2018高数点直线平面间的位置关系直线与平面垂直的性质234两条平行直线间的距离学案新人教A版必修

直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质目标定位1.证明并掌握直线与平面、平面与平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描绘定理.2.能运用性质定理证明一些空间地点关系的简单命题.3.理解“平行”与“垂直”之间的互相转变.自主预习直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行a⊥α?a∥b符号语言b⊥α图形语言①线面垂直?线线平行作用②作平行线平面与平面垂直的性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面文字语言垂直α⊥βα∩β＝l符号语言?a⊥βa?αa⊥l图形语言①面面垂直?线面垂直作用②作面的垂线即时自测判断题(1)两条平行直线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面.(√)垂直于同一平面的两个平面平行.(×)(3)假如两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.即α⊥β，A∈α，A∈b，b⊥β?b?α.(√)1(4)假如平面α⊥平面β，那么平面α内的全部直线都垂直于平面β.(×)提示(2)垂直于同一平面的两个平面能够订交也能够平行.直线与平面β地点关系不确立.△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的地点关系是( )A.订交B.异面C.平行D.不确立分析因为l⊥AB，l⊥AC，AB?α，AC?α且AB∩AC＝A，所以l⊥α，同理可证m⊥α，所以l∥m.答案C在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是( )A.平行B.EF?平面A1B1C1D1C.订交但不垂直D.订交且垂直分析在长方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1且平面A1ABB1∩平面A1B1C1D1＝A1B1，又EF?面A1ABB1，EF⊥A1B1，∴EF⊥平面A1B1C1D1，答案D正确.答案D4.已知a、b为直线，α、β为平面.在以下四个命题中，正确的命题是________(填序号).①若a⊥α，b⊥α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a⊥α，a⊥β，则α∥β；④若α∥b，β∥b，则α∥β.分析由“垂直于同一平面的两直线平行”知①真；由“平行于同一平面的两直线平行或异面或订交”知②假；由“垂直于同向来线的两平面平行”知③真；易知④假.答案①③种类向来线与平面垂直的性质及应用【例1】如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，EF与异面直线AC、A1D都垂直订交.2求证：EF∥BD1.证明以下图，连结AB1、B1D1、B1C、BD，∵DD1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1B1，又BD1?平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.规律方法证明线线平行常有以下方法：利用线线平行定义：证共面且无公共点；利用三线平行公义：证两线同时平行于第三条直线；利用线面平行的性质定理：把证线线平行转变为证线面平行；利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转变为证线面垂直；(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转变为证面面平行.【训练1】如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线?β，⊥.求证：a∥.aaABl证明因为EA⊥α，α∩β＝l，即l?α，所以l⊥EA.同理l⊥EB，又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.因为EB⊥β，a?β，所以EB⊥a，又a⊥AB，EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB.所以，a∥l.种类二平面与平面垂直的性质及应用【例2】已知：α、β、γ是三个不一样平面，l为直线，α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l.求证：l⊥γ.证明法一设α∩γ＝a，β∩γ＝b，在γ内任取一点P，过P在γ内作直线m⊥a，n⊥b，如图.3∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥α，n⊥β，又∵α∩β＝l，∴m⊥l，n⊥l，又m∩n＝P，∴l⊥γ.法二如图，α∩γ＝a，β∩γ＝b，在α内作m⊥a，在β内作n⊥b.∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥γ，n⊥γ，∴m∥n.又∵n?β，m?β，∴m∥β，又α∩β＝l，m?α，∴m∥l，∴l⊥γ.规律方法1.证明或判断线面垂直的常用方法有：(1)线面垂直的判断定理；(2)面面垂直的性质定理；(3)若a∥，⊥α则b⊥α；(，为直线，α为平面).baab(4)若a⊥α，α∥β则a⊥β；(a为直线，α，β为平面).2.两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转变为线面垂直，方法是在此中一个面内作(找)与交线垂直的直线.【训练2】设平面α⊥平面β，点P在平面α内，过点P作平面β的垂线a，试判断直线a与平面α的地点关系.