安徽省六校教育研究会2022届高三下学期2月第二次联考理科数学试题（含答案与解析）

安徽省六校教育研究会2022届高三联考试题

数学（理科）

（时间：120分钟分值：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的.）

1.设集合A=8={冲―％<1},则从口底（）

A.^x|—1<x<11B.|x|-1<X<11C.1^|0<x<11D.{ROcxvl}

2.若复数z满足z・i=l—i,其中i为虚数单位，贝”的虚部为（）.

A.OB.-1C.-iD.-i

2

3.如图，是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，记由该直方图得到的数学考试

成绩的众数、中位数和平均数分别为mb,c,则（）

a+c,a+b

A.b>c>aB.a>b>cC.------->bD.------->

22

4.设a=sin，,

Z?=In7T,c=7l~^则()

2

A.c<b<aB.a<c<bC.a<b<cD.c<a<b

x+y-5<0

5.设尢，>满足约束条件（2x+y_8«0,则z=3x+4y的最大值是

)

”3

A.12B.17C.18D.—

2

6.某日，甲、乙、丙三个单位被系统随机预约到A,B,C三家医院接种疫苗，每家医院每日至多接待两

个单位.已知A医院接种的是只需要打一针的腺病毒载体疫苗，B医院接种的是需要打两针的灭活疫苗，C

医院接种的是需要打三针的重组蛋白疫苗，则甲单位不接种需要打三针的重组蛋白疫苗的概率为（）

12人23

A.-B.-C.—D.一

3355

7.已知抛物线C:y2=4x,点P为直线x=-2上的任意一点，过点尸作抛物线C的两条切线，切点分别

为A,B,则点A/（O,l）到直线AB的距离的最大值为（）

A1B.4C.5D.石

（1V0

8.在［l+x+gj的展开式中，/项的系数为（）

A.45B.90C.120D.1

9.己知点P（—1,0）,圆（X—1）2+V=9上两个不同的点A（XQJ、3（孙％）满足

衣=4万（2eR）,则林西+3y—25|+|4%+3%—25|的最大值为（）

27

A.12B.18C.60D.——

2

10.直线。与平面a所成的角为15。，点P为空间一定点，过点P作与a成45。、与a成60。的直线/可以

作（）

A2条B.3条C.4条D.无数条

11.已知数列｛%｝满足：6=1,4=1，a“=a,i+4_2（〃N3,〃GN*）,若将数列｛4｝的每一项按照

下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1,记前〃段圆弧所在正方形的面积之和为S“，第〃段圆弧与

其所在的正方形所围成的扇形面积为%.现有如下命题：

Pi-S.+i=a；+i+an+i-an；

Pi-4+%+…+“2"-1=%”-1；

Pi：。］+4+。3-1--------*■%=an+2~1；

P4：4（c”-c〃T）=m,,+「a,L2・

则下列选项为真命题的是（）

A.-1/?!Ap2B.V-i/73C.-yp2A-!/?3D.P2Vp4

12.已知函数〃x)=(x4—4?).，，若方程/(x)=a有3个不同的实根X],X2,X,(X1<%,)，则

a

的取值范围是（）

cj_当,24后Q口」一冬,24后A

（e2GlLe）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题目的横线上.）

13.已知向量1=（1,2）,b~（3,-4）,则向量1在向量5上的投影为—.

14.若双曲线C：二—/=1（。〉0力＞0）的一个焦点F关于其一条渐近线的对称点/＞在双曲线上，则双

曲线的离心率为.

15.函数/(x)=3sin((yx+s)[/>0,|同<'|),已知/(gj=3且对于任意的xeR都有

，若/（%）在（立■,点）上单调，则O的最大值为.

16.在四棱锥S-ABCD中，已知S4，底面ABC。，AB//CD,ABA.AD,AB=3,C£）=AQ=6,

用是平面SAD内的动点，且满足NCW=/BK4.则当四棱锥M-ABCZ）的体积最大时，三棱锥

M-ACD外接球的表面积为.

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步

骤.第17〜21题为必考题，每个考生必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）

（-）必考题：共60分.

