华师大版九年级数学上册第23章 图形的相似 阶段强化专训

PFPF阶强专一平线线成例见用巧证比例式技巧1.中间比代换法证比例式1．如图，知在△ABC，点D，E分别是边，AC，上的点，DE∥BCEF∥AB且ADDB＝3∶5，求CF∶的值．第1)技巧2.等积代换法证比例式2．如图，△ABC中，D上一点，E是△ABC内一点，DE∥BCPE过D作AC的平行线交的延长线于与AB交于连接求证：PA＝.(第2题技巧3.等比代换法证比例中项

3．如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥求证：ADAB和的比例中项．第3题证线段相等技巧4.等比例法证线段相等等比过渡法)4．如图，△ABC中，∠ACB＝，∠B＞∠A，点D边AB的中点，DE∥交于点，∥AB的延长线于点F.求证：DE＝EF.第4题证比例和为1技巧5.同分母的中间比代换法

ADBC．．．ADBC．．．AE5．如图，知AC∥BD，求证：＋＝1.第5)阶强专二证相三形方名师点金：要找三角形相似的条件，关键抓住以下几点：(1)已知角相等时，找两对对应角相等，若只能找到一对对应角相等，判断夹相等的角的两边是否对应成比例；无法找到角相等时，判断三边是否对应成比例；性”

除此之外，也可考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的

传递利用边或角的关系判定两直角三角形相似1．下面关直角三角形相似叙述错误的是)．有一锐角对应相等的两直角三角形相似．两直角边对应成比例的两直角三角形相似C．有一条直角边相等的两个直角三角形相似D．两个等腰直角三角形相似2．如图，BC⊥，垂足为C，＝6.4，CD＝1.6BC＝7.5CE＝2.5，求证：△ABC∽△DEC.第2)

利用角判定两三角形相似3．如图，ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD延长与CE交于点求证：△ABD∽△CED；若AB＝6，＝，求的长第3)利用边角判定两三角形相似4．已知：图，在正方形ABCD中，PBC上的点，且BP＝Q是的中点．求证：△ADQ∽△QCP.第4)

利用三边判定两三角形相似5．如图AD是△ABC的高E分别是AB，的中点．求证：△DEF∽△ABC.第5)阶强专三巧平线造似角的巧名师点金：解有关相似三角形题目时，常常遇到要或求)的问题与相似三角形联系不上或者说图中根本不存在相似三角形时们通常可以作平行线构造出相似三角形，从而使问题得以解决．巧连线段的中点构造相似三角形1如图在△ABC中F是边上的两个三等分点D是AC的中点，BD别交AE，AF，AC于点，D，求PQ∶QD.(第1)过顶点作平行线构造相似三角形2．如图，△ABC中，AC＝，F为底边AB一点，BF∶AF＝∶，BE取的中点，连接AD延长交于点E，求的值．

ECEC(第2)3．如图，ABC的顶点作一直线，与AB中线AD分别交于点F和点E.求证：AE∶ED＝∶FB.第3)过一边上的点作平行线构造相似三角形4如图在△ABC中＞AC在边AB上取一点在AC上取一点E，BD使＝AE，直线DE和的延长线交于点求证：＝

44(第4)阶强专四角中线应名师点金三角形中位线定理有着广泛的应用通常可以用来证明或求解许多问题但我们很多时候往往不能直接利用这个定理这时要善于观察图形中与定理有关的基本图形特别是涉及已知中点有关条件时通过巧妙添辅助线构造三角形中位线，可以准确有效地帮助我们解决问题．利用三角形中位线进行证明类型1

证相等关系1．已知：图，在四边形ABCD中，对角线AC＝，E、分别为、中点，点OACBD的交点，M、N为EF与BD、AC交点．求证：OM＝第1)类型2

证倍分关系2．如图，知平行四边形ABCD中，对角线，点E、别是、的中点，连线，交BD于M点．1求证：(1)BM＝BD；(2)ME＝MF.

