高考数学专项练习讲义-导数与函数的单调性

§3.2导数与函数的单调性

【考试要求】1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函

数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).

・落实主干知识

【知识梳理】

I.函数的单调性与导数的关系

条件恒有结论

fW>0«r)在区间(a,6)上单调递增

函数y=/(x)在区

f(x)<07U)在区间(a,上单调递减

间(。，份上可导

fU)=0/(x)在区间(a,上是常数函数

2.利用导数判断函数单调性的步骤

第1步，确定函数的定义域;

第2步，求出导数，(第的零点;

第3步，用/(x)的零点将_/(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出了'(x)在各区间上的正

负，由此得出函数y=/(x)在定义域内的单调性.

【常用结论】

1.若函数式》)在(〃，6)上单调递增，则6)时，f(x)20恒成立；若函数/(x)在(a,b)

上单调递减，则xG(a,6)时，/(x)WO恒成立.

2.若函数4X)在①，6)上存在单调递增区间，则历时，/(x)>0有解；若函数4)在3,b)

上存在单调递减区间，则力时，/(x)<0有解.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“或“X”)

(1)如果函数7(x)在某个区间内恒有/(x)=0,则兀r)在此区间内没有单调性.(V)

(2)在(a,加内/(x)WO且/(x)=0的根有有限个，则人幻在(a,与内单调递减.(J)

(3)若函数/(x)在定义域上都有/(x)>0,则式x)在定义域上一定单调递增.(X)

(4)函数y(x)=x—sinx在R上是增函数.(V)

【教材改编题】

1./a)是y(x)的导函数，若/(X)的图象如图所示，则式x)的图象可能是()

答案c

解析由/(X)的图象知，

当%G(-oo,0)时，f(%)>0,

••式X)单调递增;

当XG(O,X1)时，f(x)<0,二加)单调递减;

当xG(xi,+8)时，/(x)>0,

...©单调递增.

2.函数次x)=(x-2)e，的单调递增区间为.

答案(1,+°0)

解析/W的定义域为R,

f(x)=(x-l)e\

令(x)=0,得x=1,

当XC(1,+8)时，/(x)>0；

当xe(—8,1)时,/(x)<0)

二兀0的单调递增区间为(1,+8).

13

3.若函数加)=学一资+6+4的单调递减区间为[—1,4],则实数。的值为.

答案一4

解析/(x)=x2—3x+a,且兀r)的单调递减区间为I―1,4],(》)=/—3x+aW0的解集

为[T,4],

-1,4是方程/'(x)=0的两根，

则a=(—1)X4=—4.

■探究核心题型

题型一不含参数的函数的单调性

例1(1)函数«r)=/-21nx的单调递减区间是()

A.(0,1)B.(1,+°0)

C.(一8,1)D.(-1,1)

答案A

2

解析(x)=2x—j

2(x+l)(x—1)

=-----7(x>o),

令/(x)=0,得x=I,

...当xG(O,l)时，f(x)<0,/)单调递减；

当XG(I,+8)时，/(%)>o,«r)单调递增.

(2)若函数兀0=若则函数40的单调递减区间为

答案(1,+°°)

解析yu)的定义域为(0,+°°),

-Inx—1

/(x)=，

令^(x)=~—Inx—l(x>0),

<p'0)=_白_:<°，

夕(x)在(0,+8)上单调递减，且1(1)=0,

.,.当xG(0,l)时，3(x)>0,

当xC(l,+8)时，9>(X)<O,

；.危)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减.

【教师备选】

(2022•山师附中质检)若基函数段)的图象过点停，则函数多的单调递增区间为

()

A.(0,2)

B.(—8,0)0(2,+°0)

C.(-2,0)

D.(-8,-2)U(0,+8)

答案A

解析设代入点(乎，9，

则解得GC=2,

•••g(x)=最，

则g,(X尸专至=咋2

令g'(x)>0,解得0cx<2,

函数g(x)的单调递增区间为(0,2).

思维升华确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意一是不

能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开.

跟踪训练1(1)己知定义在区间(0,时上的函数/(x)=x+2cosx,则,/(X)的单调递增区间为

答案(。，,管，兀)

解析/(x)=l—2sinx,x£(0,兀).

令/W=0,得尤二会或尤=知，

7T

当0<x%时，/(x)>0,

JrSJT

当时，/(x)<0,

当*时，f'(x)>0,

.,孙)在(0,3和管，兀)上单调递增，在你引上单调递减.

