沪科版九年级数学上册复习-难点探究专题：抛物线与几何图形的综合选做

#难点探究专题：抛物线与几何图形的综合 (选做)——代几结合，突破面积及点的存在性问题♦类型一抛物线与三角形的综合一、求最值(龙东中考)如图，抛物线y=x2—bx+c交x轴于点A(1,0),交y轴于点B,对称轴是直线x=2.(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点 P,使^PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.y=ax2+bx+c(aw0)y=ax2+bx+c(aw0)经过A(-1,0),B(3,0),P到点A、点B的距离之和最短时，求点P的二、求直角(或等腰或相似)三角形的存在性问题(2016凉山州中考)如图，已知抛物线C(0,—3)三点，直线l是抛物线的对称轴.(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当点坐标；(3)点M也是直线l上的动点，且^MAC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标.【易错6】

★(2016南宁中考)如图，已知抛物线经过原点 O,顶点为A(1,1),与直线y=x—2交于B,C两点.(1)求抛物线的解析式及点C(1)求抛物线的解析式及点C的坐标;(2)求证：△ABC是直角三角形;(3)若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN，x轴与抛物线交于点M,则是否存在以O,M,N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.三、与面积相关的问题TOC\o"1-5"\h\z(2016台湾中考)如图，坐标平面上，二次函数y=—x2+4x—k的图象与x轴交于A,B两点，与y轴交于C点，其顶点为D,且k>0.若4ABC与△ABD的面积比为1：4,则k的值为( )1A.1B14 4C.oD-3 5(2016日照中考)如图，抛物线y=—3[(x—2)2+n]与x轴交于点A(m-2,0)和B(2m5+3,0)(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,连接BC.(1)求m,n的值；(2)点N为抛物线上的一动点，且位于直线 BC上方，连接CN,BN.求4NBC面积的最大值.♦类型二抛物线与特殊四边形的综合

(2016盐田区二模)抛物线y=—x2+6x—9的顶点为A,与y轴的交点为B,如果在抛物线上取点C,在x轴上取点D,使得四边形ABCD为平行四边形，那么点D的坐标是( )A.(-6,0)B.(6,0)C.(-9,0)D,(9,0)如图，在平面直角坐标系中，沿着两条坐标轴摆着三个相同的矩形，其长、宽分别为4,2,则过A,B,C三点的抛物线的函数关系式是(2016余干县三模)如图，四边形OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°,点B在抛物线y=ax2(a〈0)的图象上，则a的值为.(2016百色中考)正方形OABC的边长为4,对角线相交于点P,抛物线l经过O,P,A三点，点E是正方形内的抛物线l上的动点.(1)建立适当的平面直角坐标系，①直接写出O,P,A三点坐标；②求抛物线l的解析式；(2)求(2)求4OAE与^OCE面积之和的最大值.参考答案：11—b+c=0， b=4, 2：(1)由题意得：b_ 解得, ，抛物线的解析式为y=x—4x+3;2=， C=3.

(2)存在.•点A与点C关于直线x=2对称，，连接BC与直线x=2交于点P,则点P即为所求.根据抛物线的对称性可知点 C的坐标为(3,0). y=x2—4x+3，，点B的坐标3m+n=0, m=—1,为(0,3).设直线BC的解析式为y=mx+n,则， 解得， 直线BC的解n=3, n=3.析式为y=-x+3,.•・直线BC与直线x=2的交点坐标为(2,1),即点P的坐标为(2,1).a—b+c=0,：(1)将A(—1,0),B(3,0),C(0,—3)代入抛物线y=ax2+bx+c中，得$9a+3b+c=0,c=-3,a=1,解得彳b=—2，，抛物线的函数关系式为 y=x2-2x-3;c=-3.(2)当点P在x轴上，P,A,B三点在一条直线上时，点 P到点A、点B的距离之和最短，此时x=—袅=1,故点P的坐标为(1,0);2a(3)点m的坐标为(1,—1),(1,a)，(1,-V6),(1,0).解析：抛物线的对称轴为直线x=—2=1.设点M的坐标为(1,m).已知A(-1,0),C(0,—3),则2aMA2=m2+4,MC2=(m+3)2+1=m2+6m+10,AC2=12+32=10.①若MA=MC,则MA2=MC2,得m2+4=m2+6m+10,解得m=—1;②若MA=AC,则MA2=AC2,得m2+4=10,解得m=3/6;③若MC=AC,贝UMC2=AC2,得m2+6m+10=10,解得m1=0,m2=—6,当m=—6时，M,A,C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去.综上所述，符合条件的点M的坐标为(1,—1),(1,洞,(1,—乖)，(1,0).(1)解：二.顶点坐标为(1,1),•••设抛物线的解析式为 y=a(x—1)2+1.又:抛物线过原点，，0=a(0—1)2+1,解得a=—1,，抛物线的解析式为y=-(x-1)2+1,即y=-x2… 1y=—x2+2x, x=2,,x=—1,一，一，,+2x.联立抛物线和直线解析式可得 / 解得j或1 ・••点B的坐标为y=x—2, ly=0 ly=-3,(2,0),点C的坐标为(—1,—3);(2)证明：分别过A,C两点作x轴的垂线，交x轴于点D,E两点，则AD=OD=BD=1,BE=OB+OE=2+1=3,CE=3,，BE=CE,/ABO=/CBO=45°,，/ABC=/ABO+/CBO=90°,「.△ABC是直角三角形；2(3)解：假设存在满足条件的点 N,设点N的坐标为(x,0),则点M的坐标为(x,—x+2x),..ON=|x|,MN=|—x2+2x|.由(2)在Rt^ABD和Rt^CEB中，可分别求得AB=V2,BC=3*..,MN，x轴，.MNO=/ABC=90°,.•・当△ABC和△MNO相似时，有MN=ON或ABBCMNBC=M,O,ON।MNONg所士|—x2+2x|冈 ।~1rMNBC=M,O,AB.①当AB=BC时，则有 e=3亚即冈Lx+2/x|「Tx=0时,