22第2)类型3

证不等关系3．如图M、N是四边形ABCD边BC、AD中点，且AB不平1行．求证：MN＜(AB＋．第3)类型4

证位置关系4．如图，△ABC的顶点A，向∠和∠的平分线作垂线，垂足分别为D、，连接求证：DE第4题利用三角形中位线探究多边形形状5．顺次连对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是)．矩形

．平行四边形C．菱形

D．任意四边形6．顺次连正方形各边中点所得的四边形一定是)．平行四边形

．矩形

C．菱形

D．正方形7分别是不等边三角形ABC(即AB≠BC≠AC)边ABAC的中点是△ABC所在平面上的动点，连接OB，，F分别是OB的中点，顺次连接点DFE.如图当点在△ABC内部时试判断四边形DGFE的形状，并说明理由．第7)利用三角形中位线求值8．如图所，在四边ABCD，AD∥，＋BC8，且AD∶BC＝3∶7，，F别是BD，AC的中点，求长．第8)阶强专五位、置坐名师点金：1.生活中很多物体的位置需用坐标来表示其中选择参照物是确定位置的关键，参照物不同，往往表示同一位置的坐标也不同．2．求位图形中点的坐标或作已知图形的位似图形时，要注意位似变换的要求是同侧还是异侧，若没有明确说明，则要根据实际情况分类讨论．位置与坐标类型1

利用坐标表示座位号1．如图，明的座位是组排，如果用有序数对12)表示，那么张敏同学和石玲同学的座位，怎样用有序数对表示？

第1)类型2

利用坐标表示地理位置2如图所示是一个雷达探测器的示意图探测器的位置在O(圆心位置)，如果六个同心圆的半径依次为1km，2km，3km，4，5km，6km，请你以点为参照点，用方位角和距离分别表示雷达探测器探测到的目标A，，C，D，，F的位置．(第2题类型3

利用坐标表示运动路径3如图小军家的位置点A在经5和纬4的十字路口用有序数对(54)表示；B学校的位置，点C是芸家的位置，如果用54)→(5，→，6)(6，→，6)→(8，表示小军家到学校的一条路径．请你用有序数对表示出学校和小芸家的位置；请你写出小军家到学校的其他几条路径．写3)第3)位似变换与坐标4．(2015·十堰)在平面直角坐标系中，已知点－4，，B(－6－4)以

22222222221原点位似中心，相似比为，把△ABO小，则点A的对应点的坐标是()．(－2，1)B．(－84)C．(－8，或(8，－4)D．－2，1)或(2，－(第5)5．如图，ABC中AB个顶点在x轴的上方，点C的坐标(－，0)，以C为位似中心，在x轴的下方作△ABC位似图形，并把△ABC的边长放大到原来的2倍到的图形是△′B′C.设点B的对应B的横坐标是，则点B横坐标是()1．－a．－(a＋11C．－－1)D．－(a＋平面直角坐标系中的位似变换作图6如图已知△ABC坐标平面内三个顶点的坐标分别为A(03)B(3，4)C(2，．正方形网格中，每个小正方形的边长是个单位长度．画出△ABC向下平4个单位得到的△ABC接写C点的坐标；11以点B位似中心，在网格中画出eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)，使eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)BC与△位似，2222且位似比为21，并直接写出C点的坐标及eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)BC的面积．22(第6)

阶强专六巧位解角中内多形题名师点金：位似图形是特殊位置的相似图形，它具有相似图形的所有性质；位似图形必须具备三个条件：(1)两个图形相似；(2)对应点的连线相交于一点；(3)对应边互相平行或在同一直线上．三角形的内接正三角形问题1．如图，下面的方法可以画AOB的内接等边三角形，阅读后证明相应问题．画法①在△画等边三角形使点C在OA点D在OB上；②连接OE并延长，交AB于点′，过点E′作′C′，交OA于点C，作E′D∥ED交于点；③连接′D′，则△C′D′E是△AOB的内接等边三角形．求证：△C′D′E′是等边三角形．第1)三角形的内接矩形问题2作接于已知△ABC的矩形DEFG它的边EF上点D，分别在AB，上，并且有DEEF1∶第2)

