2021届辽宁省高三临门一卷（一）数学试题

/16/16/2021届辽宁省高三临门一卷（一）数学试题一、单选题1．若复数（其中i为虚数单位），则（）A． B．5 C．2 D．25【答案】B【分析】化简复数形式，利用复数模公式即可求解．【详解】，所以．故选：B2．若集合，则A∩B＝（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先化简集合，再求交集即可．【详解】由题意，得，所以．故选：D3．2021年“五一”劳动节某小学组织开展了“劳动美”社会实践活动，鼓励孩子们居家劳动，在做家务中体验劳动的艰辛与快乐．某同学要在擦桌子、扫地、收纳衣服、煮饭、洗菜这五种家务中任选两种，则该同学选择的家务中有一项是煮饭的概率为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】五种家务中任选两种的所有情况共种，其中有一项是煮饭的情况有种，结合古典概率公式即可求解．【详解】在这五种家务中任选两种的所有情况共种，其中有一项是煮饭的情况有种，故所求概率为．故选：D4．等差数列的前n项和为，若，则（）A． B． C．10 D．【答案】A【分析】利用等差数列求和公式求得和的值，结合等差中项即可求得结果.【详解】在等差数列中，，．故选：A.5．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其中OA＝20cm，∠AOB＝120°，M为OA的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是（）A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2【答案】B【分析】根据扇形面积公式计算可得；【详解】解：扇环的面积为．故选：B6．英国数学家约翰?康威在数学上的成就是全面性的，其中“康威圆定理”是他引以为傲的研究成果之一．定理的内容是：三角形ABC的三条边长分别为a，b，c，分别延长三边两端，使其距离等于对边的长度，如图所示，所得六点仍在一个圆上，这个圆被称为康威圆．现有一边长为2的正三角形，则该三角形生成的康威圆的面积是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由“康威圆定理”可知的康威圆圆心即为三角形内切圆的圆心，正三角形内切圆的圆心即为中心，据此可得圆的半径，进一步可求其面积.【详解】康威圆的圆心即为三角形内切圆的圆心，正三角形内切圆的圆心即为中心，所以其康威圆半径为，故面积为．故选:C.7．设函数，则函数的图象可能是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求得函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除A,B,C，得出答案.【详解】解：，定义域为，且，故函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除A,B,C，故选：D.8．过点M（p，0）作倾斜角为150°的直线与抛物线交于两点A，B，若，则的值为（）A．4 B． C． D．【答案】A【分析】直线的倾斜角为150°，则斜率为设出直线方程，联立方程组，利用有一个角为的直角三角形，得出求出，将转化为，从而得出答案.【详解】直线AB方程为：，联立方程组，整理得，设，，则，又，．故选：A二、多选题9．设，函数在区间上有零点，则的值可以是（）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】由题得，令，求出解不等式得解.【详解】由题得，令，解得，取k＝0，，即．故选：BCD10．已知过点A（a，0）作曲线的切线有且仅有两条，则实数a的值可以是（）A．－2 B．4 C．0 D．6【答案】AD【分析】设出切点，写出切线方程，将点代入，化简后方程有两根，即可得到的取值范围.【详解】设切点为，则，所以切线方程为：，切线过点A（a，0），代入得：，即方程有两个解，则有或．故选：AD.11．已知双曲线且成等差数列，过双曲线的右焦点F（c，0）的直线l与双曲线C的右支相交于A，B两点，，则直线l的斜率的可能取值为（）A． B．－ C． D．－【答案】AB【分析】利用成等差数列，求得，设左焦点为，则．令，利用余弦定理求得的值，从而求得，利用同角三角函数的基本关系式求得，从而求得直线的斜率.