17.在△ABC中，AD是底边BC上的高，垂足为点。，且黑i

3

⑴若边长|AB|,忸q,|C4|成等比数列，求ZB4c的正弦值;

回网

(2)求的最大值.

|明|AC|

18.在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图，在“阳马”

P—A8CD中，侧棱尸。，底面48（?£）,且PD=CD.

(1)若PB=4,试计算底面ABC。面积的最大值；

(2)过棱PC的中点E作石尸_LPB，交PB于点F,连。E,DF,8D若平面OEF与平面ABCQ所成锐

二面角的大小为四，试求生的值.

3BC

19.某校高三年级举行元宵喜乐会，两人一组猜灯谜，每轮游戏中，每小组两人各猜灯谜两次，猜对灯谜

的次数之和不少于3次就可以获得“最佳拍档”称号.甲乙两人同一小组，甲和乙猜对灯谜的概率分别为4,

%

(1)若[==3,8=2—,求在第一轮游戏中他俩就获得“最佳拍档”称号的概率:

43

4

(2)若《+鸟=§,且在前"轮游戏中甲乙两人的小组获得“最佳拍档”称号的次数的期望为16次，则〃

的最小值是多少？并求此时的鸟的值.

22

20.已知椭圆C:f+£=1("〉人〉0)的左右焦点分别为《(—6,0),6(6,0),且椭圆C上的点M

(2)若在x轴上存在一点E,使得过点E的任意一条直线/与椭圆的两个交点P、Q,都有存才+再谈

\EP\\EQ\

为定值，试求出此定值.

21.已知函数/(x)=xlnx的图象曲线C满足以下两个特性:

①过点存在两条直线与曲线C相切;

②曲线C上有A,B两点，其横坐标分别X],占(0＜%＜々＜1)，且满足两点在曲线C上等高.请完成

以下两个问题.

(1)求实数/的取值范围；

f^+x2}

(2)若k=5।22+中2),且攵eZ,求％值.

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题

计分.

1

X—t-\—,

22.已知在平面直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为<；(，为参数).以。为极点，X轴的非

y=t——，

It

冗7T

负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线6==(夕.0)和6：。=一2(0-0)，曲线C,分别交。2，G

66

于P,。两点.

(1)求曲线C极坐标方程和曲线C?的直角坐标方程；

(2)求aop。的面积.

23.函数〃x)=|x+2|+|x-d(aeR).

(1)当。=2时，不等式〃X)W8的解集〃；

(2)若xe(O,l)时，不等式〃x)<x+4恒成立，求a的取值范围.

参考答案

一、选择题(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的.)

1.设集合A={xH<E},8={邛"<1},则4箍=()

A.|x|-l<x<l|B.{x|-l<x<l}C.{x[0<x〈l}D.{x[0<x<l}

【答案】C

【解析】

【分析】根据对数函数的单调性求出集合B,再根据交集的运算即可得出答案.

【详解】解：B={x|log2x<1}={x|0<x<2},

所以AD8={x[0<x<l}.

故选：C.

2.若复数z满足zJ=l-i,其中i为虚数单位，贝Ijz的虚部为().

【答案】B

【解析】

【分析】化简复数z为。+方的形式，由此求得z的虚部.

1-z(l-z)-(-z1)

【详解】依题意z=—=L,"、-1-/.故z的虚部为—1.

1'J)

故选B.

【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查虚部的概念，属于基础题.

3.如图，是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，记由该直方图得到的数学考试

成绩的众数、中位数和平均数分别为“，h,c,则（）

-a+c,c4+b

A.b>c>aB.a>b>cC.------>bD.->---c--

22

【答案】A

【解析】

【分析】根据频率分布直方图读出众数m计算中位数4平均数c,再比较大小.

【详解】由频率分布直方图可知：众数。=四土辿=75；

2

中位数应落在70-80区间内，则有：0.004x10+0.018x10+0.04x0-70)=0.5,解得：8=77；

八ccdn50+6060+7070+80

平均数c=0.004xl0x-------i-0.018xl0x-------F0.04X10X-------F

222

80+90八八八/1八90+100

0.032xl0x------+0.006xl0x-------=2.2+11.7+30+27.2+5.7=76.8

22

所以

故选：A

4.设。=sing,匕=In兀，c=兀小，则()

A.c<h<aB.a<c<hC,a<h<cD.c<a<b

【答案】B

【解析】

i7T1

【分析】根据已知条件，将sin-与sin0和sin一进行比较，将In兀与Ine进行比较，将5与

26711r

兀。和义进行比较确定6、c三个数的大小，从而完成求解.

