高等数学(下)课后习题答案

高等数学(下)

习题七

1.在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置：

A(1,2,3);B(-2,3,4);C(2,-3,-4);

D(3,4,0);E(0,4,3)；F(3,0,0).

解：点A在第I卦限；点B在第II卦限；点C在第VU1卦限；

点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上.

2.xQy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？

答：在xOy面上的点，z=0;

在yOz面上的点，x=0;

在zOx面上的点，y=0.

3.x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？

答：x轴上的点，y=z=0;

y轴上的点，x=z=0；

z轴上的点，x=y=0.

4.求下列各对点之间的距离：

(1)(0,0,0),(2,3,4);(2)(0,0,0),(2,-3,-4);

(3)(-2,3,-4),(1,0,3);(4)(4,-2,3),(-2,1,3).

解：⑴s=/22+32+42=-y29

(2)S=j22+(-3)2+(-4)2=炳

(3)s="(1+2”+(0-3)2+(3+4)2=屈

(4)s=J(-2-4)2+(1+2”+(3-3)2=3底

5.求点(4,-3,5)到坐标原点和各坐标轴间的距离.

解：点(4,-3,5)到x轴，y轴,z轴的垂足分别为(4,0,0),(0,-3,0),(0,0,5).

故：=^42+(-3)2+52=572

s=J(4-4)2+(—3-0"+(5二0”=用

s=a+(-3+3)2+52=闻

s=,42+(-3)2+(5-5)2=5.

6.在z轴上，求与两点A(-4,1,7)和B(3,5,-2)等距离的点.

解：设此点为M(0,0,z),则

精品

(-4)2+12+(7-Z)2=32+52+(-2-Z)2

14

解得z=—

9

14

即所求点为M(0,0,—).

7.试证：以三点A(4,1,9),B(10,-1,6),C(2,4,3)为顶点的三角形是等腰直角

三角形.

证明：因为|AB|=|AC|=7.且有

|AC12+1AB12=49+49=98=|BC12.

故AABC为等腰直角三角形.

8.验证：(,a+b)+c=a+(.b+c).

9.设"=a—b+2c,u=—a+3b—c.试用a,b,c表示2“一3V.

解：

2M-3v=2(。-b+2c)-3(—a+3h-c)

=2a-2b+4c+3a-()b+3c

=5a-11ft+7c

10.把aABC的BC边分成五等份，设分点依次为D|,D,,D,D,再把各分点与A连接,

试以A8=c,BC=a表示向量3A和RA.

解：DA=BA-BD=-c--a

115

—»,.2_____

DA=BA-BD=-c-^a-~~~

225

—>---*3

DA=BA.—BD=—c——u,

335

*,*4

DA—BA-BD=—c——a.

445

11.设向量OM的模是4,它与投影轴的夹角是60°,求这向量在该轴上的投影.

解：设用的投影为好'，则

PrjOM-^OMJcos60°=4x；=2.

12.一向量的终点为点B(2,-1,7),它在三坐标轴上的投影依次是4,-4和7,求这向量

精品

的起点

精品

A的坐标.

解：设此向量的起点A的坐标A(x,y,z),则

AB=[4,-4,7}={2-x,-l-y,7-z}

解得x=-2,y=3,z=0

故A的坐标为A(-2,3,0).

廿一向量的起点是Pi(4,0,5),终点是P(7,1,3),试求：

(1)PP在各坐标轴上的投影；(2)PP的模；

1212

(3)的方向余弦；(4)PP方向的单位向量.

12

解：(1)a-PrjPP=3,

XX12

~a=PrjPP=1,

yyi2

a=PrjPP=-2.

zz12

⑵|华卜JI-二瓦+(3二5%=

a-3k

(3)COSa=-_*—j=­=：

一附I"

a1

cosp=_4_=_

j回r"?=

a-2

cosy=j_^=-=,

留用

PP,31-2.3.1.2,

(4)旷般匚{而"’+""耳鼠

14.三个力[=(1,2,3),h=(-2,3,-4),月=(3,-4,5)同时作用于一点.求合力R的大小和方向余弦.

解：R=(h2+3,2+3-4,3-4+5)=(2,1,4)

IKI=，22+12+42=回

15.求出向量a=i+j+k,b=2i-3j+5k和c=-2i-j+2k的模，并分别用单位向量eee来表达向

abc

量a,b,c.