(2)函数/)=(x—l)e'一/的单调递增区间为,单调递减区间为

答案(一8,0),(In2,+8)(0,In2)

解析,危0的定义域为R,

f(x)=jce'—2%=%(6^—2),

令，(x)=0,得x=0或x=ln2,

当X变化时，f(X),火X)的变化情况如下表，

X(―0°,0)0(0,in2)In2(In2,+0°)

f(x)+0一0+

fi.x)单调递增单调递减单调递增

.•mx)的单调递增区间为(一8,0),(In2,+8),单调递减区间为(0,In2).

题型二含参数的函数的单调性

例2已知函数兀0=3办2—(a+i)x+[nx,”>0,试讨论函数yfx)的单调性.

解函数的定义域为(0,+8),

”,,1加一(4+1)犬+1

fW=ar-(a+l)+-=-------------

3—l)(x—1)

X.

令/(x)=0，得x=±或x=l.

①当0<a<l时，:>1,

.•.xe(O,l)和&+8)时,f(x)>0；

xe(l，J时，/(x)<0，

...函数人x)在(0,1)和©,+8)上单调递增，

在(1,上单调递减；

②当4=1时，(=1,

(X)》。在(0,+8)上恒成立，

...函数段)在(0,+8)上单调递增；

③当°>1时，0<(<1,

.,.xe(0,0和(1,+8)时，f(x)>o；

xeg,1)时，f(x)<0,

函数犬x)在(0,0和(1,+8)上单调递增，

在G，1)上单调递减.

综上，当0<〃<1时，函数式x)在(0,1)和g,+8)上单调递增，在(1,9上单调递减；

当。=1时，函数y(x)在(0,+8)上单调递增；

当4>1时，函数“T)在(0,0和(1,+8)上单调递增，在g,1)上单调递减.

延伸探究若将本例中参数a的范围改为"GR,其他条件不变，试讨论y(x)的单调性？

解当a>0时，讨论同上；

当aWO时，ar-l<0,

.”£(0,1)时,f(x)>0；xG(l,+8)时,f(X)<O,

函数y(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减.

综上，当“wo时，函数式的在(o,i)上单调递增，在(1,+8)上单调递减；

当0<〃<1时，函数40在(0,1)和+8)上单调递增，在(1,0上单调递减;

当a=i时，函数y(x)在(0,+8)上单调递增；

当时，函数人用在(o,0和(1,+8)上单调递增，在6，1)上单调递减.

【教师备选)

讨论下列函数的单调性.

{1}f(x)=x—a\nx；

(2)g(x)=(x-a—l)ev—(x-a)2.

解(iyu)的定义域为(o,4-o°),

令f(x)=0,得x=a,

①当aWO时，，(x)>0在(0,+8)上恒成立，

.\火力在(0,+8)上单调递增，

②当4>0时，XG(O,4)时，f(x)<0,

xG(a,+8)时，/(%)>o,

.,.段)在(0,4)上单调递减，在(〃，+8)上单调递增.

综上，当“W0时，兀0在(0,+8)上单调递增，

当«>0时，段)在(0,公上单调递减，

在3，+8)上单调递增.

(2)g(x)的定义域为R,

g'(x)=(x—a)e，-2(x-a)=(x-a)(e*-2),

令g'(x)=0,得x=a或x=ln2,

①当”>ln2时，

%e(—oo(]n2)U(a,+8)时，g'(x)>0,

xG(ln2,a)时，g'(x)<0,

.,.g(x)在(一8,in2),(a,+8)上单调递增，在(In2,a)上单调递减.

②当a=ln2时，g'(x)20恒成立，

；.g(x)在R上单调递增，

③当a<ln2时，

xe(—oo,a)U(ln2,+8)时，g'(%)>0,

xG(a,In2)时，g'(x)<0,

，g(x)在(一8,a),(In2,+8)上单调递增，在(a,In2)上单调递减.

综上，当a>ln2时，g(x)在(-8,in2),(a,+8)上单调递增，在(In2,a)上单调递减;

当a=ln2时，g(x)在R上单调递增；

当”<ln2时，g(x)在(一8,“)，(in2,+8)上单调递增，在(“，In2)上单调递减.

思维升华(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.

(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点.

2

跟踪训练2己知函数次x)=x-;+a(2—Inx),a>0.讨论«r)的单调性.

解由题知，./U)的定义域是(0,+8),

设g(x)=x2—ar+2,

g(x)=0的判别式-8.

①当/V0,即0<a<26时，对一切x>0都有/(x)>0.此时火x)在(0,+8)上单调递增.

②当/=0,即a=2明时，仅对》=正，

有/(x)=0,对其余的x>0都有/'(x)>0.

此时火x)在(0,+8)上单调递增.

