高考数学专项练习讲义- 等差数列

§6.2等差数列

【考试要求】1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前〃项和公式3能在具体的

问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函

数、二次函数的关系.

・落实主干知识

【知识梳理】

1.等差数列的有关概念

(1)等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第1项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个

数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母a表示，定义表达式为©

一回i=d(常数)(〃22,“CN*).

(2)等差中项

若三个数a,A,6成等差数列，则A叫做。与人的等差中项，且有A=皇.

2.等差数列的有关公式

(1)通项公式：an=a[+(n—l)d.

(2)前〃项和公式：S尸〃0+2"或S〃=-^-

3.等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an=a,n+(n—m)d(n,相WN*).

(2)若｛〃〃｝为等差数列，且％+/=m+〃(%,/,m,nN*),贝!j佻

⑶若｛斯｝是等差数列，公差为"，则诙，以加，诙+2〃,，…(匕加£N*)是公差为次的等差数列.

(4)数列Sn，S?"「Sni，S37〃—S2,?1，…也是等差数列.

=

(5)S2«-I(2/7—1)an.

(6)等差数列｛斯｝的前n项和为S”[学)为等差数列.

【常用结论】

1.已知数列｛%｝的通项公式是a“=p〃+q(其中"，q为常数)，则数列｛小｝一定是等差数列，

且公差为p.

2.在等差数列｛斯｝中，G>0,d<0,则S”存在最大值；若mVO,d>0,则S,存在最小值.

3.等差数列｛斯｝的单调性：当4>0时，｛斯｝是递增数列；当“<0时，｛斯｝是递减数列；当

d=0时，｛斯｝是常数列.

4.数列仅“｝是等差数列0&=4"+胡(4B为常数).这里公差d=2A.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)等差数列｛如｝的单调性是由公差d决定的.(V)

(2)若一个数列每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.(X)

(3)数列｛分｝为等差数列的充要条件是对任意〃WN*,都有2%+|=小+即+2.(4)

(4)已知数列｛。“｝的通项公式是a“=p"+q(其中p,q为常数)，则数列｛。“｝一定是等差数列.

(J)

【教材改编题】

1.已知等差数列｛斯｝中，。2=3,前5项和55=10,则数列｛为｝的公差为()

5

A.-1B.-2

C.-2D.-4

答案A

解析设等差数列｛如｝的公差为d,

V55=503=10,

〃3=〃2+d=2,

又,.•〃2=3,；・d=-1.

2.在等差数列｛〃,1｝中，若〃3+〃4+〃5+〃6+〃7=450,则。5=.

答案90

3.已知｛小｝是等差数列，其前〃项和为工，若6=2,且§6=30,则S9=.

答案126

ai+2d=2

解析由已知可得，f

2q+5d=10,

=-

解得

d=6.

,9X8.

・・・S9=94]+下一1=-90+36X6=126.

■探究核心题型

题型一等差数列基本量的运算

例1(1)(多选)记S.为等差数列｛”“｝的前〃项和.已知$4=0,45=5,则下列选项正确的是()

A.42+。3=0B.an—2n—5

C.Sn=n(n—4)D.d=-2

答案ABC

好酢04义伍|+如）八

解析S4—2—0,

.•・4]+44=02+43=0,A正确；

的=。1+4"=5,①

〃1+〃4=。1+〃1+3d=0,②

d=2,

联立①②得

a\=-3,

/.dn——3+（〃-l）X2=2n—5,

B正确，D错误；

,n（n—i）.BA

Sn=—3〃+2X2="—4〃，C正确.

（2）（2022•内蒙古模拟）已知等差数列｛斯｝中，S”为其前n项和，54=24,S9=99,则s等于（）

A.13B.14C.15D.16

答案C

3=24,14〃i+6d=24,

解析7・・・.,

[59=99,〔90+361=99,

[幼=3，,

解得彳则cn=a\+6d=\5.

ld=2.

【教师备选】

1.已知等差数列｛。〃｝的前〃项和为S〃，若内=5,§4=24,则密等于（）

A.-5B.-7

C.-9D.-11

答案B

解析,**=5,§4=24,

・・・。1+21=5,40+64=24,

解得。1=9,d=—2,

••Un=11—2〃，

・・・〃9=11-2X9=-7.

