高考数学专项练习讲义- 简单的三角恒等变换

§4.4简单的三角恒等变换

【考试要求】能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式,

并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆).

■落实主干知识

【知识梳理】

1.二倍角的正弦、余弦、正切公式

⑴公式S2a：sin2a=2sinacosa.

(2)公式C2a：cos2a=cos%—sin%=2cos%—1=1-2sin%.

小、八—2tana

(3)公式T2°：tan2a=y二^忑.

2.常用的部分三角公式

(1)1—cosa=2sin,,1+cosa=2cos?(升幕公式)

(2)Hsina=

.91—cos2a71+cos2ac1-cos2a八」、

(3)sin(1—，cosG.—'•(降最公式)

2

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“义”)

,八asina1-cosa,、

(1)tnn7="ij=•.(zV)

''21+cosasinav'

(2)设:＜。＜3兀，且|cosO|=£,那么sin,的值为/^.(X)

(3)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的.()

(4)存在实数“，使tan2a=2tana.(V)

【教材改编题】

1.sin15°cos15°等于()

A.—B.TC.—zD.^

答案B

解析sin15°cos15°=^sin30。=：.

2.化简d1+cos4的结果是()

A.sin2B.—cos2

C.啦cos2D.一/cos2

答案D

解析因为N1+cos4=42COS22,

又cos2<0,所以可得选项D正确.

4

3.已知a是第二象限的角，tan（兀+2a）=—7则tana等于（)

A.一乎B.2

C.-zD.-2

答案D

4

解析由tan（7i+2a）=一）,

,曰-4

仔tan2a=—y

2tana4

又tan2a=

1-tan%

解得tana=-1或tana=2,

又a是第二象限角，所以tana=一

■探究核心题型

题型一三角函数式的化简

例1（1）（2021•全国甲卷）若a£（0,9，tan2a=3贝Itana等于（）

答案A

sin2a2sinacosa

解析方法一因为tan2a=

cos2a~1—2sin2a

a.c____COS(Zgrpi.2sinacosait

且tan2a一个，所以解得sina=w.因为

2—sina1-2sin2a2—sina

sinaV15

所以costana—

cosa~15

2sina

2tanacosa2sinacosa2sinQCOSQcosa

方法二因为tan2a—且tan2a=

1-tan2al一sin%cos2a—sin2a1—2sin2a2—sina

cos2a

2sinacosacosa

所以，

1—2sin2a2—sina

解得sinot=；.因为Q£(0,守,

七2sina

所以

cosa="4T,tana=LAr=£icU-

2COS4X_2cos2、+-

⑵化简："'7'

2tanl7-xl-sinIJ%+4,

答案2COS2x

cos2x—sin2x

=2COS2r

【教师备选】

1.(2020•全国I)已知]£(0,兀)，且3cos2。-8cosa=5,贝ijsina等于()

A*B.|C.|D.零

jjjy

答案A

解析由3cos2a—8cosa=5,

得3(2cos2a—1)—8cosa=5,

即3cos2a—4cosa—4=0,

2、

解得cosa=-g或cosa=2(舍去).

又因为a£(0,7i),所以sina>0,

所以sina=y]1—cos1a=y\J1—1)2~3,

(1+sinJ+cose)(sin?-cos，)

2.已知0v*兀，贝ij-------------/।、--------=________.

^2+2cos0

答案一cose

原式

e

-夕

s

2

•co

:

一

2

OS

c

OS

兀，

0<兴

因为

0

QTT

>0,

cos/

，所以

<爹<2

所以0

9.

=-cos

原式

所以

则：

”原

“三看

遵循

简要

的化

数式

角函

(1)三

升华

思维

征.

构与特

式子结

，三看

看名

角，二

一看

式

寻找

等)，

、互补

互余

倍、

差、

(和、

的联系

角之间

条件中

意观察

简要注

式的化

角函数

(2)三

系点.

间的联

公式之

角函数

子和三

)

于(

4等

cos

2+2

4+t

1+sin

(1凶

练1

跟踪训

sin2

B.2

os2

A.2c

os2

+4c

in2

D.2s

os2

+2c

sin2

C.4

B

答案

s4

2co

+12+

si、4

2、1+

解析

2

2

2

-1)

cos2

+2(2

2+^2

+cos

cos2

in2

2+2s

/sin

=2^

2

2

s2

^4co

s2)+

2+co

(sin

=2^

2|.

|cos

|+2

cos2

in2+

=2|s

TC,

<2<

V1

<0,

cos2

，

；<兀

<2+

；),0

n(2+

\/^si

s2=*

2+co

*.*sin

0,

s2>

2+co

/.sin

2.

sin

2=2

2cos

2)—

+cos

in2

=2(s

・，・原式

2

小十

1

.5°+

tan7

八号

)

