高一上学期数学人教A版必修第一册函数的应用同步练习（含答案）

《函数的应用》同步练习

一、基础巩固

知识点1已知函数模型的应用问题

1.[2022湖南邵阳高一月考]从地面竖直向上抛出一个小球,小球距离地面的高度/）（单

位:m）与小球的运动时间t（单位:s）之间的关系式为h=30t-5t）那么小球从抛出至回落到地

面所需要的时间是（）

A.6sB.4sC.3sD.2s

2.[2022重庆南开中学高一上期末]新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有

效手段.某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第n天，每个检测对

象从接受检测到检测报告生成（称检测过程）平均耗时4项单位:h）大致服从的关系为

米n<No,

t（n）=\to,No为常数.已知第16天检测过程平均耗时为16h,第64天和第67

而，nNNo,

IVwo

天检测过程平均耗时均为8h,那么第49天检测过程平均耗时大约为（）

A.16hB.llhC.9hD.8h

3.[2022云南昆明市第一中学高一上期末]在线直播带货已经成为一种重要的销售方式,

假设在线购买人数y与某产品销售单价x（单位:元）满足关系式:片段-x+40,其中

20Vx<100,m为常数.当该产品销售单价为25元时，在线购买人数为2015,假设该产品成本

为每件20元，且每人限购1件，则下列说法错误的是（）

A.m的值为10000

B.销售单价越低，在线购买人数越多

C.当x的值为30时利润最大

D.利润最大值为10000

4.通过研究学生的学习行为，专家发现,学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化,

讲课开始时，学生的兴趣激增,中间一段时间，学生保持较理想的状态，随后学生的注意力

开始分散设加）表示学生注意力随时间t（min）的变化规律。⑴越大,表明学生注意力越集

中），经实验分析得知：

-t2+24t+100,0<t<10,

/（f）=240,10<t<20,

—71+380,20Vt440.

⑴讲课开始多少分钟，学生的注意力最集中?能持续多少分钟?

（2）讲课开始后5min与讲课开始后25min比较,何时学生的注意力更集中?

⑶一道数学难题，需要讲解24min,并且要求学生的注意力至少达到180,那么经过适当安

排，老师能否在学生达到所需要的状态下讲完这道题目？

知识点2根据已知条件建立函数模型

5.某商场以每件30元的价格购进一种商品，销售中发现，这种商品每天的销量m（件）与每

件的售价x（元）满足函数关系m=162-3x,若要每天获得最大的销售利润，则商场应将每件

商品的售价定为（）

A.35元B.42元C.54元D.66元

6.把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形,那么这两个正三角形面积之

和的最小值是（）

A.ycm2B.4cm2

C.3V2cm2D.2V3cm2

7.[2022江西九江高一上期末]某超市元旦期间搞促销活动，规定:顾客购物的总金额不超

过500元，不享受任何折扣;若顾客购物的总金额超过500元,则超过的部分享受一定的折

扣优惠，并按下表折扣分别累计计算：

可享受的折扣优惠金额折扣率

不超过400元的部分10%

超过400元的部分20%

若某顾客在此超市享受折扣60元，则该顾客购物实际所付金额为（）

A.940元B.1000元

C.1140元D.1200元

8.[2022黑龙江哈三中高一上期中]某公司成功研发48两种芯片,研发耗费资金2千万元,

现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的净收入力（千万元）与投入

资金X1（千万元）成正比，已知每投入1千万元，公司获得净收入0.25千万元;生产B芯片的

净收入力（千万元）是关于投入资金X2（千万元）的基函数，其图象如图所示.

⑴分别求出生产A,B两种芯片的净收入与投入资金的函数关系式.

（2）现在该公司准备投入4亿元资金同时生产A,B两种芯片.设投入x千万元生产B芯片,

用Hx）表示该公司所获利润，求最大利润及此时生产B芯片的投入资金.（利润=A芯片净收

入+B芯片净收入-研发耗费资金）

9.如图，有一块矩形空地A8CD,要在这块空地上开辟一个内接四边形EFG”绿地,使其四

个顶点分别落在矩形ABCD的四条边上.已知4B=a（a>2）,BC=2,且AE=AH=CF=CG,设AE=x,

绿地EFGH的面积为y.

⑴写出y关于x的函数解析式，并求出它的定义域.

(2)当AE为何值时，绿地面积y最大?并求出最大值.

二、能力提升

10J2022广东惠州调考］某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度

d(单位:cm,每层玻璃的厚度相同)及两层玻璃间的空气层厚度/(单位:cm)对保温效果的影

响,利用傅立叶定律得到热流量q满足关系式q=/li尚不,其中玻璃的导热系数尢=4*10-3

W/(cm」C),不流通、干燥的空气的导热系数A=2.5xl0"w/(cm」C)A7■为室内外温度差,q

值越小，保温效果越好.现有4种型号的双层玻璃窗户，具体数据如下表：

型号4型8型C型。型

d0.40.30.50.4

13434

则保温效果最好的双层玻璃的型号是()

A/型B.8型C.C型D.D型

11.(多选)［2022福建福州高一上期末］边际函数是经济学中的一个基本概念，在国防、工程、

环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用，函数/(x)的边际函数Mf(x)定义为

M/(x)=/(x+D-/(x).某公司每月最多生产75台报警系统装置，生产x台(X6N，)的收入函数

R(x)=3000x-20x2,成本函数C(x)=500x+4000,利润是收入与成本之差,设利润函数为P(x),则

()

A.P(x)取得最大值时每月产量为63台

B.边际利润函数的解析式为MP(x)=2480-40x(xeN*)

C.利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)的最大值不同

D.边际利润函数MP(x)说明随着产量的增加，增加生产一台的利润在减少

12.［2022山东日照高一上期末］2022年春节期间,某商场进行如下的优惠促销活动.