【详解】O=sinOVsin1vsin¥=，,所以ae（O」），ln^>lne=l,所以。e（l,+oo）,

2622

111_1A1

—==2<7i°=l,所以C£（Q,1）,所以avcvb.

故选：B.

x+y—5<0

5.设1，丁满足约束条件<2x+y—8W0,则z=3x+4y的最大值是（）

y<3

39

A.12B.17C.18D.y

【答案】C

【解析】

【分析】根据线性约束条件作出可行域，作直线尸-%沿可行域的方向平移，由z的几何意义即可求

由图知：过点A时，三最大即z最大，

4

x+y-5=0,、

由1可得A(2,3),

所以Zmax=3x2+4x3=18，

故选：C.

6.某日，甲、乙、丙三个单位被系统随机预约到A,B,C三家医院接种疫苗，每家医院每日至多接待两

个单位.已知4医院接种的是只需要打一针的腺病毒载体疫苗，8医院接种的是需要打两针的灭活疫苗，C

医院接种的是需要打三针的重组蛋白疫苗，则甲单位不接种需要打三针的重组蛋白疫苗的概率为()

1223

A.-B.-C.-D.一

3355

【答案】B

【解析】

【分析】求出三个单位被系统随机预约接种疫苗的基本事件数，再求出甲单位不接种需要打三针的

重组蛋白疫苗的基本事件数，然后利用古典概率公式计算作答，

【详解】当A,B,C三家医院都接待一个单位时有A；种，当A,B,C三家医院有两家接待两个单位时有

C；C；A；种，

因此，三个单位被系统随机预约接种疫苗的基本事件有A；+C；C；A；=24个，它们等可能，

甲单位不接种需要打三针的重组蛋白疫苗的事件M,即甲不选C医院，选A,8医院之一，有C；种选法，

乙、丙从A,B,C三家医院中任选一家，去掉他们都选4医院的情况，有3z-1种选法，

因此，事件M含有的基本事件数为C；。？-1)=16个，

所以甲单位不接种需要打三针的重组蛋白疫苗的概率P(M)=—=~.

243

故选：B

7.已知抛物线C:y2=4x,点P为直线x=-2上的任意一点，过点尸作抛物线C的两条切线，切点分别

为A,B,则点M(0,1)到直线AB的距离的最大值为()

A.1B.4C.5D.y/5

【答案】D

【解析】

【分析】先求得直线AB的方程，再去求点到直线AB的距离的最大值即可解决.

［详解］设尸(-2,〃?)，切点A(x,,y),B(X2,y2)

由题意知在点A处的切线斜率存在且不为0,设在点A处切线斜率为做

在点A处切线方程可设为y=£1（x-x,）+y

/=4x,244“八

，可得)'一_厂'+丁X—4X,=0

y^kA(x-xi)+yi%

2

=0,可得％a=一

乂

2

则在点A处切线方程可化为y=—（x-xJ+M,即2%一＞/+2%=0

由题意知在点B处的切线斜率存在且不为0,设在点B处切线斜率为心

在点8处切线方程可设为丫=&式》-*2）+%

V-=4x,44,人

由/，可得）广_厂y+7y2-49=0

k

y=kB（x-x2）+y2跖

=0,可得％u=

2

则在点B处切线方程可化为y=7（%-々）+%，即2x-y2y+2々=0

又两条切线均过点P,则2（-2）-%m+2%=0,2（-2）-ytm+2%=0

则直线48的方程为Y-ym+2x=0,即2（x-2）-），"?=0

则直线AB恒过定点。（2,0）

点M（0,1）到直线AB的距离的最大值即为点M（0,1）到0（2,0）的距离

\MQ\=7（2-0）2+（0-1）2=6

故点"（0,1）到直线A8的距离的最大值为右.

故选：D

8.在1+x+Y五的展开式中，龙2项的系数为（）

A.45B.90C.120

【答案】A

【解析】

1V0

【分析】写出（1+X+去的展开式通项，令X的指数为2,求出参数的值，代入通项后即可得解.