2.已知｛斯｝是公差不为零的等差数列，且0+00=〃9,则生…+竺?=.

答案¥

；・ai+ai+9d=ai+8d,即。1=—d,

9X8.

•>a\+z+…+〃9=S9=9ai+-d=Hd,

410=4|+%/=84,••

思维升华（1）等差数列的通项公式及前〃项和公式共涉及五个量d,an,S“，知道其

中三个就能求出另外两个（简称“知三求二”）.

（2）确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项m和公差d.

跟踪训练1（1）（多选）记■为等差数列｛斯｝的前〃项和.若的+%=24,酎=48,则下列正确

的是（）

A.ci\~-2B.“1=2

C.4=4D.J=—4

答案AC

“3+”6=2ai+7d=24,

解析因为

S6=6G+15d=48,

（2）（2020・全国H）记S“为等差数列｛斯｝的前〃项和.若ai=-2,a2+a6=2,则$0=______,

答案25

解析设等差数列｛如｝的公差为d,

则a2+fl6=2ai+6d=2.

因为a\——2,所以d—\.

“一，10X9

所以Sio=lOX（—2）+-y-Xl=25.

题型二等差数列的判定与证明

例2（2021•全国甲卷）已知数列｛”“｝的各项均为正数，记S,为｛如｝的前”项和，从下面①②③

中选取两个作为条件，证明另外一个成立.

①数列｛%｝是等差数列；②数列｛低｝是等差数列：③公=3即

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

解①③0②.

已知｛““｝是等差数列，"2=3©.

设数列｛斯｝的公差为d,

则42=3。|=田+",得d=2a\,

所以"d=层即

因为数列｛斯｝的各项均为正数，

所以产周

所以小高一小^=（〃+常数），所以数列｛小小是等差数列.

①②今③.

已知｛%｝是等差数列，｛低｝是等差数列.

设数列｛%｝的公差为d,

则S"=W|+风冒％'=521+(0-%

4

因为数歹北低｝是等差数列，所以数歹叫低｝的通项公式是关于〃的一次函数,2

即d=2〃i,所以ci2=ai+d=3ai.

②③0①.

已知数歹打低｝是等差数列，42=3G,

所以S|=。］,Sl=Cl\~\~Cl2=^Cl\.

设数列｛低｝的公差为d,d>0,

则%i=4得。1=屋，

所以，^=小1+(〃-1)"=〃"，

2

所以Sn=ncP,

所以斯=5"—5"-|=序理一(〃-1)2/=2/”一/(鼠22),是关于n的一次函数，且“1=/满足

上式，所以数列｛“■｝是等差数列.

【教师备选】

(2022•烟台模拟)已知在数列｛〃“｝中，0=1,斯=勿“-1+1(〃22,"WN)记巳=log2(斯+1).

(1)判断｛办｝是否为等差数列，并说明理由；

(2)求数列｛斯｝的通项公式.

解(1)｛儿｝是等差数列，理由如下：

bt=log2(ai+l)=log22=1,

当〃22时，bn—bn-i=log2(an+1)—Iog2(a„-|+1)

,«n+l,2a„-i+2.

^log2^+7=log2^T=h

••.｛5｝是以i为首项，i为公差的等差数列.

(2)由(1)知，儿=l+(〃-l)Xl=〃，

."“+1=2%=2",

n

：.an=2~\.

思维升华判断数列｛0,｝是等差数列的常用方法

(1)定义法：对任意〃CN*,a”+|一斯是同一常数.

(2)等差中项法：对任意“22,〃CN*,满足2%=即+1+4“-1.

(3)通项公式法：对任意“CN*,都满足%=p"+q(p,q为常数).

(4)前〃项和公式法：对任意“GN*,都满足S“=A/+B"(A,B为常数).

2

跟踪训练2已知数歹|J｛4〃｝满足0=1,且nan+\—｛n+\)an=2n+2n.

(1)求。2，。3；

(2)证明数列｛与｝是等差数列，并求｛3｝的通项公式.

解(1)由题意可得〃2—2卬=4,

则〃2=〃1+4,又“1=1,所以42=6.

由2明—3々2=12,得2。3=12+3。2,

所以的=15.