③当/>0,即a>2吸时，方程g(x)=0有两个不同的实根，

a—yjd2—^a+yja2—S

X\=2，X2=2，0<Xj<X2.

当X变化时，f(X),7U)的变化情况如下表：

X(0,xi)XI(XI,X2)X2(X2,+°°)

f(x)+0一0+

火X)单调递增极大值单调递减极小值单调递增

此时火x)在(o,0用河上单调递增，

在尸尹，妇哗弓上单调递减，

在(生哗三，+8)上单调递增.

题型三函数单调性的应用

命题点1比较大小或解不等式

例3⑴已知函数/)=xsinx,x£R,贝I底)，川)，/(一：)的大小关系为()

A./(冶)次1)叶倒

B.

c-

D-/(一(MS/1)

答案A

解析因为./(x)=xsinx,所以.*一x)=(—x>sin(—x)=xsinx=«x),所以函数4t)是偶函数，

所以/(—,又当xe(°,方)时，/(x)=sinx+xcosx>0,所以函数於)在(0,争上单调

递增，所以/(以0)寸0，即/(一英空./).

(2)己知函数_/(x)=e*-er—2%+1,则不等式式您一3)>1的解集为.

答案俵+8)

解析f(x')—e''—e~x—2x+1,定义域为R,

f(x)=e'+e-,:-2>2^e'-e-A-2=0,

当且仅当x=0时取“=”，

在R上单调递增，

又的)=1，

二原不等式可化为4z<-3)M0),

3

即lx—3>0,解得x>2，

二原不等式的解集为(I，+8).

命题点2根据函数的单调性求参数的范围

例4已知函数,/(x)=52+2ar—Inx,若1x)在区间［；,21上单调递增，则实数。的取值范围

为.

答案+8)

解析由题意知/(x)=x+2a—!20在片，2上恒成立，

即2a2-x+，在21上恒成立，

,I入口max—3，

84

/.2a^y即心1.

延伸探究在本例中，把在区间片，2上单调递增”改为“外)在区间由2上存在单

调递增区间”，求“的取值范围.

解f(x)=x+2a—^,

若兀v)在仕，21上存在单调递增区间,

则当2)时，/(x)>0有解，

即2Q>一无+：有解，

「11

・.”£仁，2J,

33

.\2a>—y即a>一木

故4的取值范围是(一点+8).

【教师备选】

1.若函数於)=e，(sinx+a)在区间(苫，号上单调递增，则实数“的取值范围是()

A.(1,+°°)B.[2,+0°)

C.[1,+8)D.(一小，+8)

答案C

解析由题意得

fx+«)+evcosx

=e^V2sin(x+^)+a,

:/a)在(苫,灯上单调递增，

:(x)20在(甘，§上恒成立，又冷0,

・•・任吊，丫+彳)+心0在(甘，§上恒成立，

.,.•\/^^口+/+〃£(-1+〃，,\/2+^],

—l+a2O,解得即+°°).

2.(2022•株州模拟)若函数於)="小+》恰有3个单调区间，则a的取值范围为

答案(一8,0)

解析由人冷二左+北得/'。)=3以2+].

若则，(x)>0恒成立，此时大X)在(-8,+8)上为增函数，不满足题意;

若。＜0,由/(x)＞0得

思维升华根据函数单调性求参数的一般思路

(1)利用集合间的包含关系处理：y=/U)在(凡勿上单调，则区间①，加是相应单调区间的子集.

(2求x)为增(减)函数的充要条件是对任意的xG(a,力都有了'(x)N0(/(x)W0),且在(a,勿内

的任一非空子区间上，f(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.

(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.

跟踪训练3⑴已知定义域为R的连续函数於)的导函数为/⑴，且满足看号<0,当机<0

时，下列关系中一定成立的是()

A.Xl)+/3)=2/(2)

B.B0)次3)=0

C.＜4)+式3)＜加2)

D.购+的＞加3)

答案D

f(x\

解析由哪得”心―3旷(x)<0,

又，〃<0,则(x-3)f(x)>0,

当x>3时，f(x)>0,y(x)单调递增；

当x<3时，f(x)<0,火x)单调递减；

所以<2)X3),犬4)43),

所以.穴2)+八4)>4(3).

Inx

(2)(2022•安徽省泗县第一中学质检)函数,/«=(•在(a,a+1)上单调递增，则实数。的取值范

围为

答案[0,e-1]

解析由函数式》)=乎，

fz1-Inx八

付/(x)=-—(x>0),

由f(x)>0得0<r<e,由f(x)<0得x>e.