解：1。1="12+12+12=褥

\b1=722+(-3)2+52=738

精品

\c\=J(-2)2+(—1)2+22=3

a=>j3e,b—>/38e,c=3e.

abc

16.设m=3i+5j+8k,n=2i-4j-7k,p=5i+j-4k,求向量a=4m+3n-p在x轴上的投影及在y轴上的分

向量.

解:a=4(3i+5j+8k)+3(2i-4j-7k)-(5i+j-4k)=13i+7j+15k

在x轴上的投影a、=13,在y轴上分向量为7j.

17.向量r与三坐底轴交成相等的锐角，求这向量的单位向量e.

r

/J/3

解：因a=P=y,故3cos2a=1cosa=[,cosa=-[(舍去)

5/3.・.

则e={cosa,cosP，cosy}={3'3'3上a+j+无).

r1

18

-已知两点叫(2,53,M2(3,25),点M在线段MM上，且叱M=3叫，

求向径OM的坐标.

解：设向径°”={x,y,z}

MM={x-2,y-5,z+3}

I

MM-{3-x,-2-y,5-z}

2

因为，MM=3MM

i

11

X=—

x-2=3(3-x)4

所以，■y—5=3(—2-y)=

z+3=3(5-z)

z=3

故。M吟十}.

qA

19.已知点P到点A(0,0,12)的距离是7,0尸的方向余弦是求点P的坐标.

777

解：设P的坐标为(x,y,z),1PAi2=%2+y2+(-12)2=49

得X2+y2+Z2=-954-24z

z6一，570

cosy===z=6,z=

2

Jx2+y2+427149

精品

X2190

又COSax=2,x

+y2+7i249

3285

cosp=------3,12

Jx2+y2+Z275-49"

或。(铮黑?

故点P的坐标为P(2,3,6)

2兀

20.已知a,b的夹角＜p=§,且同=3,例=4,计算:

(1)a-b；(2)(3a-2b)•(a+2b).

2兀1

解：(1)a-b=COS<P-\a\-\b\=cos—x3x4=--x3x4=-6

(2)(?>a-2b)(a+2b)=?>aa+()ab-2ba-4bb

=3lah+4a-b-4\b\2

=3x32+4x(-6)-4x16

=-61.

21.已知a=(4,-2,4),b=(6,-3,2),计算：

(1)a-b；(2)(2a-3b)-(a+b);(3)\a-b\2

解：(1)a-ft=4x6+(-2)x(-3)+4x2=38

⑵(2a-3b)(a+b)=2aa+2ab-3)ab-3bb

=2lal2-a-b-3\b\2

=2x[42+(—2)2+42]—38—3[3+(—3)2+22]

=2x36-38-3x49=713

(3)\a-b\2=(a-b)(a-b)-aa-2ab+bb=\a\2-2a-b+\b\2

=36—2x38+49=9

22.已知四点A(1,-2,3),B(4,-4,-3),C(2,4,3),D(8,6,6),求向量AB在

向量CO上的投影.

解：A8={3,-2,-6},CD={6,2,3)

「.InABCD3x6+(-2)x2+(-6)x34

rrjAD=----------=------------——---------=——.

2|co|_J62+22+327

23.诜重量为100kg的物体从点Mj(3,1,8)沿直线移动到点M,(1,4,2),计算重力所作的

功(长■度单便房'm)―

精品

解：取重力方向为Z轴负方向,

依题意有

f={0,0,-100X9.8}

s=={-2,3,-6}

故W=f♦s={0,0,-980}•{-2,3,-6}=5880(J)

24.若向量a+3b垂直于向量7a-5b,向量a-4b垂直于向量7a-2b,求a和b的夹角.

解：(亚炉(7a-5b)=7I。匕+16aT5IA|2=0①

(a-4b)•(7a-2b)=71al2-30a6+8历0②

abab1(aft)21

由①及②可得:=>=

laI2\b\22\a\2\b\24

又=；⑸2>°,所以3'二部1

2

,，入17r

故9=arccos—=—.

23

25.一动点与MjXlJ)连成的向量与向量n=(2,3,-4)垂直，求动点的轨迹方程.

解：设动点为M(x,y,z)

MM={x—l,y-l,z-l}

0

因故”"•〃=()

o'o

KP2(x.l)+3(y-l)-4(z-l)=0

整理得：2x+3y4z-1=0即为动点M的轨迹方程.

