2023天津版数学高考第二轮复习-综合测试卷(一)

2023天津版数学高考第二轮复习

综合测试卷（一）

（时间：120分钟，分值：150分）

一、选择题（本大题共9小题,每小题5分，共45分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的.）

1.（2022河北一模,1）已知集合U={123,4,5},A={1,2},B={2,3,4},则集合AC（［uB）=（）

A.{1}B.{2}

C.{1,2,5}D.{1,2,3,4）

答案A由题意得"={1,5},.»仆（［网={1},故选从

2.（2022天津十二区县重点学校一模,2）a、b均为实数，则"a<b<0”是“a2>b2”的（）

A.必要不充分条件

B.充分不必要条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案Ba<b<0今a2>b，反之不成立，例如取a=3,b=2,故选B.

3.（2022河东一模,4）函数y=x2-2hl（xGR）的部分图象可能是（）

答案A•••y=x2是偶函数,y=2冈是偶函数;

.•.y=x2-2冈是偶函数排除B,C；

x=0时,y=-l<0,排除D,故选A.

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4.（2021天津耀华中学一模,4）为了解学生的身体情况，某校随机抽取了一批学生测量体重,经统计，这批

学生的体重数据（单位:千克）全部介于45至70之间，将数据分成5组，并得到如图所示的频率分布直方

图.先采用分层随机抽样的方法，从［55,60）,［60,65）,［65,70］这三个区间中随机抽取6名学生，再从这6名

学生中随机抽取3人厕这3人中恰有2人体重位于区间［55,60）的概率是（）

AA

C1

答案B由频率分布直方图得(0.01+0.07+0.06+a+0.02)x5=l,解得a=0.04.

•••采用分层随机抽样的方法，从［55,60）,［60,65）,［65,70］这三个区间中随机抽取6名学生,

・•・从MS。）中抽取6、扁舒矿3人从［6。,65）中抽取6义"丽=2人

0.02

从［65,70］中抽取6X人,

0.06+0.04+0.02=1

从这6名学生中随机抽取3人,基本事件总数n=c3=2O,这3人中恰有2人体重位于区间［55,60）包含

的基本事件个数m=C羽=9,.♦.这3人中恰有2人体重位于区间［55,60）的概率P=；=益故选B.

5.（2021和平二模,6）已知圆柱OOi的两底面圆周上的所有点都在球C的表面上,且圆柱OOi的底面半

径为L高为28厕球C的表面积为（）

A.2nB.8兀C.12nD.16冗

答案D设球的半径为R,贝！J2R=5T^I^=4,所以R=2,因此，球C的表面积S=4nR2=16"，故

选D.

6.（2021和平一模,5）设a=8正=log32,c=log23,则a,b,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.b<a<c

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C.b<c<aD.c<a<b

答案cV0<log32<l<log23<2<82,.\b<c<a.

7.(2022四川绵阳二模,5)已知双曲线E:"《=l(a>0,b>0)的焦距为4,两条渐近线互相垂直，则E的方

程为()

A.x2-y2=l

C^-^=1D--^=l

4488

答案B由双曲线的两条渐近线互相垂直可知,a=b,又2c=4,a2+b2=c2,所以*=b2=2,则E的方程为

3―4=1.故选B.

8.(2021天津部分区一模,7)关于函数f(x)=sin(2x+习有下述三个结论：

①f(x)的最小正周期是2Ji;

②f(x)在区间上单调递减；

③将f(x)图象上所有点向右平行移动展个单位长度后彳导到函数g(x)=sin2x的图象.

其中所有正确结论的编号是()

A.②B.③

C.②③D.①②③

答案C对于①，f(x)的最小正周期是与=员42口,所以①错；

对于②,XG(精)=2x+=e(微片)，所以f(x)在区间(精)上单调递减，所以②对；

对于③，将f(x)图象上所有点向右平行移动各个单位长度后，得到函数y=f(x*)=sin[21*)+

3=sin2x的图象，即函数g(x)的图象，所以③对.故选C.

f4cos%r2Ti<%<0,

9.(2022天津一中五月月考⑼已知函数f(x)=-9Av、「关于x的方程P(x)-(a-5)f(x)-5a=0

11-r~-O,X7U,

在[-2n,+8)上有四个不同的解X1,X2,X3,X4,且X1<X2<X3<X4.若牛+a-爵20恒成立，则实数k的

取值范围是()

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A.恃,+8)B[p+0°)

C.(-8,0)%,+8)D.[-H,o)

答案D令f(x)=t,

则有t2-(a-5)t-5a=0=>(t-a)(t+5)=0=>t=-5或1=2,

问题等价于直线y=-5,y=a与f(x)的图象在[-2”,+8)上有4个交点,

交点横坐标分别为X1,X2,X3,X4,如图，

可得XI+X2=-2JT,X3,X4为方程x+g-6=a的两个根,

x2-(a+6)x+9=0,X3X4=9,

9

•*.X3"i—6二a.