所以4x)在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减,

又函数为0=一/在3,。+1)上单调递增，

则3,。+1)£(0,e),则,一

a+1We,

解得OWaWe—1.

课时精练

。基础保分练

1.函数y(x)=xlnx+l的单调递减区间是()

B.Q,+8)

D.(e,+8)

解析,/)的定义域为(0,+°°),

f(x)=l+lnx,

令/(x)<0,得0<xg,

2.已知函数段)=工(6^—e"),则於)()

A.是奇函数，且在(0,+8)上单调递减

B.是奇函数，且在(0,+8)上单调递增

C.是偶函数，且在(0,+8)上单调递减

D.是偶函数，且在(0,+8)上单调递增

答案D

解析因为式x)=x(e'—广*),xGR,定义域关于原点对称，且4—x)=-x(e~*—e')=x(e'—e-")

=J[x),所以火x)是偶函数，

当尤>0时，f(x)=ev-e^+x(ejr+e1)>0,

所以八X)在(0,+8)上单调递增.

3.(2022•长沙调研)已知函数y=M，(x)的图象如图所示(其中/(x)是函数危)的导函数).下

面四个图象中y=/(x)的图象大致是()

答案C

解析列表如下:

X(―00,—1)(-1,0)(0,1)(1.+°°)

xf(X)一+一+

f(X)+一一+

fix)单调递增单调递减单调递减单调递增

故函数贝X)的单调递增区间为(一8,-1),(1,+8),单调递减区间为(一]』).

故函数人用的图象是c选项中的图象.

4.(2022.深圳质检)若函数贝x)=-/+4x+blnx在区间(0,+8)上是减函数，则实数〃的取

值范围是()

A.[―1,+8)B.(—8,—1J

C.(-8,-2]D.[-2,+8)

答案C

解析,.,/(x)=-x2+4x+81nx在(0,+8)上是减函数，

(x)W0在(0,+8)上恒成立，

h

即，(x)=-2x+4+~^0,

即bWZr2—4x,

V2X2—4x=2(x—l)2—22—2,:・b0—2.

5.(多选)如果函数逃x)对定义域内的任意两实数加，及(为5x2)都有迹1二组国>0，则称函

X\一X2

数y=/(x)为“F函数”.下列函数不是“F函数”的是()

A.Xx)=evB.於)=/

C.Xx)=lnxD.f(x)=sinx

答案ACD

解析依题意，函数g(x)=顼r)为定义域上的增函数.

对于A,g(x)=xeK,gf(x)=(x+l)ex,

当x£(—8,—1)时，g1(x)<0,

・・・ga)在(一8,一i)上单调递减，故A中函数不是“尸函数”；

对于B,g(x)=]3在R上单调递增，故B中函数为“尸函数”；

对于C,g(x)=xlnx,g'(x)=l+lnx,

当xC(O,3时，g'(x)<o,

故c中函数不是“尸函数”；

对于D,g(x)=xsinx,g'(x)=sinx+xcosx,

当0)时，g'(x)<0,

故D中函数不是“尸函数”.

6.(多选)(2022•河北衡水中学月考)下列不等式成立的是()

A.21n^<^ln2B.mIn小〈小Iny[2

C.51n4<41n5D.7i>elnn

答案AD

X

解析设於尸In嗔%>0),

r-1—InX

则/a)=~m-,

所以当oave时，，(x)>0,函数/(x)单调递增；

当x>e时，/a)<0,函数/U)单调递减.

3

因为]<2<e,

所以/(1)力2),

即Zln'c,ln2,故选项A正确；

因为也<小《，

所以火促)勺(5)，

即也In小In也，故选项B不正确；

因为e<4<5,

所以X4)次5),BP51n4>41n5,

故选项C不正确；

因为e<7t,

所以7(e)M兀)，即兀,eln兀，故选项D正确.

7.(2022.长沙市长郡中学月考)已知函数段)=¥+小+以+1的单调递减区间是(一3,1),则

m+n的值为.

答案一2

解析由题设，f(x)=x2+2/nx+n,

由火x)的单调递减区间是(一3,1),

得，(x)<0的解集为(-3,1),

则一3,1是F(力=0的解,

-2m=—3+1=—2,”=1X(—3)=—3,

可得，〃=1,〃=—3,故〃?+"=-2.

8.(2021.新高考全国H)写出一个同时具有下列性质①②③的函数兀v)：.

①/(XlX2)=y(X|)/U2)；

②当xe(o,+8)时，f(x)>0；

③f(X)是奇函数.