解如图，设α∩β＝c，过点P在平面α内作直线b⊥c.依据平面与平面垂直的性质定理有⊥β.b因为过一点有且只有一条直线与平面β垂直，所以直线a与直线b重合，所以?α.a4种类三线线、线面、面面垂直的综合应用(互动研究)【例3】以下图，在四棱锥－中，底面是边长为a的菱形，且∠＝60°，PABCDABCDDAB侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；求证：AD⊥PB.[思路研究]研究点一运用面面垂直的性质定理的一般策略是什么？提示运用面面垂直的性质定理时，一般要作协助线：过此中一个平面内一点作交线的垂线.这样就把面面垂直转变成线面垂直或线线垂直了.研究点二线线、线面、面面垂直关系之间犹如何的转变关系？提示证明(1)∵在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，∴△ABD为正三角形，又G为AD的中点，∴BG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，BG?平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD.连结PG，如图，∵△PAD为正三角形，G为AD的中点，∴PG⊥AD.由(1)知BG⊥AD，PG∩BG＝G，∴AD⊥平面PGB，∵PB?平面PGB，∴AD⊥PB.规律方法证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判断定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理.此题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理.利用面面垂直的性质定理.证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线一定在此中一个平面5内；(3)直线一定垂直于它们的交线.【训练3】如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.PA与BD能否互相垂直？请证明你的结论.解PA与BD互相垂直.证明以下：如图，取BC的中点O，连结PO、AO.∵PB＝PC，∴PO⊥BC，又侧面PBC⊥底面ABCD，平面PBC∩平面ABCD＝BC，∴PO⊥底面ABCD，又BD?平面ABCD.∴PO⊥BD，在直角梯形ABCD中，易证△ABO≌△BCD，∠BAO＝∠CBD，∠CBD＋∠ABD＝90°，∴∠BAO＋∠ABD＝90°，∴AO⊥BD，又PO∩AO＝O，∴BD⊥平面PAO，∴BD⊥PA，即PA与BD互相垂直.[讲堂小结]1.线面垂直的性质定理揭露了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，供给了“垂直”与“平行”关系互相转变的依照.2.面面垂直的性质定理揭露了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，表现了数学中的转变与化归思想，其转变关系以下：1.以下说法正确的选项是( )垂直于同一条直线的两直线平行垂直于同一条直线的两直线垂直C.垂直于同一个平面的两直线平行D.垂直于同一条直线的一条直线和平面平行分析由线面垂直的性质定理知C正确.6答案C2.设α－－β是直二面角，直线?α，直线?β，，b与l都不垂直，那么( )labaA.a与b可能垂直，但不行能平行B.a与b可能垂直，也可能平行C.a与b不行能垂直，但可能平行D.a与b不行能垂直，也不行能平行分析当a，b都与l平行时，则a∥b，所以A、D错，如图，若⊥过a上一点P在α内作a′⊥l，ab因为α⊥β，所以a′⊥β，又b?β，∴a′⊥b，∴b⊥α，而l?α，∴b⊥l，与b和l不垂直矛盾，所以B错.答案C如图，在三棱锥P－ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB________.分析∵侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，PA?平面PAC，∴PA⊥平面ABC，又AB?平面ABC，22∴PA⊥AB，∴PB＝PA＋AB＝1＋4＝5.答案5以下图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，求证：平面SCD⊥平面SBC.证明∵底面ABCD是矩形，∴BC⊥CD.又∵平面SDC⊥平面ABCD，平面SDC∩平面ABCD＝CD，BC?平面ABCD，∴BC⊥平面SCD.又∵BC?平面SBC，∴平面SCD⊥平面SBC7基础过关1.以下命题中错误的选项是( )A.假如平面α⊥平面β，那么平面α内必定存在直线平行于平面βB.假如平面α不垂直于平面β，那么平面α内必定不存在直线垂直于平面βC.假如平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD.假如平面α⊥平面β，那么平面α内全部直线都垂直于平面β分析由平面与平面垂直的相关性质能够判断出D项错误.答案D2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，组成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，以下命题正确的是( )A.平面ABD⊥平面ABCB.平面ADC⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDCD.平面ADC⊥平面ABC分析如图，在平面图形中CD⊥BD，折起后仍旧知足CD⊥BD，因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，CD?平面BCD，故CD⊥平面ABD，又AB?