26._i^?(-2,7,6),b=(4,-3,-8),证明：以a与b为邻边的平行四边形的两条对角线互相垂直

证明：以a,b为邻边的平行四边形的两条对角线分别为a+b,a—b,且

a+b={2,4,-2)

a-b={-6,10,14}

X(a+b)•(a-b)=2X(-6)+4X10+(-2)X14=0

故(a+b)，(a-b).

27.已知a=3i+2j-k,b=i-j+2k求：

(1)axb；(2)2aX7b；

(3)7bX2a；(4)axa.

2-1-1332

解：(1)axb=]2"21*][比=3i—7j-5比

(2)2ax7b=14(®x6)=42"98j-704

(3)7bx2a=14(bxa)=-14(axb)=-42/+98j+70k

(4)axa=0.

精品

28.已知向量a和b互相垂直，且Sl=3,历1=4.计算：

(1)|(a+b)X(a-b)|;

(2)|(3a+b)X(a-2b)].

(1)I(a+ft)x(a-ft)=1axa-axftxa-bxb1=1-2(axb)I

71

=2lal-lhl-sin-=24

2

(2)l(3a+b)x(a-2A)I=l3axa-6axfc+bxo-2bxft1=17(，xa)I

兀

=7x3x4xsin—=84

2

29.求垂直于向量3i-4j~k和2i-j+k的单位向量，并求上述两向量夹角的正弦.

-4-1-13.3-4

解：axft=i+J+k=-5i-5j+5k

-11122-1

与a义b平行的单位向量e=———=±——(—i—j+k)

\a^bI3

laxftI_5串5^/13

sinG

lalxlhlJ5号如26

30.一平行四边形以向量a=(2,l,—1)和b=(l,—2,1)为邻边，求其对角线夹角的正弦.

解：两对角线向量为

I=。+小=31—j,I=a-5=i+3j—24

因为llx/1=12*+6j+10jt1=7140,

12

\ii=M,\ii=Vi4

12

\lxlI7140,

所以sin0=]2—__________—I

IZ吗|一师.轲—

即为所求对角线间夹角的正弦.

31.已知三点A(2,-1,5),B@3,-2),C(-2,3,1),点M,N,P分别是A点BC,CA的中点，证明:

MNXMP^L(ACXBC)

4

证明：中点M,N,P的坐标分别为

皿@N3,斗P(0,l,3)

MN=[-2,2,-2}

3

精品

AC={-4,4,-4)

5C={-2,0,3}

2-2-2-2

-22

MNxMP=3i+3k=3i+5j+2k

0-1-10

22

4-4-44

7TC-xBC-=i+°比=12i+20j+8Jt

033

故MNXMP=L(ACXBC)

_k4

32.求同时垂直于向量a=(2,3,4)和横轴的单位向量.

解：设横轴向量为b=(x,0,0)

则同时垂直千a,b的尚'置为一

axb=3414223

i+j+k=4xj-3xk

000xx0

故同时垂直于a,b的单位向量为

,axb1...f、

e=±------=±-(4j—34).

\axb\5

33.四面体的顶点在(1,1,1),(1,2,3),(1,1,2)和(3,-1,2)求四面体的表面积.

解：设四顶点依次取为A,B,C,D.

AB={0,1,2},AD^[2,-2,1}

则由A,B,D三点所确定三角形的面积为

^=L\ABxAD^L\5i+4i-2k\=-

1222,

同理可求其他三个三角形的面积依次为;,JXJI

故四面体的表面积S=!+JE+的+wm.

22

34.已知三点A(2,4,l),B(3,7,5),C(4,10,9),证：此三点共线.

证明：A3={1,3,4},AC={2,6,8}

显然AC=24B

则ABxAC=ABx2AB=2(A3xAB)=0

故A,fC三点共线.

精品

35.求过点(4,1,-2)且与平面3*-2丫+62=11平行的平面方程.

解：所求平面与平面3x-2y+6z=l1平行

故n={3,-2,6},又过点(4,1,-2)

故所求平面方程为：3(x-4)-2(y-l)+6(z+2)=0

即3x-2y+6z+2=0.

36.求过点M*,7,-3),且与连接坐标原点到点M“的线段。垂直的平面方程.