小」r4/口，即IL5+1)〃“八

(2)由已知得〃(“+])=2,

即竽■一卒:？，

n+\n

所以数列榭是首项为华=1,公差为4=2的等差数列，

则皆=1+2(〃-1)=2〃-1,

2

所以an=2n—n.

题型三等差数列的性质

命题点1等差数列项的性质

例3(1)已知数列｛〃“｝满足2〃〃=小-|+斯+1(〃22),。2+。4+。6=12,〃1+〃3+。5=9,则43+

。4等于()

A.6B.7

C.8D.9

答案B

解析因为2%=斯一]+斯+i,

所以｛〃“｝是等差数列，

由等差数列性质可得々2+44+06=344=12,

〃1+。3+。5=343=9,

所以6+〃4=3+4=7.

(2)(2022•宁波模拟)己知等差数列｛〃〃｝的前n项和为S〃，且〃3+〃4+。5+。6+。7=150,则S9等

于()

A.225B.250

C.270D.300

答案C

解析等差数列｛〃〃｝的前〃项和为S〃，

且6+。4+。5+〃6+〃7=150,

。3+。4+。5+。6+〃7=5。5=150,

解得45=30,

9

Sq=2(^1+、9)=9〃5—270.

命题点2等差数列前〃项和的性质

例4(1)已知等差数列｛小｝的前〃项和为S〃，若So=IO,S2O=6O,则S40等于()

A.110B.150

C.210D.280

答案D

解析因为等差数列｛〃“)的前〃项和为S”，

所以Sto,S20—S10,S30—S20,S40—S30也成等差数列.

故(S30—S20)+S10=2(S20—Sio),

所以530=150.

又因为(S20—S10)+($40—530)—2(530—S20)，

所以540=280.

(2)等差数列｛斯｝,｛儿｝的前〃项和分别为S,，T”，若对任意正整数"都有I=左3,则苏希

+广*的值为________-

bi+b9

29

答案

43

♦11IC150】+-52〃8-8

解析

生+仇0岳+仇)2b82b8%'

_52X8-I_SI5_2X15-1_29

••瓜—4x8-1一元—3X15-2一石.

【教师备选】

1.若等差数列｛如｝的前15项和S]5=30,则2a5—%—〃io+ai4等于()

A.2B.3

C.4D.5

答案A

解析VSi5=30,，号①】+。15)=30,

.,・〃]+。15=4,

・・2。8=4,・・。8=2.

2〃5-〃6-〃[O+Q14=〃4+〃6­。6一。1。+。14=。4-。|()+。14=。10+。8-。10=。8=2.

2.已知S,是等差数列｛如｝的前"项和，若0=一2020,镰一黜=6,则S2023等于()

乙V//V//V/1■

A.2023B.-2023

C.4046D.-4046

答案C

解析♦.•用为等差数列，设公差为小，

,,,5202052014,_.

则20202014—6d-6,-1.

首项为学=-2020,

5)023

A2023=~2020+(2023-1)X1=2,

.*-52023=2023X2=4046.

思维升华(1)项的性质:在等差数列｛〃〃｝中，若m+n=p+q(m9n9p,q£N*),则am+an

=ap+aq.

(2)和的性质：在等差数列｛斯｝中，S〃为其前〃项和,则

①§2〃=1+。2〃)=…=n(afl+an+1).

②S2,LI=(2〃一l)a〃.

③依次攵项和成等差数列，即S&,S2k~Sk9S3*—S2匕…成等差数列.

跟踪训练3(1)(2021•北京)｛%｝和｛为｝是两个等差数列，其中既1WZW5)为常值，若0=288,

〃5=96,"=192,则必等于()

A.64B.128C.256D.512

答案B

解析由已知条件可随喷

则「些96X192

=288=64

.b\+bs192+64

因此,b3=F~=128.