【详解】11+X+熹]=1+1的展开式通项为4+1=C；o[x+

(x+展开式通项为纥M=C・(x-2g)&=C〉X,-2。2M,

/1、1O

故［1+X+)3J的展开式通项为Tn=C；oC/Tg",

令r—2()23k=2,且OWZWr<l(),k、reN,所以，r=2,k=0,

故展开式中x2项的系数为C；oC；=45.

故选：A.

9.已知点P(-1,0),圆(x—iy+y2=9上的两个不同的点4(4,y)、6(9,%)满足

Q=/l而(/leR),则|4%+3y—25|+|4%+3y2—25|的最大值为()

A.12B.18C.60D.—

2

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件求出弦AB中点的轨迹，再求出这个轨迹上的点到直线3x+4y-25=0的距离最大

值即可推理计算作答.

【详解】因而=4而(XeR),则点A,P,8共线，即过点P的直线A3与圆(X—厅+尸=9交于不同

的两点A,B,

…\小丑>)表示点A、B到直线

3x+4y-25=0的距离和的5倍，

设弦A8中点M(x。,%),则有阿：町一25|十缶：汕一25]=2.网:防一25|

V42+32>/42+3242+32

于是得：|你+3y—25|+|4X2+3y2-25|=10-/％为了,

圆(x—I)2+y2=9的圆心Q(l,0),显然点P在此圆内，即过点尸的任意直线与圆都相交,

当点例与点P,。都不重合时，由圆的性质知，PM1QM,有丽0而=0,

当点例与点尸，。之一重合时，直乙加=0也成立，于是得丽■•西=0,

又两=($+1,%),加=($一1,%)，从而得其+巾=1，即点〃的轨迹是以原点为圆心的单位圆,

二25|

圆君+N：=1的圆心到直线3x+4y—25=°的距离d=5,

则圆需+巾=1上的点到直线3x+4y—25=0的距离的最大值为d+1=6,

所以+3y-25|+|4±+3y2-25|的最大值为60.

故选：C

10.直线a与平面V所成的角为15。，点P为空间一定点，过点尸作与a成45。、与a成60。的直线/可以

作（）

A.2条B.3条C.4条D.无数条

【答案】B

【解析】

【分析】设直线。与平面a交于点A,过点A作与a成45。的直线，它在如图的轴截面为等腰直角三角形

的圆锥侧面上运动.设。在a内的射影为直线b，。、6确定的平面为夕，由直线与平面所成角的性质可

得当圆锥的母线在落在平面夕内时，它与。所成角为60°或30。.由此将圆锥的母线绕点A旋转并观察母

线与直线〃所成角的变化，可得圆锥侧面上共有三条母线所在的直线与4所成角为60。，由此结合异面直

线所成角的定义可得满足条件的直线/的条数.

【详解】解：设直线。与平面2相交于点A,。在a内的射影直线为方，

设圆锥的顶点为A点，圆锥的轴40J_平面圆锥的轴截面为等腰

Rt^ABC,如图所示.

可得图中圆锥的任意一条母线与平面a所成角都等于45。，

设直线，为圆锥的一条母线所在直线，直线〃确定的平面为夕，

由直线与平面所成角的性质，可得当。落在平面£内时，

直线。与直线a所成角等于45。+15。或45。-15。，

当c与A8所在直线重合时，。与。所成角为60°；当c与AC所在直线重合时，c与。所成角为30。.

当直线c从AC的位置按顺时针方向旋转到AB位置时，。、。所成角从30。增大到90。，再减小到60°,

这个过程中必定有一个位置满足c与a所成角为60°；

同理当直线。从AC的位置按逆时针方向旋转到A3位置时，这个过程中也存在一个位置满足，与〃所成

角为60°.

综上所述，经过点A的直线c共有3条满足c与。所成角为60°.

将满足条件的直线。平移到使它经过空间的点P得到直线/,

根据异面直线所成角的定义，可得直线/与直线。所成角为60°,满足条件的直线/有3条.

•••过点p作与a成45°、与。成60°的直线/可以作3条.

故选：B.