BQBQ三角形的内接正方形问题(方程思想)3如图eq\o\ac(△,，)ABC是一块锐角三角形余料边BC＝高AD＝80，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点P，N分别在AB，上，则这个正方形零件的边长是多少？第3题)4如图①△ABCD分别在ABACBC上DE∥BC，PEAQ交DE于点P.求证：＝.在△ABC，BAC，正方的四个顶点在△ABC边上，连接，AF，分别交于M，N点．①如图②，若AB＝＝1，直接写出MN的长；②如图③，求证：MN＝DM·EN.(第4)

PCPFADACABACADABDBECDBBAADADBAABABBCCDPCPFADACABACADABDBECDBBAADADBAABABBCCD答阶段强化专训一1．解：∶＝3∶5，∴BD∶AB＝5∶8.∵DEBC∴CE∶AC＝BD∶AB＝∶8.∵EF∥AB，∴∶∶AC5∶PE2．证明∵DE∥BC，∴＝∴＝PFPD∵DFAC，∴＝.∴PF·PA.PEPA∴PE·PB＝∴＝AFAEADAE3．证明∵∥，∴＝∵DEBC.＝AFAD∴＝，∴AD是AB和AF比例中项．ADAEAD4证明∵∥BC∴＝∵点D为AB的中点∴＝DB即AEDEAE＝1.∴＝1.∵CF，∴＝＝∴DE＝BEBF5．证明∵AC∥，∴＝①.又∵EF∥BD，AEAFBEAEBFAFABAE∴＝②.＋②，得＋＝＋＝＝1，即＋＝1.阶段强化专训二1．AC4.82证明∵＝6.4CD1.6AC＝AD－CD＝6.4－1.64.8.∴＝＝3.ACBC又∵＝＝3∴＝又∵BC⊥，∴∠∠DCE＝90°，∴△ABC∽△DEC.

222EDEDQCQCCP2ABAC22BCABAC222EDEDQCQCCP2ABAC22BCABAC(第3)3．(1)证明：∵△等边三角形，∴∠A＝ACB＝60°.∴∠ACF＝1∵是外角平分线，∴∠ACE＝∠ACF＝＝60°.∴∠A＝ACE.又∵∠＝∠，∴△ABD∽△CED.解：如图，作⊥于点M，则AM＝CM＝3，＝33.∵＝2CD，∴CD＝2，＝则＝在Rt△BDM中，＝BM＋＝2BDAD由△∽△CED得＝，即＝，∴ED7.∴＝BD＋＝37.AD4．证明在正方形ABCD，∵是CD的中点，∴＝2.∵BP＝∴＝DQADDQ又∵BC＝2DQ，∴＝2.在△和△中，＝，∠C＝∠D＝90°，∴△ADQ∽△QCP.5．证明∵AD是△ABC的高，∴⊥又∵E，分别是AB，AC的中点．∴在Rt△ABD中，为斜边AB上的中线．1∴DEAB，即＝.理＝.∵△ABC中位线，11∴EF＝，即＝DEEF∴＝＝∴△DEF∽△ABC.

2BDQDDFCGAFENDNBD22BDQDDFCGAFENDNBD2阶段强化专训三1．解：接DF.∵，F是边上的两个三等分点，∴＝∵D是AC的中点，∴AD＝CD.∴△ACE的中位线．1∴DFAE，且＝AE.∴DF∥PE.∴∠∠BFD，∠＝∠BDF.BEBPEP∴△BEP△BFD.＝＝∵BE＝EF，∴BF＝2BE，∴＝，＝∴BP＝∵DFAE，∴∠APQ＝∠，∠＝∠DFQ.PQ∴△APQ∽△FDQ.∴＝.设PE＝，则DF＝2a，＝∴PQ∶QD＝AP∶＝∶∴BP∶∶QD＝5∶3∶2.2．解：点∥AE的延长线于点∵CG∥，∴∠DAF＝∠又∵D为CF的中点，∴CD＝DF.∠DAF＝∠G，在△ADF△GDC中，ADF＝∠CDG，＝CD，∴△ADF≌△GDC(A.A..)．∴＝CG.∵BF∶AF＝32，∴AB∶AF＝5∶2.∵AB∥∴∠＝∠ECG∠BAG＝∠BEAB5∴△ABE∽△＝＝＝.3．证明过点B作BN∥CF交AD延长线于点N.AFAE∴＝，∠FCD＝∠NBD.又∵∠CDE＝∠BDN，ED∴△EDC∽△NDB.∴＝1∵BDCD，∴EDDNEN.AFAE∴＝.∴AE∶ED2AFFB.4明点作∥AB于点∠PFC＝∠PDBPCF＝∠，∴△PCF∽△PBD.