TOC\o"1-5"\h\zN不能构成三角形，，xw0,.♦.|—x+2|=1,即一x+2=i1,解得x=5或x=7,此时点N3 3 3 3的坐标为［|,0'或(7,0);②当罂=ON时，则有「x：2x|=塔，即国|_x+2|=3|x|, |-x3 3 BCAB 3.2 2+2|=3,即一x+2=七，解得x=5或*=-1,此时点N的坐标为(一1,0)或(5,0).综上所述，存在满足条件的 N点，其坐标为15,0讪6，0'或(-1,0)或(5,0).3 ’ 3小D解析：:y=—x2+4x—k=—(x-2)2+4—k,.•・顶点D的坐标为(2,4—k),点C1 1 1的坐标为(0,-k),QC=k./AABC的面积为］ABOC=2ABk,AABD的面积为2AB(41 4-k),△ABC与AABD的面积比为1：4,/.k=-(4-k),解得k=g.故选D.：(1)二•抛物线的解析式为 y=—*x—2)2+n]=一|(x—2)2—gn,「•抛物线的对称轴为直线x=2.二•点A和点B关于直线x=2对称，.•・(m-2)+J2m+3)=2,解得m=1,•••点A的坐标为(一1,0),点B的坐标为(5,0).把A(—1,0)代入y=-3[(x-2)2+n]得95+n=0,解得n=-9;(2)过点N作ND//y轴交BC于D.由(1)可得抛物线的解析式为 y=-3[(x-2)2—9]=一15 5x2+15x+3,当x=0时，y=3,则点C的坐标为(0,3).设直线BC的解析式为y=kx+b,把B(5,0),C(0,3)把B(5,0),C(0,3)代入得5k+b=0,b=3,［k=-3解得5、b=3,・♦・直线BC的解析式为3八y=-5x+3.设点N的坐标为［x,—5x2+12x+3!,则点D的坐标为［x,-1x+3!,nND=-5x2+152x5 32,c32,15ND=-5 32,c32,15ND=-1—-x+3x厂—2x+~x+3—「$x+3尸—5x+3x,••SaNBC=SANDC+S^NDB=］5=Tl5：+§，当x=5时，△NBC面积最大，最大值为75.2K2 8 2 82.D解析：令x=0,得y=-9,•••点B的坐标为(0,—9).<y=-x+6x-9=-(x—3)2,•••点A的坐标为(3,0),对称轴为直线x=3；♦点C在抛物线上，且四边形ABCD是平行四边形，，点C的坐标为(6,—9),BC=6,AD=6,.••点D的坐标为(9,0).故选D.y=—电2—1x+20解析：依题意得A点的坐标为(一4,2),B点的坐标为(一2,16a-4b+c=2,6),C点的坐标为(2,4).设抛物线的函数关系式为 y=ax2+bx+c,则14a—2b+c=6,解4a+2b+c=4,

5ra=一⑵得《b=-1， .•・抛物线的函数关系式为 y=-：5x2-^x+20.2 12 2 320.c=彳3—g2解析：连接OB；.四边形OABC是边长为1的正方形，，/BOC=45°,OB=1xq2=y2.过点B作BD^x轴于点D「「OC与x轴正半轴的夹角为15°,BOD=45°—15°=30°,..BD=2OB=¥，OD=yOB2—BD2 ?_党:=当，，点b的坐标为「.•・•点B在抛物线丫=2*2(2〈0)的图象上，，2-261=—呼，解得a=—*.9.解：(1)以9.解：(1)以O点为原点，线段OA所在的直线为x轴，线段OC所在的直线为y轴建立直角坐标系，如图所示.①•••正方形OABC的边长为4,对角线相交于点P,•,•点。的坐标为(0,0),点A的坐标为(4,0),点P的坐标为(2,2);②设抛物线 l的解析式为 y=ax2+bx+c.由抛物线l经过O,P,A三点，得0=c， a=