(2)(2022.郴州模拟)已知S”为等差数列伍“｝的前n项和，满足的=3卬，〃2=30一1,则数列榭

的前10项和为()

55-65,

A.gB.55C.~YD.65

答案c

+2d=3〃i,

解析设等差数列｛。〃｝的公差为"，则।।

3十d=3〃]-1,

所以0=1,d=l,

所以S”一nr2-2，

济i"S"n+l

所以〃-2，

圻［、jS屐-1_S〃/+1+1_〃+11

W以〃+1「=-2—-2=2f

所以｛3｝是以1为首项，3为公差的等差数列，

数列的刖10项和Ti0=10+---：---%=彳

课时精练

应基础保分练

1.（2022・芜湖模拟）在等差数列｛%｝中,若。3+a9=3湖04=11,则｛3｝的公差为（）

A.-2B.2C.-3D.3

答案B

解析设公差为4,因为。3+"9=2%=30,

所以46=15,从而d=,一"：=2.

2.（2022•莆田模拟）已知等差数列｛斯｝满足/+a+痣+四产⑵则249一”u的值为（）

A.-3B.3C.-12D.12

答案B

解析由等差中项的性质可得，

。3+。6+々8+。11=4。7=12,

解得07=3,

•。7+〃11=2。9,

••2a9〃11=。7=3.

3.（2022・铁岭模拟）中国古代数学名著《张邱建算经》中有如下问题：今有十等人，每等一人,

宫赐金以等次差降之（等差数列），上三人先入，得金四斤，持出；下四人后入，得金三斤，

持出；中间三人未到者，亦依等次更给.则第一等人（得金最多者）得金斤数是（）

▲37-37

A--R--

儿26027

答案A

解析由题设知在等差数列｛“"｝中，

。1+。2+。3=4,。7+48+的+。10=3.

所以3〃i+3d=4,4ai+30d=3,

解得"1=11.

4.（2022.山东省实验中学模拟）已知等差数列｛〃“｝的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319,

所有偶数项之和为290,则该数列的中间项为（）

A.28B.29

C.30D.31

答案B

解析设等差数列｛小｝共有2〃+1项，

则S看=。1+。3+45H-----F«2n+I>

S,=42+44+46+…+〃2"，

该数列的中间项为斯+1,

又S号—S-眸=41+（。3—42）+（〃5—44）H-----1-（42"+1—Cl2n）=Cli+J+JH------+〃4=斯+1,

所以斯+1=5带一5偈=319—290=29.

5.（多选）等差数列｛为｝的公差为“，前"项和为S”，当首项0和d变化时，的+。8+防3是一

个定值，则下列各数也为定值的有（）

A.a-iB.“8C.S15D.Si6

答案BC

解析由等差中项的性质可得“3+制+03=348为定值，则制为定值，

$5=里史/垃=15。8为定值，

但S16=!'633"16）=8（48+々9）不是定值.

6.（多选）已知S”是等差数列｛。，/（〃右中的前n项和，且S»>S»>Si,则下列结论正确的是（）

A.公差d<0

B.在所有小于0的S”中，$7最大

C.。8>。9

D.满足S.>0的"的个数为15

答案ABC

解析***,且S9=S8+a9,

・\S8>S8+49,即09V0，

又5g>S7,Sg—S7+^85

S7+an>Si,即。8>0，

:•d=cig—〃8<0,故A,C中的结论正确；

■:SgS],89=57+08+49,

S?,即。8+〃9>0,

又。1+。16=〃8+。9,

••S16=2=8伍8+。9)>0,

又41+〃15=2〃8,

,15(0+05)/5

..515-9—15«8>0,

又+。17=2。9,且。9<0,

.17(4/1+6/17)

..517—2—17〃9<0,

故B中的结论正确，D中的结论错误.

7.(2019•北京)设等差数列｛如｝的前〃项和为S”.若怎=-3,S5=-10,则的=.

答案0

解析设等差数列｛。〃｝的公差为"，

・・〃2=-3,

's5=-io,

即＜

5a\+10d=-10,

.f«i=-4,

••1・・〃5=〃i+4d=0.

[d=1,

8.（2022.铁岭模拟）一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔

群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一.一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔

群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为

1,3,355,7,…，该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群最下面三层的塔数之和为.

答案51

解析设该数列为伍“},依题意可知，的，恁，…成等差数列，且公差为2,出=5,

设塔群共有〃层，则1+3+3+5+5（〃-4）+（〃—4g”—5）x2=]08,

解得〃=12（〃=一8舍去）.

故最下面三层的塔数之和为0o+aii+02=301=3X（5+2X6）=51.