X3

:.空至+a-年-=§+x3+2—-6^0,

k珞％4kX3x3

即名WX3+9-6,

K%3

•.•X3>O,...X3+£62-2(当且仅当X3=2时等号成立),

%3

即-2,20),故选D.

K

二、填空题（本大题共6小题,每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对

的给5分.)

10.(2022河西一模,10)i是虚数单位，则复数部=

0—41-------------

答案2-i

解析2Tli=(2-lli)(3+4i)=50—25i=2j

明7r3-4i-(3-4i)(3+旬—25一.

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11.(2022天津耀华中学统练(11),11)若(％+是了的展开式中x，的系数为7,则实数a=.

答案3

解析(X+卷y的展开式的通项为Tk+i=C，x8-k儡)“=慧ak•x84k,令8*=4,得k=3.

•••《・a3=7,解得ag.

12.(2022天津十二区县一模考前模拟,12)圆心为直线x-y+2=0与直线2x+y-8=0的交点，且过原点的

圆的标准方程是.

答案(x-2)2+(y-4)2=20

解析就像、江解啸：;

即圆心的坐标为(2,4),

设圆的标准方程为(x-2)2+(y-4)2=r2,

将(0,0)代入上式得口=20.

故圆的标准方程为(x-2)2+(y-4)2=20.

13.(2021南开一模,13)对某种型号的仪器进行质量检测,每台仪器最多可检测3次,一旦发现问题，则停

止检测，否则一直检测到3次为止.设该仪器一次检测出现问题的概率为02则检测2次停止的概率

为；设检测次数为X,则X的数学期望为.

答案0.16;2.44

解析检测2次停止的概率为Q-0.2)X0.2=0.16.

X的所有可能取值为l,2,3,P(X=l)=0.2,P(X=2)=0.16,P(X=3)=0.8X0.8X0.8+0.8x0.8X0.2=0.64,

故E(X)=1X0.2+2X0.16+3X0.64=2.44.

14.(2022南开二模,14)已知a>0,b>0,则2a+b的最大值是

j4a2+b2-Vab

答案2V2

2a+bv2a+b

解析

膈2+反q'2卮发

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_2Q+6_2Va\[b

\[aby/by[a!

当且仅当b=2a时，"="成立.

又竽+铝2或（当且仅当2a=b时"=”成立），

所以W2位.

^4a2+b2-y/ab

15.（2022河东一模,15）在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,P是对角线AC上一点，而=看前，过点P的直线

分别交DA的延长线、DC于M、N,则丽•丽=，若丽=mDA.'DN=n沆（m>0,n>0）,则

2m+3n的最小值为.

口木5,5

解析由方=1近可得加=1a+1元

BP=^BC+=-^DA-^DC,

.•丽•丽=技m2TM=Y

■:DP=^DA+^DC=7--DM+DN,

555m5n

又P,M,N三点共线,

q7

.•.-+-=l,Xm>0,n>0,

.,.2m+3n=i(2m+3n)g+^)=|12+守书内12+2

当且仅当2m=3n时”="成立.

.•.2m+3n的最小值为年

三、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.）

16.（2021和平一模,16）在4ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b=2V7,c=2,B=与

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⑴求a的值；

(2)求sinA;

⑶求sin(B+2A)的值.

解析(1)在AABC中,b=2夕,c=2,B=]

由余弦定理可得28=a2+4-2Xax2x；,可得a2-2a-24=0,解得a=6或a=-4倍去)，即a的值为6.

(2)由正弦定理可得sinA=竺卷=第=等.

02V714

222

z-)vr-r-iMAb+c-a28+4—36V7

因为、.-；

('3')I'"COSA=-2-b——c=2x277x2=-7174,'

所以sin2A=2sinAcosA=2x鬻x(-。=—*cos2A=2cos2A-l=2x^-1=-g,

所以sin(B+2A)=sinBcos2A+cosBsin2A=\x(-§+：x(-萼)=-竽

17.(2021和平二模,17)如图在四棱锥P-ABCD和四棱柱ABCD-AiBiGDi组合而成的几何体中，侧棱

AA」平面ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形,AiQ与BQi交于点O,PO〃AAi,点E是棱CCi

上一点AAi=3,CE=L

⑴证明:PALBiDi；

(2)求二面角Bi-DiE-Ci的正弦值；

(3)若直线PA〃平面BiDiE,求直线PA和BiE所成角的余弦值.

解析由题意，以Di为原点，原,国,廉的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系

（如图）,

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可知Di(0,0,0),A(2,0,3),Ai(2,0,0),Bi(2,2,0),Ci(0,2,0),E(0,2,2),^P(l,Lz),且z>3.

⑴证明:可求得对=(1,-1,3-z),瓦希=(2,2,0),所以西•瓦瓦=2-2+0=0,因此PAlBiDi.