22BAACBABOAC2222244222222BAACBABOAC22222442222BD∴＝.∵∥，∴∠＝∠∵＝AE，∴∠∠AED.∵∠AED＝∠∴∠EFC＝∠CEP.∴EC＝BD∴＝.阶段强化专训四1．证明取中点H分别连接EH、HF即与FH分别为△ABD与△DAC的中位线．11∴EHBD，HFAC(三角形中位线定理)．而AC＝BD，∴EHHF，∴∠HEF＝∠又∵EH∥BD∥AC，∴∠HEF＝∠DMF，∠HFE＝∠，∴∠DMF＝∠，∴＝ON.2．证明连接AC，交BD于O点，∵E分别为AB、BC的中点，∴EFAC，BEBMEFBE∴△∽△，＝∴＝.BMEF∴＝＝EFAC.1∴BM＝MO＝BO.又∵四边形ABCD是平行四边形，1∴BO＝OD＝BD，111∴BM＝BO＝BD，即BM＝BD.由(1)知MBO的中点，E、分别是、的中点．11∴ME＝AO，MF＝OC又∵AO＝，∴＝MF.3．证明连接BD取BD的中点连接，MP，∵N为的中点，BD的中点，11∴为△中位线，∴NP＝，同理可得MP＝∵ABCD不平行，∴P点不在MN．

2222221在△PMN，由于两边之和大于第三边，∴MN＜PM＋＝＋CD)．点拨此类题型通过转化把有关的线段或与之有联系的线段集中在一个三角形中，再应用三角形的有关知识，如：三角形中位线及两边之和大于第三边，两边之差小于第三边等，即可得出证明．(第4)4．证明如图，延长、AE交、CB的延长线于、H，∵BD平分∠ABC，∴∠1＝∠2，又∵⊥AD，∴∠ADB＝∠BDG＝90°.在△ABD△GBD中，∠1＝∠2，＝BD，∠BDG＝∠，∴△≌△GBD(...)．∴＝DG，同理可证，＝EH，∴D、E分别为AG、AH的中点，∴ED∥BC.5．C6.D7．解：边形是平行四边形．理由如下：∵D，E分别是，边的中点，∴DE是△的中位线，1∴DE且＝1同理，∥且＝BC，∴DE＝，∴四边形DEFG是平行四边形．8解：由＋＝∶＝∶7得AD＝2.4BC＝图，连接，并延长交BCH，∵∥BC∴∠DAF＝(第8)∠HCF.在△ADF与△中，

∠DAF＝∠HCF，＝CF，∠1＝∠2，∴△ADF≌△CHF(.A．1∴＝AD，DF＝，∴EF＝＝(BC－AD)＝1.6.2阶段强化专训五1．解：敏的座位可以表示为(33)，石玲的座位可以表示为(4，．2解：A(30°4km2km，6)4km，，3km)，F(210°，5)．点拨利用方位角和距离表示平面内点的位置可看成用一个有序实数对表示点的位置，并且这个实数对由角度和距离组成．3．解：学校和小芸家的位置分别是(，6)，(3，．答案不唯一，如：①(5，→，，→，→(8，→，；②(5，→，→，4)→，4)→，(8，6)；③(5，→，→，5)→，5)→，(8，6)．4D点拨根据平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于或－k，即可求得答案．5．D6．解：如图所示，△ABC即为所求，C(2，－2)；111如图所示，△ABC即为所求，C(1，0)，eq\o\ac(△,S)ABC＝10.222(第6)

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