21

9.(2021•全国乙卷)记S”为数列｛小｝的前〃项和，9为数列｛S”｝的前”项积,已知不+下=2.

(1)证明：数列｛儿｝是等差数列；

(2)求｛%｝的通项公式.

⑴证明因为为是数列｛%｝的前〃项积，

所以时，S“=4

bn-\

代入工+豆=2可侍，一厂+豆=2，

整理可得2儿一|+1=2。〃，

即b〃—bnT=3("22).

2133

又5+窃=6=2,所以

故｛儿｝是以，3为首项，方1为公差的等差数列.

=

(2)解由(1)可知，bn-2—»

则系+京=2,所以S,产中，

3〃〃十2〃十1

3

当〃=1时，m=Si=X，

当"22时，

__«+2〃+1]

a„=S„-S„-i=^-j——=-〃(〃+])•

[|,〃=1,

故斯=<1

~n(n+iy

10.在数列｛斯｝中,ai=8,04=2,且满足%+2-2a"+i+a"=0(.GN*).

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

⑵设T„=\ai\+\a2\+-+M，求T,,,

解(1);小+2—2斯+1+〃〃=0,

・・〃〃+2——I-

数列｛m｝是等差数列，设其公差为“，

〃4=2,

..d=~~=-2,

:・+-1)d=10—2n,〃£N*.

（2）设数列｛斯｝的前"项和为S,„则由（1）可得,

n(n-1)

2

Sn=Sn+2-X(-2)=9n-^,〃£N*.

由⑴知4=10—2%令斯=0,得〃=5,

：•当n>5时，。〃<0,

则T„=M+\a2\+-+M

=a\+怎+…+〃5—(〃6+s+…+〃”)

=§5—(S/J—§5)—2s5-Sn

=2义(9义5—25)—(9〃一〃2)=/一9〃+40；

当时，斯N0,

则4=|0|+|阂+・・・+%|

=。1+〃2+~+小=9〃一层，

9〃一层，〃<5,〃£N”,

.・.T=\

nn2—9/?+40,〃£N*.

立技能提升练

11.设等差数列｛a,,｝的前〃项和为S”若Sm-i=-2,S„,=0,S”+I=3,则相等于()

A.3B.4C.5D.6

答案C

解析•••数列(%｝为等差数列，且前〃项和为&,

•••数列用也为等差数列.

,Srn-1,Sm+12sm

*in—1m-\-1m'

解得〃2=5,经检验为原方程的解.

12.（多选）（2022・济宁模拟）设等差数列｛%｝的前〃项和是S〃，已知$4>0,S）5<0,则下列选项

正确的有（）

A.。1>0,d<0

B.〃7+。8>0

C.S6与S7均为S〃的最大值

D.。8<0

答案ABD

解析因为S14>0,S|5<0,

所以S4/X（；+砧

=7（0+4|4）=7（47+。8）>0,

即«?+<78>0,

e„„15X（+a）-

因为Si5=f2lll5=15。8<0,

所以。8<0,所以。7>0,

所以等差数列｛的｝的前7项为正数，从第8项开始为负数，

则0>0,d<0,S7为S”的最大值.

13.（2020・新高考全国I）将数列｛2〃-1｝与｛3〃-2｝的公共项从小到大排列得到数列｛斯｝,则

｛斯｝的前n项和为.

答案3/—2〃

解析方法一（观察归纳法）

数列［2〃-1｝的各项为1,3,5,7,9,11,13,­•；

数列｛3〃-2｝的各项为1,4,7,10,13,

观察归纳可知，两个数列的公共项为1,7,13,…，是首项为1,公差为6的等差数列，

=

则an1+6（〃-1）=6〃-5.

4…后C〃（41+为）〃（1+6〃15）

故刖〃项和为—2—2

=3n2—2n.

方法二（引入参变量法）

令儿=2”-1,cm—3m—2,bn=cm,

贝ll2〃-1=3w—2,即3m=2〃+l,机必为奇数.

令机=2•一1,则”=3f—2。=1,2,3,•••）.

cit~bit~2~C2t-1—6/-51“"=6〃-5.

以下同方法一.

14.（2022•东莞模拟）已知等差数列｛斯｝的首项0=1,公差为d,前〃项和为若SWS8恒

成立，则公差d的