11.已知数列｛%｝满足：6=1,。2=1，a”=a,i+a,,-2（〃N3,〃eN*）,若将数列｛4｝的每一项按照

下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1,记前〃段圆弧所在正方形的面积之和为S“，第〃段圆弧与

其所在的正方形所围成的扇形面积为%.现有如下命题:

P1：4+。3+…+。2"-1=。2"-1；

Pi-ai+a2+ai+---+an=an+2-\.

Pa：4（c“-*）=sq_2-

则下列选项为真命题是（）

A

A.Ap2B.-n/?1V-np3C.-1P2—D.P2Vp4

【答案】D

【解析】

【分析】命题P1,可以取〃=1、〃=A和〃=k+1去验证是否成立；命题〃2,可以通过对〃进行取值验

证；命题。3,可通过叠加的方法来进行推导；命题P”可以通过题意写出｛&｝的表达式，然后带入化简

验证，判断完四个命题后，再根据四个选项的组合进行选择.

【详解】因为4=1,。2=1，a„=an-\+a„-2（n>3,neN'）,

Pl，“=*+%・%，

当〃=1时，S2=a1+a2-a｝-2,而4+4=2成立，

假设当“=氏时，Sk+i-a"+”*+]•《，

那么当〃=左+10寸，

S&+2=S&+1+a=/+2+吭1+4+1•%=心+4+1（4+1+q）=齿+2+%+2，

则当〃=后+1时，等式也成立，

所以对于任意〃£N*，5〃+1=。3+。,用。成立，故该命题正确；

〃2，由题意可得。]=1，。2=1，%=2,4=3，%=5,4=8，%=13,

4+〃3+…+%1=。2〃-1，当〃=2时，%+。3=3W%一1，该命题错误；

〃3，4=4,%=%―%,%=%一。2,…，。〃=4+1一6I，叠加得：

4+。2+。3"*----^an=an+2-。2="〃+2一]，故该命题正确；

。4,由题意可知所以4(c,—c._])=4'a：-*=*«„+«„)(=%+1)。泅，

故该命题正确；

所以选项A,「四人〃2为假命题；选项B,」P|V]〃3为假命题；选项C,「〃2人」〃3为假命题；选项

A,p2Vp4为真命题.

故选：D.

12.已知函数/(%)=(/-4。"”,若方程/(x)=a有3个不同的实根X],x2,x,(x(<Xj<x3)-则

a

—7的取值范围是()

x2-4

一27八(24G八]

A.--r，oB._R-,0

L7\e7

C.1符,24小1D.卜*24小附

【答案】A

【解析】

【分析】求得/(力=12-12卜2炉，得到函数“X)单调性进而画出函数/(X)的图如结合图象

ae0,1"裁出,进而得到巧的取值范围为卜26,0),得到三1=只淖，构造新函数，结合导

数求得函数的额单调性与最值，即可求解.

【详解】由题意，函数/(%)=(%4_4刁.",可得，'(力=14-12^)心=(%2-12产犬,

当％<-26时，/'(x)>0，“X)单调递增；

当一26<x<26时，/'(x)<0,/(x)单调递减；

当x>2百时，,。)>。“X)单调递增；

又由当XT-00时，/(X)->0,Xf+8时，/(x)r+oo,

且八-2百)="4：*66,"0)=0,/(2@=(144一966卜26,

故可大致画出了(X)的图象如下:

’144+9673'

由图象可知，4的取值范围为°，~―

\c/

此时对应巧取值范围为(―26,0),而一^=(-―4"；%一二Ee-

故令g(x)=x%'卜2G«x<0),则g<x)=(x3+3x2)e*=(x+3)%2e”,

故当一26Wx<-3时,g'(x)<0,g(x)单调递减；

当一3<xW0时，g'(x)>0，g(x)单调递增；

而gh2@=-^^<O,g(-3)=-1^,g(O)=(),

故的取值范围是一=,。］.

彳2-4L/)

故选：A.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题目的横线上.)

13.已知向量2=(1,2),B=(3,-4),则向量万在向量行上的投影为一.

【答案】-1

【解析】

【分析】利用向量投影的意义解答即可.

_a-hIx3-2x4.

【详解】解：由已知，向量2在向量b上的投影为777=^^^=一1・

闻V32+42

故答案为：T.

【点睛】本题考查了平面向量的投影求法；利用数量积的几何意义求之即可.

