：m=1，r=3，W=3m-(3g+2j+r)=3×1-3=0从计算结果看，体系自计算由度为0。但是，从图中可以看出，体系在水平方向没有约束力，有1个运动自由度。例2.求图示体系的计算自由度。解：m=3，j=2，r=3，W=3m-(3g+2j+r)=3×3-2×2-4=1>0

体系自由度大于0，是几何可变的。例3.计算图示体系的计算自由度。(a)(b)(c)(d)图(a)中：W=2j-(m+r)=2×6-8-3=1＞0，

体系有1个自由度，体系几何可变。图(b)中：W=2j-(m+r)=2×6-9-3=0，

体系自由度为0，体系几何不变。图(c)中：W=2j-(m+r)=2×6-9-3=0，体系计算自由度为0，但从图中可以看出，体系下部分有1个多余约束，上部分缺少1个必要约束，体系几何可变。图(d)中：W=2j-(m+r)=2×6-9-4=-1＜0，体系存在多余约束，从图中可以看出，体系下部分有2个多余约束，上部分缺少1个必要约束，体系仍为几何可变。例4.求图示不与基础相连体系的计算自由度。解：由于体系不与基础相连接，相对于地基有3个自由度，故体系的内部计算自由度公式（1）

V=W-3=

3m-2j-3=3×7－2×9－3=0公式（2