解：所求平面的法向量可取为n=OMo={l,7,—3}

故平面方程为：x-l+7(y-7)-3(z+3)=0

即x+7y-3z-59=0

37.设平面过点(1,2,-1),而在x轴和工轴上的截距都等于在y轴上的截距的两倍，求此平面

方程.

解：设平面在y轴上的截距为b

则平面方程可定为之+之+£=1

2bb2b

又(1,2,-1)在平面上，则有

12-1,

—+—+-=1

2bb2b

得b=2.

故所求平面方程为1+4+1=1

424

38.求过(1,1,-1),(-2,-2,2)和(1,-1,2)三点的平面方程.

解：由平面的三点式方程知

x-xy-y

।1

X-Xy-yz-z=0

212121

X-Xy-yz-z

313I31

x-1y-iz+l

代入三已知点，有-2-1-2-12+1=0

1-1-i-i2+1

化简得x-3y-2z=0即为所求平面方程.

39.指出下列各平面的特殊位置，并画出其图形:

⑴尸0；⑵3x-l=0；

(3)2x-3y-6=0;(4)x-y=0;

(5)2x-3y+4z=0.

解：⑴y=0表示xOz坐标面(如图7-2)

⑵3x-l=0表示垂直于x轴的平面.(如图7-3)

精品

图7-2图7-3

（3）2x-3y-6=0表示平行于z轴且在x轴及y轴上的截距分别为x=3和y=-2的平面.（如图7-4）

⑷x-y=0表示过z轴的平面（如图7-5）

（5）2x-3y+4z=0表示过原点的平面（如图7-6）.

图7-4图7-5图7-6

40.通过两点（1,1,1,）和（2,2,2）作垂直于平面x+y-z=0的平面.

解：设平面方程为Ax+By+Cz+D=0

则其法向量为n={A,B,C}

已知平面法向量为n;{1,1,-1}

过已知两点的向量

由题知n•n=0,n.1=0

A+5—C=0

=>C=0,A=-B.

A+B+C=Q

所求平面方程变为Ax-Ay+D=0

又点（1,1,1）在平面上，所以有D=0

故平面方程为x-y=0.

41.决定参数k的值，使平面x+ky-2z=9适合下列条件：

（1）经过点（5,-4,6）;（2）与平面2x-3y+z=0成乙的角.

4

解：⑴因平面过点（5,-4,6）

故有5-4k-2X6=9

得k=-4.

（2）两平面的法向量分别为

n={l,k,-2}n={2,-3.1}

InnI\-3k\兀虎

且COS0=I——2-L=।------=cos—=——

55+公.用42

解得％=±竺

2

42.确定下列方程中的1和m：

（1）平面2x+ly+3z-5=0和平面mx-6y-z+2=0平行；

⑵平面3x-5y+lz-3=0和平面x+3y+2z+5=0垂直.

解：（1）n={2,1,3},

精品

2I32,

nn=—=——=——=>/n=——=11O8

1

2m-6-13

⑵猿{3,-5/},n={1,3,2}

nX.n=>3xl-5x3+/x2=0=>/=6.

12

43.通过点(1,-1,1)作垂直于两平面x-y+z-l=O和2x+y+z+l=0的平面.

解：设所求平面方程为Ax+By+Cz+D=O

其法向量n={A,B,C}

n={l,-l,l},n={2,1,1)

A=-2C

nLn=>A-B+C=O3

=<

n.Lnn2A+B+C=0

2B=£

3

又(1,-1,1)在所求平面上，故A—B+C+D=O,得D=0

故所求平面方程为

2C

-gCx+可)，+Cz=0

即2x-y-3z=0

44.求平行于平面3x-y+7z=5,且垂直于向量i-j+2k的单位向量.

解：n={3,-l,7}(n={l,-l,2).

nLn,nA.n

I2

7733-i

故n=〃xn=i+j+IA=5i+j—24

I222ri

则e=±/=(5i+j—24).

«病

45.求通过下列两已知点的直线方程:

(1)(1,-2,1),(3,1,-1)；(2)(3,-1,0),(1,0,-3).

