九年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第二十一讲 数形结合

()()第二十一讲数形结合趣题引路】你曾听说过蚂蚁回家的故事吗?事情是这样的：图21—1,D是三角形ABC的边AB上一点，其上有一只小蚂蚁，它首先从D点沿平行于BC的方向爬行到AC边上的E点；再从E点沿平行于AB方向爬到BC边上的F点；再从F点沿平行于AC的方向爬行到AB边上的G点……，这样每从一边爬到另一边算爬一次，那么这只蚂蚁是否可经有限次回到原出发点D?如果可经最少n次回到D点，那么n的值等于多少?加上什么条件就可以求得蚂蚁回家的总路线的长?图21—1解析（1）若D是AB中点，则n=3；（2）若D不是AB中点，可证明6次后蚂蚁回到出发点D，如图21—1；因蚂蚁行走路线都是与厶ABC各边平行的，所以ADAEBFBGCHCKAM,.AD••AM.AD+BD••AM+BM即ABABBDECFCGAAHBKBMBDBMBDBMBDBM.•.BD=BM,即M与D重合,n=6.当第（1）种情况时，蚂蚁回家的总路线长是△ABC各边和的一半，只要知道△ABC各边长即可求解；当第（2）种情况时，只要知道△ABC各边长和AD、DG或AE、EH等即可求解.请读者计算一下.点评：数与形是一个不可分割的整体，数体现形的大小，形状，而形又是抽象的数量关系形象化．数形结合能使我们容易把握问题的实质．知识延伸】例求函数y=*x2+1+讨（4-x）2+4的最小值.解析构造如图21—2所示的两个直角三角形，即RtAPAC，RtAPBD,使AC=1，BD=2,PC=x，PD=4-x,求最小值可转化为：在L上求一点P,使PA+PB最小.取点A关于L的对称点A',连结A'B,则A'B与L的交点即为所求P点，故PA+PB的最小值即是线段A'B在RtAA'EB中，A'B=+42=5,故函数y的最小值为5.点评：此题若用代数方法来解很麻烦，通过对函数形式观察，发现：*匚肓可以看成是以x、1为直角边的三角形的斜边，J（4-x匕+4可以看成是以（4-x）,2为直角边的斜边，此题可归纳为求两个直角三角形斜边的和的最小值，于是可构造图形来解决．LL图21－2好题妙解】佳题新题品味例1在直径为AB的半圆内，划出一块三角形区域，使三角形的一边为AB,顶点C在半圆周上，其他两边分别为6和8.现在建造一个内接于厶ABC的矩形水池DEFN,其中，DE在AB上，如图21—3的设计方案是使AC=8,BC=6.求厶ABC中AB边上的高h；设DN=x，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？实际施工时，发现AB上距B点1.85m处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树？图21—3解析(1)运用勾股定理和面积公式可求得h=4.8；(2)化CNPs(2)化CNPs、CAB，.h-DNNF,•=hABNF=10S'8-X)4.8‘DEF最大则S=x-匹-(4.8-x)=-10(x2-4.8x)•故当x=2.4时,‘DEF最大DEFN4.84.8(3)当SdeFN大，x=2.4时，F为BC中点.在RtAFEB中，EF=2.4,BF=3.・•・EB=y'BF2—EF2*9—2.42=1.8.VBM=1.85，ABM>EB.故大树位于欲修建的水池边上，应重新设计方案*.*x=2.4时，DE=5,・.AD=3.2.

由圆的对称性知，满足题设条件的另外设计方案是将最大面积的水池建在使AC=6,BC=8，且C点在半圆周上的△ABC中.点评：本例应用二次函数的性质求解，并综合了相似三角形，圆等几何知识．题目设计新颖，有较强的创新特色．图21－4解析如图图21－4解析如图21－4，构造直角三角形PQR,由条件可知：△PQR内有一点，使OQ=z,OP=OR=x,贝S=S+S+S△PQR△OPR△OPQ△OQR即2即2x3X4=|XxX言血150y1+—z-+-z-x-sinl20.32・•・6=・•・6=xy4朽yz+肓+、-：3xy4.*.xy+2yx+3xz=24・3.点评：此题条件复杂，若想通过代数方法求解，势必十分困难，通过观察，利用余弦定理构造图形却使问题变得较容易．例3已知方程|x|二ax+1有一负根而没有正根，求实数a的取值范围.解析：如图21—5，方程|x|二ax+1的根就是函数y=|x|和y=ax+1的图象交点的横坐标.方程只有12负根而没有正根，就是过点(0,1)的直线y=x+1只与直线y=-x(x<0)相交而不与直线y=x(x>0)相1交.在同一坐标系中作出y=|x|与y=ax+1的图象，观察图象知，-1<--<0，•:a>1.12a图21－5过关检测】A级函数y=——1——(a>0)，无论x取任何实数，函数总有意义的条件是ax2+bx+c已知边长为a的正方形，内接一个边长为b的正方形，求证：b<a2b.3.已知a、b、x、y都是正数，且a2+b2=x2+y2=ax+by=1,求证：a2+y2=b2+x2=1，且ab=xy．B级1.已知正数a、b、c、A、B、C满足：a+A=b+B=c+C=10.求证：a・B+b・C+c・Av100.2•已知正数a、b，且a+b=1，求证：(a+2)2+(b+2)2工字

匚b1-4e«!>0.期造方程，由A>0即得结论.匚b1-4e«!>0.期造方程，由A>0即得结论.A级2.提示：:如图*0,由题盍可得数形结合M构造出以1为直匣的岡内接四边^ASCDf如图41l^AB^afAD=brffC=ytPC=i1由托勒密定無知ax+by-AC*RD=1,而BD=鶴；・^€=1即圆的直邕:、四边J^ABC