(2)可求得莓=(0,2,2),

设平面BiDiE的法向量为m=(x,y,z),

则晒*DIBI=2x+2y=0,

不妨令*=1,得y=-l,z=L所以m=(L-l,l).

易知平面D1EC1的一个法向量为取;=(2,0,0).

因此3初取>=券矗=岛=曷

于是,Sin<—cos2<m,D7A7>=容

所以,二面角Bi-DiE-G的正弦值为当

(3)因为直线PA〃平面BiDiE,

所以对•m=0,即l+l+3-z=0廨得z=5.

所以刀=(1,-1,-2).因为率=(-2,0,2),

所以cos<PA，0>=•耳理==-V-

因此直线PA和BiE所成角的余弦值为苧.

18.(2021天津新华中学统练(7),19)已知递增等比数列俑｝的前n项和为Sn,fia2=2,S3=7.

(1)求数列｛an｝的通项公式;

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(2)令bn=nan,求数列｛bn｝的前n项和Tn;

⑶记Cn=3n-2•(-l)nXan(XWO),是否存在实数X使得对任意的n^N*,恒有Cn+l>Cn?若存在，求出入

的取值范围;若不存在，说明理由.

解析(1)设等叱数列｛an｝的公比为q,q>o,

箕黑京+qg解需身或｛=4,

*n1

..an=2-.

(2)由⑴得,bn=n•2n-i,

1

贝！JTn=lx20+2x2+-+n•2日①，

12

2Tn=lx2+2x2+-+(n-l)•2^+n•2n②，

由②-①得Tn=(n-1)in+l.

nnnnn

(3)Vcn=3-2,(-l)Aan=3-(-l)x•2,

n+1nn+1

Acn+i=3+(-l)X•2,

又,.•Cn+l>Cn,，3n+l+(-l)nA.•2”1>3「(一1》人•2工

gp3n-l+(-l)nX•2Z1>0,

当n为偶数时3-1+…211>0,

则\>-铲,，入>得

当n为奇数时3-1-入•2n-i>0,

71-1

©X<1.

综上,-|<入<1.

19.(2021和平一模,18)已知椭圆4+，=l(a>b>0)的右焦点为F(l,0),离心率为当

(1)求椭圆C的方程；

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(2)设经过点F的直线I不与坐标轴垂直，直线I与椭圆C相交于点A,B,且线段AB的中点为M,经过坐

标原点0作射线0M与椭圆C交于点N,若四边形OANB为平行四边形，求直线I的方程.

解析Q)设右焦点为(。0),由题意可知

y=/c(x-l),

⑵解法一：由题意，设直线I的方程为y=k(x-l),且kW0.与椭圆方程联立,g+丫2=1整理得Q+2k2)x2-

4k2x+2k2-2=0.设A(xA,yA),B(xB,yB),M(XM,yM),

贝"A+XB=^=2XM，XAXB=^，

所以yM=k(XM-l)=高，所以M(器，高),

■y-----X-,

于是直线OM的斜率为《直线OM的方程为y=盘与椭圆方程联立,2整理得(1+

eX=i,‘

粉x2=2.

设N(XN,XN),则婢=鼻.

在平行四边形OANB中,M为ON的中点，从而2XM=XN,即4鼎=瑞因此4(含J=潢，解得

k=±f.

所以直线I的方程为y=yx-乎或y=-^x+率

解法二:求得M(高，高)的过程同解法一，

在平行四边形OANB中，有而=OA+OB=20M,

设N(XN,yN),所以N(器，急)又因为点N在椭圆C上,所以①+(急y=l解得k=±f.

所以直线I的方程为y=yx-亨或y=-苧x+孚

20.(2022和平一模,20)设函数f(x)=ln(x+l)+a(x2-x),其中aeR.

d)a=l时,求曲线y=f(x)在点(l,f⑴)处的切线方程;

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(2)讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理曲

(3)若vx>O,f(x)，O成立，求a的取值范围.

解析(l)a=l时，易得切点为(l,ln2),

f'(x)=a+2x-l,，f'⑴=|,

.••切线方程为y-ln2=|(x-l),gp3x-2y+2ln2-3=0.

(2)由题意知函数f(x)的定义域为(-L+8),

f'(x)=W+a(2xT)=吟产，

令g(x)=2ax2+ax-a+l,xe(-1,4-0°),

(i)当a=0时,f'(x)>0,函数f(x)在(-1,+8)上单调递增，无极值点.

(ii)当a>0时，令g(x)=0,△=a(9a-8),

①当0<a弓时,△W0,g(x)20,f'(x)20,

f(x)在(-1,+8)上单调递增，无极值点.

②当a>《时,△>(),

X2

设方程2ax2+ax-a+l=0两根为X1,X2,XI=^4^-=冬运，此时XKX2,

4a4a

VX1+X2=­Z4,xl<—4px2>—

又g(-l)=l>0,；.-l<Xi<T.

.♦.