14.若双曲线C：，—5=l(a>0,6>0)的一个焦点/关于其一条渐近线的对称点P在双曲线上，则双

曲线的离心率为.

【答案】亚

【解析】

【分析】求出焦点关于一条渐近线的对称点P的坐标，代入双曲线方程求解作答.

【详解】由双曲线的对称性，不妨令尸为右焦点，渐近线为y=?x,即云-殴=0,令半焦距为0,则

a

F(c,0),

过尸垂直于渐近线y=2x的直线方程为：y=-^X-c),即依+勿=比，

ab

a2

bx-ay-0~b2

由〈,解得〈,r，即过尸垂直于渐近线y=-x的直线与该渐近线交于点(a幺,空)，

ax+by-acabacc

y=—

Ic

?29,,2/_2,2ab2

依题意，点P的坐标为(竺-c,竺)，而点尸在双曲线上，则有--C)I一屋)

ccb^~

222

BP(---)-4(-)=1,而e=£,于是得(2—e)2—?=l,整理得：e=5.而e>l，解得

cacaee

e=-s/5，

所以双曲线的离心率为右.

故答案为：亚

15.函数/(x)=3sin(0x+e)(勿>0,闷<?,已知=3且对于任意的xeR都有

/(-弓+》)+/[-看7)=0,若/(x)在(记■，§]上单调，则⑷的最大值为.

【答案】5

【解析】

【分析】根据已知条件，利用+]+=0和/(弓]=3建立起关于①的等量关系，然后

上单调，卡出。的范围，在前面的等量关系中选取合适的值即可.

兀

【详解】因为函数/(x)=3sin(«yx+s)0>0,冏<—=3,

71

所以-3JsirfCfy4+e=

3

所以^-+9=,+E(ZwZ),9=万一-^-+&]兀(%]wZ),

因为于任意的xeR都有W+xJ+f

=0,所以/

兀./71

所以sin(x——)・(o+(p-sin-w(x+—)+e,

66

匕…•(师5

所以SinCOX———+^9j=Sin^69X4-———(P

(071COTl_._\

所以s-----\-(p=cox-i(----e+兀(&eZ)

66

□COTlCOTl.

或8----+0+8+----0=攵3兀(Z攵I3GZ)

66

所以。=一+%兀(幺£Z)或2①X=&兀/3wZ),

6

即X=g(女3^Z)(舍去)，所以9=竽+〃2兀(42wZ),

236

因为8=5-竺+&MGWZ),所以5—竺+用兀=?+幺兀(匕WZ),即。=1+2(&「&),

23236

5兀2兀

令，=4一%2，所以口=l+2r(/wZ),36，-9-上单调,

TlT71

所以一4—=—,所以0W12,而0=l+2r(reZ),

122<y

当69=11,(P=-y-,所以/(犬)=3sin[llx—,函数在(空,-?]不单调，舍去;

6Io)v3o97

37r

当<y=9,R=j-+E(ZeZ),舍去；

当①=7,9=5，所以/(x)=3sin(7x+/],函数在(六,一个]不单调，舍去；

6\6J1369/

当<y=5,(p=~y>所以/(x)=3sin(5x—f],函数在单调，

6\07<3697

所以。的最大值为5.

故答案为：5.

16.在四棱锥S—A88中，已知S4L底面ABC。，AB//CD,ABLAD,AB=3,C£)=AQ=6,

“是平面必。内的动点，且满足NCW=/BK4.则当四棱锥M-ABCD的体积最大时，三棱锥

M-ACD外接球的表面积为.

【答案】136万

【解析】

【分析】分析可知竺=?，然后以点以点A为坐标原点，A。、AB.AS所在直线分别为x、V、z

轴建立空间直角坐标系，设点"(x,O,z),求出点M的轨迹方程，可知当点M到平面ABC。的距离最大

时，四棱锥M—ABQD的体积最大，设点〃(一2,0,4),设三棱锥M—AC。的球心为。(a,O,c),列方

程组求出点。的坐标，可求得球。的半径，再利用球体表面积公式可求得结果.

