湖北省襄阳市普通高中2021-2022学年高一下学期数学期末考试试卷

湖北省襄阳市普通高中2021-2022学年高一下学期数学期末考试试卷

阅卷人

——、单选题（共8题；共16分）

得分

1.（2分）复数法-[=（）

A.l-2iB.l+2iC.1D.-1

【答案】C

【解析】【解答】^i-i=（i+i）j20-i=1+t-t=I.

故答案为：C.

【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数的概念即可得出答案。

2.（2分）某区域有大型城市24个，中型城市18个，小型城市12个，为了解该区域城市空气质量

情况，现采用分层抽样的方法抽取9个城市进行调查，则应抽取的大型城市个数为（）

A.IB.2C.3D.4

【答案】D

【解析】【解答】•••五工先75是，

1十JLU十JLNO

二应抽取的大型城市个数为24X1=4个.

6

故答案为：D.

【分析】先算抽样比，然后由大型城市数乘以抽样比可得.

3.（2分）已知五，加是平面内两个不共线向量，AB=ma+26，丽=3益一石，A,B,C三点共线,

则01=（）

A.B.|C.-6D.6

【答案】C

【解析】【解答】因为A,B,C三点共线，

所以而，灰共线，又己方是平面内两个不共线向量，

所以可设南=2灰，因为屈五+2石，前=3五一石,

所以7+2石=t(3d—B)，

所以?n=33t=-2,

所以m=-6,

故答案为：C.

【分析】根据共线向量和平面向量基本定理即可求出m的值.

4.(2分)已知a为锐角，sin(J-a)=-|.则sina=()

A^2D2>/2C3y2D7^/2

'TO.丁'~5~'JO-

【答案】D

【解析】【解答】；a为锐角，即ae(0,舒，吟一a6(一5/

•••cos6-a)=Jl-sin2(J-a)=

.?r,n、i.7r,n、n.,n、&4&/3、772

sina=sin1r4-Q-a)]=sm.cosQ—a)-cos4sinQ-a)=^X^~~2X(-5)=

故答案为：D.

【分析】首先由角w的取值范围即可得出与-a的取值范围，由同角三角函数的基本关系式以及两角

和的正弦公式，代入数值计算出结果即可。

5.（2分）某校为了了解高一年级200名女学生的体能情况，随机抽查了其中的30名女生，测试了1

分钟仰卧起坐的次数，并绘制成如图所示的频数分布直方图，请根据图示估计，该校高一年级女生

C.[25,30]D.[30,35]

【答案】C

【解析】【解答】由题意知：区间［15,20］的人数有30-10-12-5=3人，又3+10<15,3+

10+12>16,故中位数位于［25,30］.

故答案为：C.

【分析】由已知条件结合频率分布直方图中的数据，由中位数公式计算出结果即可。

6.（2分）已知三个平面a,0,y,其中aD［3=a,pAy=b,yna=c,且aDb=P,则下列结论一定成立

的是（）

A.b,c是异面直线B.bClc=P

C.b〃cD.a与c没有公共点

【答案】B

【解析】【解答】依题意作图，

对于A,bu0.cu0,错误;

对于B,-：anb=PP&a,a=an0,•••P&a,P生B,P£b,b=0fly,•1•Pe/?,Pe

y,又,.,0ny=c,P&c>即bnc=P,

正确；

对于C,：bnc=P,故错误；

对于D,pec,Pea,,P点就是a,c的公共点，错误;

故答案为：B.

【分析】根据题意由空间直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，由此对选项逐一判

断即可得出答案。

7.（2分）将函数/（%）=sin2（整一乃—siMQ+金）的图象向左平移3@>0）个单位长度后，得到

函数g(%)的图象，若g(%)满足9(1一%)=自/+久)，则R的最小值为(）

A-B-C—D.史

a.4D，2J~3~

【答案】A

【解析】【解答】/(%)=sin2(招—x)—siM(x+$)

=cos2(x+金)—sin2(x+$)=cos(2x+1)，

TT

则g(%)=/(%+0)=cos(2x+2@+石)，

因为g(%)满足9殴一%)=+X)，

所以函数g(x)的图象关于直线4=堂对称，

所以2X5+2<p+5=k?r,kEZ,所以0=竽一*,kEZ,

因为W>0,所以卬的最小值为压.故答案为：：A.

故答案为：A.

