三因素方差分析的原理及应用

三因素方差分析的原理及应用郭萍【摘要】基于双因素方差分析，推导出三因素方差分析的原理，给出了偏差平方和分解式及三因素方差分析表，并将推导的结果应用在具体的数学建模案例中，同时利用MATLAB实现了该案例的求解.求解结果的一致性说明了原理推导的正确性.【期刊名称】《沈阳大学学报》【年(卷)，期】2015(027)001【总页数】4页(P40-43)【关键词】三因素方差分析;数学建模;MATLAB【作者】郭萍【作者单位】青岛理工大学琴岛学院基础部,山东青岛266106【正文语种】中文［中图分类】O29当今社会是一个信息高度发达、人们的社会经济活动日益频繁的社会，大量的信息、数据需要人们处理.如何从这些海量的信息中提取有用的信息，指导人们的社会实践活动,越发显得必要而迫切，从而为数理统计提供了日益广阔的舞台［1］.方差分析是数理统计中非常重要的内容.方差分析又称〃变异数分析”或“F检验”，是由RAFisher发明的，用于对两个及两个以上样本均数差别的显著性检验［2］.三因素方差分析是检验在三种因素影响下，三个以上总体的均值彼此是否相等的一种统计方法.文献［3］给出了单因素及双因素方差分析的原理，但并未给出三因素方差分析的相关内容.本文详细推导了无交互影响的三因素方差分析的原理及偏差平方和分解式，由此给出了三因素方差分析表，利用该分析表解决了一个具体的数学建模案例,并通过MATLAB实现了该案例的求解.求解结果的一致性说明了原理推导的正确性.设有三个因素A,B,C,因素A取r个水平，分别记为A1,A2,...,Ar;因素B取s个水平，分别记为B1,B2,...,Bs;因素C取t个水平，分别记为C1,C2,...,Ct.在水平组合(Ai,Bj,Ck)下样本相互独立,且记其中,i=12."j=12...,s;k=12...,t.称p为一般平均,ai为因素A的第i个水平的效应向为因素B的第j个水平的效应，Yk为因素C的第k个水平的效应.显然ai，Bj，Yk满足如下关系式：若pijk=p+ai+Bj+Yk,则数学模型为假设检验如下：记故无交互影响的三因素方差分析表如表1所示.若FA>F1-a(r-1,(r-1)(s-1)(t-1)+(r-1)(t-1)+(r-1)(s-1)+(s-1)(t-1))测拒绝H01,表示在因素A的各水平下的效应有显著差异；若FB>F1-a(s-1,(r-1)(s-1)(t-1)+(r-1)(t-1)+(r-1)(s-1)+(s-1)(t-1))测拒绝H02,表示在因素B的各水平下的效应有显著差异；⑶若FC>F1-a(t-1,(r-1)(s-1)(t-1)+(r-1)(t-1)+(r-1)(s-1)+(s-1)(t-1))测拒绝H03,表示在因素C的各水平下的效应有显著差异.某集团为了研究商品销售点所在的地理位置、销售点处的广告和销售点的装潢这三个因素对商品的影响程度，选了三个位置(如市中心黄金地段、非中心的地段、城乡结合部)、两种广告形式、两种装潢档次在四个城市进行了搭配试验.表2是销售量的数据.试在显著性水平0.05下,检验不同地理位置、不同广告、不同装潢下的销售量是否有显著差异[4].解法1按照推导出的偏差平方和分解式,计算求得方差分析表，如表3所示.由于FA-13.9158>F0.95(2,7)=4.74,FB必15.5966>F0.95(1,7)=5.59,FC22.3232>F0.95(1,7)=5.59,因此,在显著性水平a=0.05下，因素A的不同水平、因素B的不同水平及因素C的不同水平都对该商品的销售量有显著影响.为了使该商品的销售情况更好地理位置、广告、装潢都需要进行合理的选择.解法2MATLAB实现.统计工具箱中用anovan作多因素方差分析.无交互影响的三因素方差分析命令为[p,t]=anovan(x,group).返回值p是三个概率.当p>a时接受H0,说明因素有显著影响;当p<a时拒绝H0,说明因素无显著影响.t是方差分析表.编写程序如下：clc,clearx=[955927905855880860870830875870870821];group={['A1';'A1';'A1';'A1';'A2';'A2';'A2';'A2';'A3';'A3';'A3';'A3';];['B1';'B1';'B2';'B2';'B1';'B1';'B2';'B2';'B1';'B1';'B2';'B2';];['C1';'C2';'C1';'C2';'C1';'C2';'C1';'C2';'C1';'C2';'C1';'C2';]};[p,t]=anovan(x,group)求得p的值分别为0.0036,0.0055,0.0099,方差分析表如表4所示.第一个p值是在因素A(即地理位置)的影响下得到的,第二个p值是在因素B(即广告)的影响下得到的，第三个p值是在因素C(即装潢)的影响下得到的.由于三个p值均小于0.05,故拒绝原假设，说明因素A的不同水平、因素B的不同水平及因素C的不同水平都对该商品的销售量有显著影响.MATLAB实现的结果与利用偏差平方和分解式得到的结果是一致的，说明偏差平方和分解式及无交互影响的三因素方差分析表的推导都是正确的.近年来,随着计算机技术的发展和普及,借助于计算机及MATLAB[5]软件完成统计计算、分析统计结果、作出统计推断已经成为必然趋势.但是没有理论支撑的应用,就如空中楼阁.对无交互影响的三因素方差分析原理及偏差平方和分解式的推导，对数据较少的实际问题，不仅可以通过动手计算,分析问题的结果;而且有了理论的支撑，可以更好地理解MATLAB软件中程序的意义，同时对统计结果作出更透彻的分析.【相关文献】夏传武.MATLAB在概率统计教学中的应用[J].徐州工程学院学报,2005,20(S1):96-98.(XiaChuanwu.TheApplicationofMATLABinTeachingofProbabilityStatistics[J].JournalofXuzhouInstituteofTechnology,2005,20(S1):96-98.)易昆南，程勋杰."假设检验”决策的误区:一场由全国大学生数学建模竞赛引发的争论[J].重庆理工大学学报启然科学版,2013,27(4):106-109.(YiKunnan,ChengXunjie.AFrequentlyMistakenConceptin“HypothesisTest”:ADisputeTriggeredbyChinaUndergraduateMathematicalContestinModeling[J].JournalofChongqingUniversityofTechnology:NaturalScience,2013,27(4):106-109.)魏宗舒，等.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社,2001:372-391.(WeiZongshu,etal.TheCourseofProbabilityTheoryandMathematicalStatistics[M].Beijing:HigherEducationPress,2001:372-391.)司守奎.数学建模算法与程序[M].北京:国防工业出版社,2007:225.(SiShouku