平面ABD，CD⊥AB.又AB⊥AD，AD∩CD＝D，故AB⊥平面ADC，又AB?平面ABC，所以平面ADC⊥平面ABC.答案D3.设m，n是两条不一样的直线，α，β是两个不一样的平面，以下命题中正确的选项是( )A.若α⊥β，m?α，n?β，则m⊥nB.若α∥β，m?α，n?β，则m∥nC.若m⊥n，m?α，n?β，则α⊥βD.若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β分析如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，平面BCC1B1⊥平面ABCD，BC1?平面BCC1B1，BC?平面ABCD，而BC1不垂直于BC，故A错误.平面A1B1C1D1∥平面ABCD，B1D1?平面A1B1C1D1，AC?平面ABCD，但B1D1和AC不平行，故B错误.AB⊥A1D1，AB?平面ABCD，A1D1?平面A1B1C1D1，8但平面A1B1C1D1∥平面ABCD，故C错误.应选D.答案D4.a，b是两条不一样直线，α为平面，以下命题中正确的选项是________(填序号).a⊥b，a∥α，a⊥α，①?a∥α；②?b⊥α；③?a∥b；b⊥αa⊥bb⊥αa∥b，?b⊥α.a⊥α分析①中a可能在α内；②中b也可能与α平行，③④正确.答案③④若α⊥β，α∩β＝AB，a∥α，a⊥AB，则a与β的关系为________.分析如图，过a作平面γ，设γ∩α＝，b∵∥α，∴∥.又∵⊥，∴⊥.aabaABbAB又∵α⊥β，α∩β＝AB，b?α，∴b⊥β，∴a⊥β.答案a⊥β如图三棱锥P－ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，∠ACP＝30°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC.证明∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，PA?平面PAC，∴PA⊥平面ABC.又BC?平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB.又BC?平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC.如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点.求证：9PA⊥底面ABCD；BE∥平面PAD；平面BEF⊥平面PCD.证明(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，PA?平面PAD，所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以四边形ABED为平行四边形.所以BE∥AD.又因为BE?平面PAD，AD?平面PAD，所以BE∥平面PAD.因为AB⊥AD，并且四边形ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD.又PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD.又PD?平面PAD，所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF.所以CD⊥EF.又因为CD⊥BE，EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.又CD?平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.能力提高以下图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在( )A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.△ABC内部10分析连结AC1，∠BAC＝90°，即AC⊥AB，又AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，所以AC⊥平面ABC1.又AC?平面ABC，于是平面ABC1⊥平面ABC，且AB为交线，所以，点C1在平面ABC上的射影必在直线AB上，应选A.答案A如图，正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，此刻沿SE、SF、EF把这个正方形折成一个四周体，使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G.给出以下关系：①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.此中建立的有( )A.①与②B.①与③C.②与③D.③与④分析由SG⊥GE，SG⊥GF，GE∩GF＝G，得SG⊥平面EFG，清除C、D；若SE⊥平面EFG，则SG∥SE，这与SG∩SE＝S矛盾，清除A，应选B.答案B10.以下图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点.若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长等于________.分析取CD的中点G，连结MG，NG.因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝2.因为平面ABCD⊥平面DCEF，平面∩平面＝，ABCDDCEFCD所以MG⊥平面DCEF，因为GN?平面CDEF，可得MG⊥NG，所以＝2＋2＝6.MNMGNG答案611.以下图，在平行四边形中，已知＝2＝2a，＝3，∩＝，将其沿对ABCDADABBDaACBDE11角线BD折成直二面角.求证：(1)AB⊥平面BCD；平面ACD⊥平面ABD.证明(