【分析】根据题意由二倍角公式以及两角和的正弦公式整理化简即可得出函数的解析式，再由正弦

函数的图象和性质结合题意，即可得出最小值。

8.(2分)△ABC中，AB=3,BC=4,AC=5,PQ为△ABC内切圆的一条直径，M为△ABC边上

的动点，则祈户•丽的取值范围为()

A.[0,4]B.[1,4]C.[0,9]D.[1,9]

【答案】C

【解析】【解答】由题可知，AB2+BC2=AC2,所以△ABC是直角三角形，=90。,

设内切圆半径为r,!UIJSA/1BC=1X3X4=1X(3+4+5)r«解得r=l,

设内切圆圆心为0,因为PQ是△ABC内切圆的一条直径，

所以|诃|=1，OQ=-OP，

则而=雨+亦丽=丽+丽=而一而，

所以而•MQ=（MO+OP）（Md-OP）=MO2-而2=丽?

因为M为a/BC边上的动点，所以|而|=r=l；当M与C重合时，|丽|="U,

1'Illcizk

所以丽•丽的取值范围是[0,9],

故答案为：C

【分析】首先由勾股定理计算出线线垂直从而得出三角形的形状，再由向量的加减运算性质结合数

量积的运算性质，利用圆上点的性质即可得出数量积的最值从而其取值范围。

阅卷人

二、多选题(共4题；共8分)

得分

9.(2分)已知复数z=3-4i(其中i是虚数单位)，则下列命题中正确的为()

A.|z|=5B.z的虚部是4

C.z-3是纯虚数D.z在复平面上对应点在第四象限

【答案】A,C,D

【解析】【解答】z=3-4i

则|z|=j32+(—4)2=5,A符合题意；z的虚部是-4,B不符合题意；z—3=-4i是纯虚数，C符

合题意；z对应点的坐标是(3,-4)，在第四象限，D符合题意.

故答案为：ACD.

【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数的概念、复数模的定义以及复数代数形

式的几何意义，由此即可得出答案。

10.(2分)一组样本数据打，％2，…，&的平均数为乳元。0)，标准差为s.另一组样本数据Xn+l，

xn+2,....X2n,的平均数为3后标准差为S.两组数据合成一组新数据打，％2，…，xn,xn+1,••

•,x2„，新数据的平均数为％标准差为s',则()

A.y>2xB.y=2xC.s'>sD.s'=s

【答案】B,C

【解析】【解答】由题意歹=空铲=2元，

2222

ns=(%1-%)+(x2-x)+-+(xn-x)=2：=1城_九方2,同理=2：3+1城一八

(3x)2=k2n+ixk-9n元2两式相加得2ns2=2M城—10nx2.

2ns'2=2j：］短-2n•(2元尸=2j：］短一8位2,所以Zns">Zns?,s'>s.

故答案为：BC.

【分析】由已知条件结合标准差公式以及平均数公式，整理化简由此比较出大小，从而得出答案。

11.（2分）如图，在正方体ZBCD-4避16。1，中，E是棱的中点，P是线段&C（不含端点）

上的一个动点，那么在点P的运动过程中，下列说法中正确的有（）

A.存在某一位置，使得直线PE和直线相交

B.存在某一位置，使得BC〃平面AEP

C•点为与点名到平面PBE的距离总相等

D.三棱锥Ci-PBE的体积不变

【答案】B,C,D

【解析】【解答】对于A,假设存在，则8,Bi，E,P四点共面，而点P不在平面BBiE内，A不符合

题意.

对于B,因为BC〃AD,所以BC〃平面4ED,所以当P是直线&C与平面4ED的交点时就满足要求，B

符合题意.

对于C,因为的中点E在平面PBE内，所以点①与点当到平面PBE的距离总相等，C符合题意.

对于D,连接BiC,交BCi于0,则0为4C中点，

所以E0〃&C,又EOu平面BCR,&CC平面BQE,

所以4C〃平面BCR,所以点P到平面BCiE的距离为定值，

从而三棱锥P-BCiE的体积为定值，即三棱锥的-PBE的体积为定值，D符合题意.