(

°等于

s27.5

0+co

n27.5

—7si

27.5°

间tan

⑵化

B空

A曲

ts.3

A.3

C.小D.2

答案B

tan27.5°+l

解析原式=tan27.5°—8sin27.5°+l

__________$-27.5。+8527.5。________

sin27.5°—8sin27.5°cos27.5°+cos27.5°

_1_1_2S

-l-2sin215o-cos300-3-

题型二三角函数式的求值

命题点1给角求值

例2(l)sin4(T(tan10「小)等于()

A.2B.-2C.1D.-1

答案D

解析sin40°-(tan10°-^3)

=sin40。(黑带一小)

sin100—小cos10°

=sin40°-^lO3

2&in10。一坐cos100

=sin40°-------------------------------'

2(cos60°・sin10°-sin60°cos10°)

=sin400--

cos10°

2sin(10°-60°)

=sin40°-cos100

-2sin50°

=sin400-

cos10。

-2sin40%cos40°

cos10°

一sin80。

cos10°

(2)cos200-cos40°-cos100。=.

较享—-

口弟8

解析cos20°-cos40°-cos100°

=-cos20°-cos40°cos80°

sin20°-cos20°-cos40°-cos80°

sin20°

pin40°-cos40°-cos80°

sin200

|sin80°-cos80°

~sin20°

|sin160°

=-sin20°

|sin20°]

sin20°

命题点2给值求值

例3⑴若cose一a)=g,则cos停+2,等于()

77

c--

9D.-9

等

案c

解

析

=sin(W+a)=7.

3'

’2兀

・・■y+2aj=1-2sin2仔+a

cos3

_2=7

-9-9,

(2)(2022・长春质检)已知sin^a—

!OS则)

A.|B.,C._7

一gD.-9

答案D

・・・

解析sin(V:os

兀.兀_L巧1

•'•sinacosg-cosasm1十弋3cos

4sina--

当cosa+y[3cosa=^,

/.|sin1

3'

_7

=一反

命题点3给值求角

2s3s

例4已知仪，尸均为锐角，cosa=-'Y~,sinQ=^C则cos2a=,2a—fi=

答案11

解析因为cosa=手，

所以cos2a=2cos2a­1=z.

又因为a,4均为锐角，sin/?=喏，

所以Sini=^^,COS4=||,

4小

因此sin2a=2sinacosa=~y~,

所以sin(2a—/?)=sin2acosfi-cos2«sin尸=^^义裳一坐.

因为a为锐角，所以0<2"兀

又cos2a>0,所以0<2a<^,

it7T

又£为锐角，所以一]<2a一£<2，

A

又sin(2a-£)=竽，所以2。一4=?

【教师备选】

1.--°。；40。的值为

cos25°^/1-Sin40°

A.1B.V§C.y[2D.2

答案C

cos220O-sin220°

解析原式=

cos25°（cos20°-sin20°）

cos200+sin20°

cos25°

V2cos25°r-

=cos25°=72・

2.已知A,3均为钝角，且sin4+cos（A+］）="~*^,sinB=¥j&则A+B等于（）

/\11U

3兀c5兀

A.TB彳

答案C

解析因为sin4+cos（A+g）="■您3,

所以匕磬+枭s4—亭inA=土挛,

即尹坐sinA=±¥,

解得sinA=雪，

因为A为钝角,

所以cos

2^5

5.

由sin3=［亚，且B为钝角,

得cosB=-^^1—sin2B=—

3V15

10-

所以cos（A+8）=cosAcosB-sinAsin5

=（-噌x（-嚼译染邛.

又A,3都为钝角，即A,8£（去兀），

所以A+B£（7i,2TI）,

所以A+3=牛.

3.已矢口cos(e+£)=嘿，ee(0,贝Ijsin(26一穿=.

较安上3小

口木10

解析由题意可得

/、l+cos(26+^)[

/Z)_L0_______I2)__1_

cos(夕+胡-2-10，

cos(20+])=-sin20=-1

4

即sin28=亍

因为cos0+£)=^^>O,℃(0,

所以0〈时，2。6(0,9，

根据同角三角函数基本关系式，

3

可得cos20=5，

由两角差的正弦公式，可得

sin(20-§=sin26coscos2(9sin

4vl_3vV34-3A/3

-5X25X2~10'

思维升华(1)给值(角)求值问题求解的关键在于''变角"，使其角相同或具有某种关系，借

助角之间的联系寻找转化方法.

(2)给值(角)求值问题的一般步骤

①化简条件式子或待求式子：

②观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手：

③将已知条件代入所求式子，化简求值.

跟踪训练2(1)(2019・全国H)已知aG(0,。2sin2a=cos2a+1,则sina等于()

A-5B当C当D.平

答案B

解析由2sin2a=cos2a+1,得4sinacosa=1—2sin2a+1,即2sinacosa=1—sin%.