【详解】因为AB〃C。，ABA.AD,A3=3,a>=AZ)=6,则四边形ABC。为直角梯形，

平面ABC。，AB\平面ABC。，则AB，SA,

■：ABLAD，&1口4。=4,r.AB_L平面SW,则CO,平面SAD,

•：AM,。知<=平面5>1£>,.-.舫_1/^,CD±DM,则ZR4M=NCDM=90。，

故NBMA=ZCMDotanZBMA=tanZCMDo〃=型0怨='，

MAMDMD2

♦.•SAJ•平面ABC。，AB±AD,以点A为坐标原点，A。、AB，AS所在直线分别为x、V、z轴建

立如下图所示的空间直角坐标系，

则4(0,0,0)、8(0,3,0)、C(6,6,0)、D(6,0,0),设点M(x,0,z),

MA

可得r7(%-6)2+Z2，化简可得

由=g24l7=(x+2)2+z?=16,

MD

即点M的轨迹为圆，当点M到平面ABC。的距离最大时，四棱锥M—A3CD的体积最大,

不妨设点M(-2,0,4),设三棱锥M-ACD的球心为0(a,b,c),

222)分+(C—4)2

［研=］两］a+h+c=(a+22+2a=3

由<|珂=|明，可得<,厂+。-+=(a-6)+—6)+c",解得,b=3,

阚T西a2+b2+c2=(a-6)2+/?2+c2c=4

所以，三棱锥M—AC£＞外接球球心为0（3,3,4）,球。的半径为阿=打+3?+4?=取,

因此，三棱锥AC。的外接球的表面积为4万x|砺『=4万x34=136万.

故答案为：136万.

【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面

体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；

②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；

③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则

球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可；

④坐标法：建立空间直角坐标系，设出外接球球心的坐标，根据球心到各顶点的距离相等建立方程组，求

出球心坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得球的半径.

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步

骤.第17〜21题为必考题，每个考生必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）

（-）必考题：共60分.

_\AD\1

17.在AABC中，A。是底边BC上的即垂足为点。，且记=亍

⑴若边长|A8|,忸|CA|成等比数列，求NBAC的正弦值;

\AC\\AB\

（2）求扁卡品的最大值•

【答案】（1）-

3

（2）V13

【解析】

【分析】⑴设|AB|=c，怛C|=a,|C4|=〃，=根据等面积法可得=

h1

再由一=一，即可得到a2=30csinZBAC，最后由三边成等比数列，即可得到。2=。,，从而得解；

a3

（2）设NA4C=。由余弦定理及（1）中的结论可得。2+c2=3bcsin6+3ccos。，再两边同除。c，即

\AC\〜.八c八

可得到~\--r+1---r=3sin6+2cos0,最后利用辅助角公式及正弦函数的性质计算可得;

\AB\\AC\

【小问1详解】

解：设=忸C|=a,|C4|=。，=

由面积公式可得历sinZBAC.又已知'=」，代入上式可知/=3bcsinZBAC-

22a3

又由于a,h,c成等比数列，即〃=比，代入上式，得sinNBAC=；.

【小问2详解】

解：设ZR4C=，，在AABC中，由余弦定理可知/+c2=/+»ccose，

由（1）可知/=3bcsin6，代入上式可知〃+c?=3bcsin6+2/?ccos。，

于是图+网hc

于是|明|的=一十一=3sin。+2cos6=V^sin（。+夕）,

cb

其中tan°='|

。为锐角，故当sin（e+°）=l时,

18.在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图，在“阳马”

P—A8C。中，侧棱POJ_底面ABC。，且尸£>=C£>.

（1）若依=4,试计算底面ABC。面积的最大值；

（2）过棱尸C的中点《作所_1_必，交PB于点、F,连。E,DF,BD若平面£>E「与平面ABC。所成锐

二面角的大小为:，试求变的值.

3BC

【答案】（1）472

⑵—

2

【解析】

【分析】（1）根据已知条件，可设PD=CD=x,AD^y,表示出底面ABC。的面积，然后利用基本不

等式即可完成最值得求解；

（2）设出A£>=/1,以点。为原点，建立空间直角坐标系，分别求解出平面。EF与平面ABCC的法向

量，然后利用已知条件，求解出力,即可求解出D"C的值.

BC

【小问1详解】

设PZ）=CD=x,AD=y,由已知可知2/+y2=房，而底面4BCZ）的面积为孙.

1后12x2+y~rr

则由均值不等式，可知SAB。=母