解：(1)两点所确立的一个向量为

s={3-l,1+2,-1-1}={2,3,-2)

故直线的标准方程为：

x-1z-1y-1z+1

----=-y-+--2-=----或-x---3-=-----=----

23-2~23-2

(2)直线方向向量可取为

s={l-3,0+1,-3-0}={-2,1,-3)

故直线的标准方程为：

y+13x-1z+3

_x_-_3_______=_z__或____=y_=_____

-21-3一一21-3

2x+3y—z—4=0

46.求直线'/.1八的标准式方程和参数方程.

3x—5y+2z+l=0

精品

解：所给直线的方向向量为

223

j+

5k=i-lj-19k

另取\=o代入直线一般方程可解得兀=7/。=17

于是5线过点（。，7,17）,因此直成的标准方程为:

x_y-7_z-17

1~~^19~

且直线的参数方程为：

x-t

<y=7-7t

z=17—19,

47.求下列直线与平面的交点:

(1):-1一=:2-=—>2x+3y+z-l=0;

x+2y-1z-3

⑵——=,x+2y-2z+6=0.

x=1+f

解：(i)直线参数方程为,y=-1—2,

z=6t

代入平面方程得t=i

故交点为(2,-3,6).

x――2+2t

(2)直线参数方程为，y=l+3f

z=3+2f

代入平面方程解得t=0.

故交点为(-2,1,3).

48.求下列直线的夹角：

j5x-3y+3z-9=0j2x+2y-z+23=0

')3x-2y+z-l=0®3x+8y+z-18=0

y-3_z-8

x-2

⑵和<T-2

~T~

x=1

解：(1)两直线的方向向量分别为：

ijk

s={5,-3,3}X{3,-2,1}=5-33={3,4,-l}

3-21

精品

iJk

s={2,2,-1}X{3,8,1}=22-1={10,-5,10)

381

由I•s=3X10+4X(-5)+(-1)X10=0知S[_Ls

从而两直线垂直，夹角为二.

2

x_2_3f_z-8

⑵直线；_=2二=二的方向向量为s「{4,-12,3},直线{二万的方程可变为

1

4一1231

2y-z+2=0

,八，可求得其方向向量s={0,2,-l}X{1,0,0}={0,.1,.2},于是

x-1=02

八IsI6

cos0=-Li_2L=—x0.2064

叶园136

eX7805'

49.求满足下列各组条件的直线方程：

(1)经过点(2,-3,4),且与平面3x-y+2z-4=o垂直；

(2)过点(0,2,4),且与两平面x+2z=l和y-3z=2平行；

XV—37—1

(3)过点(-1,2,1),且与直线=「二=平行.

2-13

解：(1)可取直线的方向向量为

s={3,-1,2)

故过点(2,-3,4)的直线方程为

x-2y+3z-4

-12~

(2)所求直线平行两已知平面，且两平面的法向量与n,不平行，故所求直线平行于两平

面的交线，于是直线方向向量

ijk

s=nxn=102={-2,3,1}

I2

01-3

故过点(0,2,4)的直线方程为

xy-2z-4

__=_____=_____

-231

(3)所求直线与已知直线平行，故其方向向量可取为

s={2,-1,3}

故过点(-1,2,1)的直线方程为

x+l_y-2_z-l

50.试定出下列各题中直线与平面间的位置关系：

精品

/、冗+3y+4z/

(1)=-------二—和4x-2y-2z=3;

—2—73

JCV7

(2)一=二=二和3x-2v+7z=8;

3-27

x_2y+2z—3

(3)=--------=--------和x+v+z=3.

31-4^

解：平行而不包含.因为直线的方向向量为$={-2,-7,3}

平面的法向量n={4,-2,-2},所以

sn-(-2)x4+(-7)x(-2)+3x(-2)=0

于是直线与平面平行.

又因为直线上的点-4,0)代入平面方程有4x(—3)—2x(—4)—2x0=—4#3.故直

线不在平面上.

⑵因直线方向向量s等于平面的法向量，故直线垂直于平面.

(3)直线在平面上，因为3xl+lxl+(-4)xl=0,而直线上的点(2,-2,3)在平面上.

51.求过点(1,-2,1),且垂直于直线

x-2y+z-3=0

<

x+y-z+3=0

的平面方程.

ijk

解：直线的方向向量为1-21=1+2/+34，

11-1

取平面法向量为{1,2,3},

故所求平面方程为lx(x—l)+2(y+2)+3Q—l)=0

即x+2y+3z=0.

52.求过点(1,-2,3)和两平面2x-3y+z=3,x+3y+2z+1=0的交线的平面方程.