因为a£(0,5，所以cosa=«1—siMa,

所以2sinoc\]1—sin2a=1—sin%,

解得sin[=万一.

（2）（2021•全国乙卷）cos哈一cos/等于（）

A.|B坐C.坐D坐

答案D

解析因为8$招=$抽（今一居）=sin^,

匕r[、/7兀。5兀）兀.。兀

圻以cos|2^—cos*^2—cos^-sin^2

=COS（2X盍）=cos点=坐

⑶已知sin(x+今)=g,则sin2x=,

答案T

z、1—cos(2x+5j

解析Vsin2(x+1)=------——-

l+sin2x1

2=y

sin2x=­y

题型三三角恒等变换的综合应用

例5（2022•河南中原名校联考）已知函数＜x）=4cosxcos（x+"一小.

⑴求./U）的单调递增区间；

⑵若0,,且7（。）=,,求cos2a

解(1)«x)=4cosxcos^v+^j一小

=4cosA^^COSx-；sinJ一小

=2*\/3COS2X_2sinxcosx-y[3

=^3(1+cos2x)-sin2x~~小

=V§cos2x-sin2x

=2cos(2x+§,

jr

令2E—7tW2x+%W2E(%eZ),

77r7E

解得E—y^WxWE一夜(女£Z),

E—专(ZWZ).

一

兀

O一

2

一

6

6

兀

一

而\-

—--

/(«/2COSI2a+-65

兀

所以+

Q一6

兀

为

因O4-

a2

兀

兀

一

6一6776T

兀

兀

兀

则

一

-WW一

62a+-62

兀

一6

一/-

兀

兀

一

I.COSI2a一

Jk+■66

一

一

兀

兀

K兀

+一---

6666

3正4

-X

522

3小+4

=10-

【教师备选】

己知函数於尸,sin（£—x）+乎cos（£—X）.

⑴求函数段）在区间，，用上的最值；

⑵若cos6=,,。丘（咨，2兀），求/（20+1）的值.

解（1）由题意得

因为xe|j,yj

所以l等［冶，nr］.

所以sin（x一屈e—乎，1,

所以一冬出一凯［一察乎］,

即函数大x）在区间?，当］上的最大值为小，最小值为一乎.

（2）因为cos8=W,。右作，2兀），

3

所以sin。=一卫,

24

所以sin20=2sin9cos。=一行，

cos28=cos%—sin?。

=\6_9_=J_

-25-25-25,

所以f3+*_察in（2呜音）

一察电圄

=一;（sin20—cosIff）

思维升华（1）进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；

注意公式的逆用和变形使用.

⑵形如y=asinx+Z?cosx化为y=y］a2+Z?2sin（x+<p）,可进一步研究函数的周期性、单调性、

最值与对称性.

（xXr\

跟踪训练3（2022•云南曲靖一中质检）已知向量a=（cos/+sin5，2sin可，b—

gos5—sin1,小cos9,函数式x）=a£

（1）求函数次x）的最大值，并指出八x）取得最大值时”的取值集合；

(2)若a,夕为锐角，cos(a+y?)=j|,购=,,求的值.

解(1Mx)=cos2^—sin^+2小sin5cos今

=cosx+小sinx

=2sinQ+5),

令工+5=5+2kji(keZ),

jr

得x=§+2E,k&Z,

.•.兀0的最大值为2,此时x的取值集合为卜卜=胃+2航，kez).

12

(2)由a,4为锐角，cos(a+^)=Yj,

得sin(a+S)=高

；0〈夕与，初+*竽,

+sin(a+y?)s

=2巩，尹兀।『兀,

71126

=2cosa6厂65-

课时精练

过基础保分练

1.已知tana=3,则cos(2a+§等于()

33

-B-

A.-25

31

c--

5D.5

宵

案

解析cos（2a+/J=—sin2a=-2sinacosa

-2sinacosa

cos%+sin%

-2tana-2X33

=l+tan*2a=1+32=一亍

2.（2022♦安庆模拟）已知6»e（0,T）,tan6»=啦，则cos20等于（）

A.一坐B坐

1

3

答案C

cos%—sin2。1—tar^e

解析26>=cos26>-sin26>='

cos2^+sin2<91+tan2。3,

3.（2022•威海模拟）tan67.5°—嬴焉予的值为（）

A.1B，V2C.2D.4

答案C

翻上片A7co____1_____sin67.50_1_____sin67.5°cos67.5°

解析tan67.5Zan67.5°=cos67.5°一高67.5°=cos67.5°-sin67.5°

cos67.5°

sin267.5°—COS267.5°-cos135°

=sin67.5°cos67.5°^7=2

4.（2022•黑龙江大庆中学模拟）若cos（30。一a）—sin则sin（30。