【详解】因为成等差数列，所以，所以．设左焦点为，则．令，则，即，将代入解得，从而解得，故，而是直线l的倾斜角或倾斜角的补角，所以直线l的斜率的值为－或．故选：AB.12．在三棱锥A－BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AB＝BC＝1，BD＝，三棱锥A－BCD的所有顶点均在球O的表面上，若点M、N分别为△BCD与△ABD的重心，直线MN与球O的表面相交于F、G两点，则（）A．三棱锥A－BCD的外接球表面积为 B．点O到线段MN的距离为C． D．【答案】ACD【分析】根据题意三棱锥A－BCD可放在边长为1的正方体中，三棱锥的外接球球心即为正方体的中心，由此即可计算出各边的长度，即可选出答案.【详解】如图所示，三棱锥A－BCD可放在正方体中，故三棱锥的外接球球心即为正方体的中心，所以．A正确.点M、N分别为线段BE、BO的2：1分点，故，又因，所以在中，点O到线段MN的距离为，B错误.所以，C正确.．D正确.故选：ACD.三、填空题13．已知命题“”是假命题，则实数a的取值范围是________．【答案】【分析】把条件等价转化为“”为真命题，结合二次函数知识可求范围.【详解】由题意知“”为真命题，所以，解得0＜a＜3．故答案为：.14．设，那么________．【答案】240【分析】题中等式左边为，右边为，需令x－1＝t，将转化为，利用二项式定理求解.即.【详解】设x－1＝t，则，故.故答案为：24015．正项数列中，，若，则________．【答案】9【分析】将原式化简得，故数列为等比数列，利用等比中项求得结果.【详解】，化简得，故数列为等比数列，．故答案为：9.16．线段AB的端点分别在x，y的正半轴上移动，如图，∠ABC＝30°，＝0，，若点D为AB中点，则的取值范围是________．【答案】【分析】设，用表示出点的坐标，结合向量运算表示出，进而可求范围.【详解】设，同理，∴，即，，∴，∴，．四、解答题17．在锐角△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且△ABC的面积为．（1）求c的值；（2）求cos（B－C）的值．【答案】（1）7；（2）．【分析】（1）首先利用诱导公式及正弦定理将边化角，即可求出角，再由三角形的面积求出边，再利用余弦定理计算可得；（2）首先利用余弦定理求出，再根据同角三角函数的基本关系求出，再利用两角差的余弦公式计算可得；【详解】解：（1）由，所以，再由正弦定理得，，又因为，即，解得，由余弦定理得：，解得（2）由（1）得，，所以．18．已知为等差数列，为等比数列，且满足．（1）求和的通项公式；（2）对任意的正整数n，设，求数列的前n项和．【答案】（1），；（2）．【分析】（1）设出数列的公差和公比，结合条件求出公差和公比，然后写出通项公式；（2）求出，结合错位相减法求和可得数列的前n项和．【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由，则1＋3d＝4d，可得d＝1，所以，因为，所以，整理得，解得q＝2，所以；（2），，两式相减，得所以．19．如图所示，平面五边形可分割成一个边长为2的等边三角形ABC和一个直角梯形ACDE，其中AECD，AE＝CD＝AC，∠EAC＝90°，现将直角梯形ACDE沿边AC折起，使得AE⊥AB，连接BE、BD，设线段BC的中点为F．（1）求证：AF平面BDE；（2）求直线EF与平面BDE所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）取BD的中点G，连接EG、FG，利用平行四边形证明AFEG，进而可得AF平面BDE；（2）建立空间直角坐标系，求出平面BDE的法向量，结合线面角的向量求解公式可得结果.【详解】证明：（1）取BD的中点G，连接EG、FG，由F为BC的中点，则FGDC且FG＝CD，因为AECD且CD＝2AE，所以AEFG且AE＝FG，所以四边形AFGE为平行四边形，则AFEG，又因为平面BDE，平面BDE，所以AF平面BDE；（2）∵AE⊥AB，AE⊥AC，，平面ABC，∴AE⊥平面ABC．如图，以A为坐标原点，AF为x轴，在平面ABC内，过点A作BC的平行线为y轴，AE为z轴建立空间直角坐标系，则，，设平面BDE的法向量为，则，即，令y＝1，则，所以，设直线EF与平面BDE所成角为，所以.20．