优惠方案1：一次购买商品的价格每满60元立减5元.

优惠方案2:在优惠1之后,再每满400元立减40元.

例如，一次购买商品的价格为860元，则实际支付额为860-5x［嘤卜40x1=750(元)，其中国表

oU

示不大于X的最大整数.

⑴小明计划在该商场购买两件价格分别是250元和650元的商品，他是分两次支付好，还

是一次支付好?请说明理由.

(2)已知某商品是小明常用必需品，其单价为30元，小明趁商场促销，想多购买几件该商品,

其预算不超过500元，求他应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低?最低平均价格是

多少？

参考答案

一、基础巩固

1.A令6=30t-5t2=0,得t=0(舍去)或t=6.故小球从抛出至回落到地面所需要的时间是6s.

2.C由第16天检测过程平均耗时为16h,第64天和第67天检测过程平均耗时均为8h

知,16<检,所以提=16,得t0=64.又由盘=8,知他=64,所以当n=49时,可49)=篇=登9.故选

C.

将代入故说法正

3.Dx=25,y=2015yX=—Z^U-x+40,M2015zb=—-Z^U--25+40,WWm=10000,A

确.因为片翳-x+40是减函数，故B说法正确.由题意，得利润为

/(x)=(x-20)(^^-x+40)=-x2+60x+9200=-(x-30)2+10100,所以当x=30时，最大利润为10100

元，故C说法正确,D说法错误.故选D.

4.解：(1)当0<长10时/出=1+2用+100单调递增，

当20ct“0时,/(t)=-7t+380单调递减，且/(10)=/(20)=240,

所以讲课开始10min,学生的注意力最集中，能持续10min.

(2)因为/(5)=195,/(25)=205,195<205,

所以讲课开始后25min比讲课开始后5min学生的注意力更集中.

⑶当0<t<10时，令/(t)=-t2+24t+100=180,得t=4,

当20Vt“0时，令/(t)=-7t+380=180,得t=28.57,

X28.57-4=24.57>24,

所以经过适当的安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲完这道题目.

5.B设当每件商品的售价为x元时，每天获得的销售利润为y元.由题意

得，片m(x-30)=(162-3x)(x-30)=-3(x-42产+432,所以当x=42时,每天获得的销售利润最大.

6.D设一段长为xcm,则另一段长为(12-x)cm,分析知0<x<12,则两个正三角形的面积之

和5=乎(》2邛(4自2=^|(『6产+28,当x=6时,5mm=2VI

7.A设该顾客购物总金额为x元，享受的折扣优惠金额为y元，则

0,0<x<500,

y=0.1(%-500),500<%<900,因为60>40,所以x>900,所以令0.2(x-900)+40=60,解得

,0.2(%-900)+40,%>900,

x=l000,故该顾客购物实际所付金额为1000-60=940(元).

8.解：⑴由题意可设力=kxi,则0.25=k，故%=0.25xi.

由题意可设，2=塔,由题图知力=熠的图象过点(4,2),所以2=4。,解得a=a

1

故72=%2-

11_1

(2)由题意知/(x)=0.25(40-x)+%2-2=x5-0.25x+8=-0.25(垠-2产+9,

1

由二次函数性质可知，当疵=2,即x=4时J(x)有最大值9.

故所求最大利润为9千万元，此时生产B芯片的投入资金为4千万元.

9.解：(1)由题意，得S»(E*5ACFG=32,

S^BEF-S^DGH-^(O-X)(2-X),

所以y=S矩形48CD-2s2s△8EF=_2x2+(Q+2)X.

%>0,

a-x>0“曰八八

2-x>0,得°<x_2.

(a>2,

故y=-2x2+(a+2)x,定义域为(0,2］.

(2)片-2x2+(a+2)x=-2(x詈产

当^<2且a>2,即2<a<6时，当x=竽时,y(nax之燮;

44o

当等22,即a26时，片-2x2+(a+2)x在(0,2］上单调递增，

则当x=2时,ymax=2a-4.

综上所述，当2<a<6,AE=字时,绿地面积最大，最大值为噌;当应6,A£=2时，绿地面积最大,

4o

最大值为2a-4.

二、能力提升

10.D

11.BCD

12.解析⑴若分两次支付，则支付额为250-5xW1+650-5x［甯-40=790(元).

OUoU

若一次支付，则支付额为900-5x［啰］-40x2=745(元).

0U

因为745<790,所以一次支付好.

⑵设购买该