答案式x)=/(答案不唯一，大x)=x2"("WN")均满足)

解析取式x)=/,则兀T|X2)=(AjX2)4=xf对=穴》求X2),满足①，

，(x)=43,x>0时有/(x)>0,满足②，

/'(x)=43的定义域为R,

又/(―X)=—4/=—f(x),故/(x)是奇函数，满足③.

9.已知函数兀外二呼2-2alnx+(a—2)x.

(1)当a=-1时，求函数段)的单调区间；

(2)若函数g(x)=/(x)—ox在(0,+8)上单调递增，求实数〃的取值范围.

解(1)当。=一1时，

风¥)=2炉+21!1x~3x,

。一1)。-2)

(x>0).

当0<%<1或x>2时，

f(x)>0,«r)单调递增；

当1a<2时，f(x)<0,逃x)单调递减.

所以/(x)的单调递增区间为(0,1)和(2,+8),单调递减区间为(1,2).

(2)g(x)=/(x)-av在(0,+8)上单调递增，

则g'(x)=/(x)—a=x一半一220在xC(0,+8)上恒成立.

r2—2x—2a

即1————20在x£(0,+8)上恒成立.

所以/—2x—在x£(0,+8)上恒成立，

所以忘於2—2x)=；a—1)2—g恒成立.

令9(%)=菱(工-1)2-1%e(o,+0°),

则其最小值为一；，故"W—/

所以实数4的取值范围是(-8,.

10.已知函数,益)='+；：+”,aeR.

(1)若大》在彳=1处的切线与直线y=x-l垂直，求。的值；

(2)讨论人x)的单调性.

解(D7(、)=三甘二空

依题意/(i)=—1,即

解得a=e+1.

(2求x)的定义域为R,

一/—(a—2)x—x[x+(〃-2)]

fW=

若2-a>0,即a<2,

当xd(-8,0)U(2-a,+8)时，f(x)<0,

当xd(0,2—4)时，/(x)>0；

若2—。=0,即〃=2,/(x)WO；

若2—a<0,即a>2,

当xd(-8,2-67)U(0,+8)时，f(x)<0,

当xd(2-a,0)时，f(x)>0.

综上有当a>2时，次x)在(-8,2-ci),(0,+8)上单调递减，在(2—40)上单调递增；

当。=2时，兀0在R上单调递减；

当“<2时，人外在(一8,0),(2-a,+8)上单调递减，在(0,2—a)上单调递增.

些技能提升练

II.若函数//(x)=lnx一5*一2%在［1,4］上存在单调递减区间，则实数〃的取值范围为()

A.一看+8)B.(—1,+°0)

C.［-1,+8)D.(V，+8)

答案B

解析因为/z(x)在［1,4］上存在单调递减区间，

所以(x)=：—ax—2<0在［1,4］上有解，

12

所以当xe［i,4］时，”>声一嚏有解，

而当XW［1,4］时,f

(土-|)211=-1(此时》=1),

所以〃>—1,所以。的取值范围是(一1,+°°).

12.(2022・南京师范大学附属中学月考)设函数段)=cosx++,若。flog12),/?=Xlog52),

3

c=Xe0-2),则m4c的大小关系为()

A.b<a<cB.c<a<b

C.b<c<aD.a<b<c

答案A

解析由题意可知，

艮-X)=cos(—X)+1(—X)2

-cosx+/2=/x),

所以函数负x)为偶函数,

所以log,2)=X-log32)=Xlog32),

3

-

又f(x)=sinx+x9

当x£(0,3时,f(x)>0,

即y(x)在(o,?上单调递增，

因为0vlog52<log32vl,

1=e0<e°-2<^J（2）5=2,

所以由单调性可得b<a<c.

13.函数於）=2sinx—cos2x,x^［—K,0］的单调递增区间为.

答案（磊甘）和°_

解析因为/(x)=2sinx—cos2x,x^[—n,0],

所以/(x)=2cosx+2sin2x=2cosx(l+2sinx).

令，«>0,

cosx>0,cos.¥<0,

则｛l+2sinx>0,

或<l+2sinx<0,

、一兀WxWO,「兀WxWO,

7FSirTT

所以一或一不<x<一所以函数/（x）=2sinx—cos2x,%G［—n,0］的单调递增区间为

（有一舒和V,4

14.（2022・丽水模拟）设函数式x）=ln（x+a）+x2.若火x）为定义域上的单调函数，则实数〃的取

值范围为.

答案（一8,也］

解析:/U）为定义域上的单调函数，

（x）20恒成立或，（x）W0恒成立，

又兀r）=ln（x+a）+x2的定义域为（一“，+°°）

且f（%）-—7^+2%,

Jx+a

a）2o恒成立，

即，（x）=［工+2