《中国制造2025》提出，坚持“创新驱动、质量为先、绿色发展、结构优化、人オ为本”的基本方针，通过“三步走”实现制造强国的战略目标：第一步，到2025年迈入制造强国行列；第二步，到2035年中国制造业整体达到世界制造强国阵营中等水平；第三步，到新中国成立一百年时，综合实力进入世界制造强国前列．质检部门对设计出口的甲、乙两种“无人机”分别随机抽取100架检测某项质量指标，由检测结果得到如下的频率分布直方图：（1）写出频率分布直方图（甲）中a的值；记甲、乙两种“无人机”100架样本的质量指标的方差分别为，试比较的大小（只需给出答案）；（2）若质检部门规定质量指标高于20的无人机为优质产品，根据上面抽取的200架无人机的质量指标进行判断，是否有95%的把握认为甲、乙两种“无人机”的优质率有差异？甲乙合计优质产品不是优质产品合计1001002000.050.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828（3）由频率分布直方图可以认为，乙种“无人机”的质量指标值Z服从正态分布．其中近似为样本平均数近似为样本方差，设X表示从乙种无人机中随机抽取10架，其质量指标值位于（11.6，35.4）的架数，求X的数学期望．注：①同一组数据用该区间的中点值作代表，计算得；②若，则．【答案】（1）a＝0.010，；（2）没有95%的把握认为甲、乙两种“无人机”的优质率有差异；（3）．【分析】（1根据题设结果频率分布直方图得出结论；（2）完善列联表，根据公式求得，和表中比较得出结论；（3）利用正态分布公式求得，结合二项分布求得结果．【详解】解：（1）a＝0.010，且；（2）甲种无人机中优质率为0.25＋0.1＋0.35＝0.7，所以甲种无人机中优质产品有70架，不是优质产品的有30架；乙种无人机中优质率为0.3＋0.2＋0.1＝0.6，所以乙种无人机中优质产品有60架，不是优质产品的有40架．列联表如下：甲乙合计优质产品7060130不是优质产品304070合计100100200，故没有95%的把握认为甲、乙两种“无人机”的优质率有差异．（3）计算得：，由条件，从而，故从乙种“无人机”中随机抽取1架，其质量指标值位于（11.6，35.4）的概率是0.6826，根据题意得，21．已知桶圆的上、下顶点分别为，左、右焦点分别为，四边形的面积为，直线的斜率为．（1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆上存在异于顶点的点，其中，使得，且，求直线的方程．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用面积结合直线的斜率求得的值，从而求得椭圆方程；（2）设直线的方程为：x＝my－1，与椭圆交于两点，由对称性可知点与点Q关于原点对称，所以，利用直线方程和椭圆方程联立，利用韦达定理代入求得的值，从而求得直线方程．【详解】解：（1）四边形为菱形，且，由已知可得，解得：，从而椭圆C的方程为：；（2）设直线的方程为：x＝my－1，与椭圆交于两点，由对称性可知点与点Q关于原点对称，所以，联立方程组（其中），整理得：，由韦达定理：，，∴由条件：．解得，故直线的方程为：，即．【点睛】关键点点睛：本题关键点为将直线和椭圆方程联立后利用韦达定理将化简为只有的式子，从而求得的值，得出结果.22．已知函数，，．（1）若函数在上单调递增，在上单调递减，求实数的取值范围；（2）设曲线在点处的切线为，是否存在这样的点使得直线与曲线（其中）也相切？若存在，判断满足条件的点的个数，若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）不存在这样的点，答案见解析．【分析】（1）求得，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，结合已知条件可求得实数的取值范围；（2）设，设直线与曲线相切于点，写出直线的方程，可得出，通过化简后得到关于的等式，通过构造函数，求出函数的最值，即可得出结论.【详解】（1）因为，则.①当时，若，则，此时函数单调递减，若，则，此时函数单调递增，不合乎题意；②当时，由，可得，由，可得或.此时函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，因为函数在上单调递增，在上单调递减，则；③当时，对任意的，，则函数在上单调递增，不合乎题意；④当时，若