解：设过两平面的交线的平面束方程为2x-3y+z-3+九(x+3y+2z+l)=0

其中人为待定常数，又因为所求平面过点(1,-2,3)

故2xl—3x(-2)+3-3+^(l+3x(-2)+2x3+l)=0

解得入=-4.

故所求平面方程为

2x+15y+7z+7=0

53.求点(-1,2,0)在平面x+2y-z+l=0上的投影.

解：过点(-1,2,0)作垂直于已知平面的直线，则该直线的方向向量即为已知平面的法向

量，即

s=n={l,2,-1)

精品

x=-l+f

所以垂线的参数方程为()>=2+2，

z=-t

将其代入平面方程可得(-l+t)+2(2+2t)(t)+l=0

V

522

于是所求点(-1,2,0)到平面的投影就是此平面与垂线的交点(一亨3？)

54.求点(1,2,1)到平面x+2y+2z-10=0距离.

解：过点(1,2,1)作垂直于已知平面的直线，直线的方向向量为s=n={l,2,2}

x-\+t

所以垂线的参数方程为<y=2+2f

z=1+2/

将其代入平面方程得f=；.

故垂足为且与点(1,2,1)的距离为"='0)2+(|)2+(|)2=1

即为点到平面的距离.

x+y-z+l=0

55.求点(3,-1,2)到直线〈'的距离.

2x-y+z-4=0

解：过点(3,-1,2)作垂直于已知直线的平面，平面的法向量可取为直线的方向向量

ijk

即”=s=l1一1=-3/一34

2-11

故过已知点的平面方程为y+z=i.

x+y-z+l=0

联立方程组，2x-y+z-4=0

.y+z=1

13

解得x=l,y=一彳,名=彳.

-22

13

即(1,一］，5)为平面与直线的垂足

于是点到直线的距离为d=^(1-3)2+(-1+1)2+(|-2)2=孚.

56.建立以点(1,3,-2)为中心，且通过坐标原点的球面方程.

解：球的半径为火=J12+32+(—2)2=而

精品

设(x,y,z)为球面上任一点，则(x-l)z+(y-3)2+(z+2)2=14

即X2+y2+Z2-2x-6y+4z=0为所求球面方程.

57.一动点离点(2,0,-3)的距离与离点(4,-6,6)的距离之比为3,求此动点的轨迹方

程.

皿.a,助注#J(X-2)2+(y-0)2+(z+3”

解：设该动点为M(x,y,z),由题意知,=3.

4)2+(y+6)2+(Z-6)2

化简得：8x2+8y2+8z2-68x+108y-114z+779=0

即为动点的轨迹方程.

58.指出下列方程所表示的是什么曲面，并画出其图形：

(1)(x—g)2+y=q)2；(2)一千十5=1；

X2Z2.

(3)—+—=1；(4)y2-z=0；

y4

(5)X2-y2=0；(6)X2+y2=0.

解：(1)母线平行于z轴的抛物柱面，如图7-7.

(2)母线平行于z轴的双曲柱面，如图7-8.

(3)母线平行于y轴的椭圆柱面，如图7-9.

(5)母线平行于z轴的两平面，如图7-11.

(6)z轴，如图7-12.

精品

⑴X2+T+T=1;(2)36x2+9y2-4z=36；

V272

(4)X2+---=11.

49'

(5)X2-y2+2^2=0；(6)X2+y2一日=0.

解：(1)半轴分别为1,2,3的椭球面，如图7-13.

(3)以x轴为中心轴的双叶双曲面，如图7-15.

(4)单叶双曲面，如图7-16.

(5)顶点在坐标原点的椭圆锥面，其中心轴是y轴，如图7-17.

(6)顶点在坐标原点的圆锥面，其中心轴是z轴，如图7-18.

精品

60.作出下列曲面所围成的立体的图形：

(1)X2+y2+Z2=a2与z=0,z=(a>0);(2)x+y+z=4,x=0,x=1,y=0,y=2及z=0;

⑶Z=4-X2,X=0,y=0,z=0及2x+y=4;(4)z=6-(xz+y2),x=0,y=0,z=0及x+y=l.

解：(1)(2)(3)(4)分别如图7-19,7-20,7-21,7-22所示.

x2y2z2,x-3y-4z+2

(1)——+—+—=1与----——=--------

8136973-64

(2)E+匕/=1与t—=*

16944-34

解：(1)直线的参数方程为

精品

x=3+3f

<y=4-6t

z——2+4z

代入曲面方程解得t=o,t=l.

得交点坐标为(3,4,-2),(6,-2,2).

⑵直线的参数方程为

'x=4，

<y=-3f

z——2+4t

代入曲面方程可解得t=l,

得交点坐标为(4,-3,2).

62.设有一圆，它的中心在z轴上，半径为3,且位于距离xOy平面5个单位的平面上，试

建立这个圆的方程.

解：设(x,y,z)为圆上任一点，依题意有

X2+>2=9

z=±5

即为所求圆的方程.

63.建立曲线X2+y2=z,z=x+l在xOy平面上的投影方程.

解：以曲线为准线，母线平行于z轴的柱面方程为

X2+y2=X+l即(x__l)2+y2=2.

故曲线在xOy平面上的投影方程为r~24

z=0

64.求曲线X2+y2+zz=a2,X2+yz=Z2在xOy面上的投影曲线.

解：以曲线为准线，母线平行于z轴的柱面方程为

672

X2+)2=一

-2

<72

故曲线在xOy面上的投影曲线方程为《无2+=下

z=0

65.试考察曲面至-行+亍=1在下列各平面上的截痕的形状，并写出其方程.

⑴平面x=2；⑵平面y=o；

(3)平面y=5;(4)平面Z=2.

精品

y2Z2

--------------十--------------

解：(1)截线方程为.(5,)2(2,)2

x=2

其形状为x=2平面上的双曲线.

三+==1

(2)截线方程为T

y=0

为xOz面上的一个椭圆.

(3)截线方程为《(3J力2(272)2

y=5

为平面y=5上的一个椭圆.

三一竺=0

(4)截线方程为彳925

z=2

为平面z=2上的两条直线.

66.求单叶双曲面7T+9--r=1与平面x-2z+3=0的交线在xOy平面，yOz平面及xOz

1645

平面上的投影曲线.

x+3

解：以f2=”一代入曲面方程得

X2+20y2-24x-l16=0.

故交线在xOy平面上的投影为

%2+20y2-24%-116=0

z=0

以x=2z-3代入曲面方程，得

20y2+4Z2-60Z-35=0.

故交线在yOz平面上的投影为

20y2+4z2-60z-35=0

x=0

x—2z-f-3—0

交线在xOz平面上的投影为《八'

y=0.

精品

习题八

1.判断下列平面点集哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点

集和边界：

(1){(x,y)|x*O)；

⑵{(x,y)|lwxz+y2V4}；

(3){(x,y)|y<x2};

(4){(x,y)|(X-1)2+y2<1}U{(x,y)|(X+l)2+y2<1}.

解：⑴开集、无界集,聚点集：R2,边界：{(X,y)|x=o}.

⑵既非开集又非闭集，有界集，

聚点集：{(x,y)I1<X2+V2<4},

边界：{(x,y)IX2+V2=l}U{(x,y)IX2+y2=4}.

(3)开集、区域、无界集，

聚点集：{(x,y)|y<x2},

边界：{(x,y)|y=x2}.

⑷闭集、有界集，聚点集即是其本身，

边界：{(x,y)|(x-l)2+V2=l}U{(x,y)I(x+l)2+y2=l}.

2.已知f(x,y)=X2+V2-xytan—,试求/(a,ty).

解：f(tx,ty)=(tx)2+(<y)2-tX-tytan—=t2f(x9y).

3.已知w)=〃卬+w“+"试求/(x+y,x-y,町).

解:f(x+y,x-y,xy)=(x+y)xy+(xy)x+y+x-y=(x+y)xy+(xy)2X.

4.求下列各函数的定义域：

(l)z=ln(y2-2x+l)；Q)【历

gJ4x-y2

G)z=T—

In(l-X2-y2)

(6)z=ln(y-x)+

-X2-y2

(7)w=arccos

解：(1)D={(x,y)Iy2-2x+l>0}.

(2)£>={(x,y)\x+y>0,x-y>0}.

精品

(3)。={(x,y)14x-尸之0』一元2-y2〉0,m+y2w0}.

(4)D={(x,y,z)Ix>0,y>0,z>0}.

(5)£>={(x,y)Ix>