故答案为：BCD

【分析】根据题意由正方体的几何性质由线面平行的性质即可得出线线平行，再由空间直线与直线

的位置关系，即可判断出选项A错误；由已知条件由线面平行的判定定理即可得出结果由此判断出

选项B正确；由线面垂直与距离的定义，结合线面平行的性质即可得出选项C正确；由三棱锥的体

积公式，由等体积法代入数值计算出结果由此判断选项D正确，由此得出答案。

12.（2分）定义：已知两个非零向量方与石的夹角为0.我们把数量恒||山.sin。叫做向量方与石的叉乘

NxE的模，记作|dx3|,即「x瓦=|切•|山•sin。.则下列命题中正确的有（）

A.若平行四边形ABCD的面积为4,则|说x而|=4

B.在正△ABC中，若而=|荏x前|（荏+前），则喘i=3

C.^\axb\=V3.a-b=1＞则恒+2瓦的最小值为2b

D.若Mx瓦=1，|Kxc|=2.且方为单位向量，则|Gx4的值可能为2+2百

【答案】A,C,D

【解析】【解答】解：对于A,因为平行四边形ABCD的面积为4,所以|而||而|sinNBAD=4，所

以|荏X而|=4，A符合题意；

对于B,设正△4BC的边BC边上的中点为E,则荏+前=2荏，

因为而=\ABxAC\（AB+AC），所以而=2|荏|■|前|sin60。荏=百|阮『荏，

所以段=同园2福=膂=更爨粤=所以B不符合题意；

\BC\瓦|出。\BC\，

对于C因为x瓦=V5,a.-b=l）所以同•向sin（五，b）-V3,|a|­|b|cos（a,b）=1»

所以tan（五，b）=V3，因为（五，b）e（0,n）＞所以（五，b）=所以@.|山=2，

所以|五+2瓦?=同2+4日.石+4区j＞2/4•同2.区,+4=12，当且仅当⑷=2\b\=2时等号成

立，所以■+2亩的最小值为2g，所以C符合题意；

对于D,若|五xB|=l，\bxc\-2＞且方为单位向量，则当同=也@b）=^,|c|=4,（b,

。=飘，可以等于体。建+今=修，

此时口x司=\a\*|c|sin（d,c）=4V2x'1]'16=2+2百，所以D符合题意.

q

故答案为：ACD.

【分析】由已知条件结合数量积的运算公式，整理化简由向量模的公式以及向量夹角公式，代入数

值计算出结果，由此对选项逐一判断即可得出答案。

阅卷人

—三、填空题(共4题；共4分)

得分

13.(1分)向量苍=(1,2)在向量5=(3,4)方向上的投影向量的模为

【答案】。

【解析】【解答】解：因为五=(1,2),；=(3,4),

则万,6=1x3+2x4=11，|山=V32+42=5，

则向量N=(l,2)在向量G=(3,4)方向上的投影向量的模为需=?.

故答案为：4.

【分析】由数量积的坐标公式以及向量模的公式，代入数值计算出结果，结合向量投影的公式代入

数值计算出结果即可。

14.(1分)若虚数单位i是关于x的方程/+a%+b=0(a,beR)的一个根，则|a-

bi\=•

【答案】1

【解析】【解答】解：由题可知，关于X的方程%2+a%+b=0(a,b6R)的两个虚根分别为i,-i,

由韦达定理可得［笈d、涓故似普

所以|a—bi\=|—i|-1.

故答案为：1.

【分析】由方程根的求法，结合韦达定理计算出a与b的取值，结合复数模公式，代入数值计算出

结果即可。

15.(1分)已知三棱台ABC—AiBiG的上下底面均为正三角形，AB=1,&Bi=2,侧棱长/4=

BB、=CCi，若4411BBi，则此棱台的高为.

【答案】宜

【解析】【解答】解：由已知可得该三棱台为正三棱台,

p

还原成棱锥如图所示，由于下底边是上底边的两倍，

大棱锥的高为棱台的高的两倍，

取BC的中点D,BC的中点Di,

连接PDDi,AD,AD,O,3是上下底面的中心，连接POOL

由正棱台性质可得BC_LDDi,BC±PO,：.BC_L平面PD1A1,.\BC±PAi,

1BBr,AAi_L平面PBC,AAiPlPDi.

AB=1,A\B\—2,

122

PO2=AOxDO=-^ADx^AD=-^AD2,

AD=^AB=吟,

PO-=第=。。1，

故答案为：坐.

【分析】根据题意由中点的性质结合已知条件即可得出线线垂直，然后由线面垂直的额判定定理即

可得出平面的距离，再由三角形中的几何计算关系计算出边的大小，由此得出答案。

16.(1分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=2近，且3bcosA+

2acosB=asinF,则^ABC的面积的最大值为.

【答案】V2+1

【解析】【解答】解：由正弦定理得3sin峰cosA+2sin4cosB=sirMsinF,所以sinBcosA+2sin(A+

F)=sinAsinB,

因为4+B+C=yr,所以sinBcos/+2sinC=sinAsinB,

所以2sinC=sin以(sin4-cosA),又正弦定理得2c=b(sinA-cosA)=2/(sin4-cos4)，

所以c=a(sinA—cos/l)>0,则4>?

△ABC的面积S=-^bcsinA='x2A/2X企(sinA-cosA)xsinA=2sin2i4—2sinAcos4

=1-cos2A—sin2A=1—V2sin(271+5),

因为awG，兀)，所以2A+*(苧，竽)，

当4=半时，A4BC的面积S取得最大值五+1.

故答案为：V2+1.

【分析】首先由正弦定理以及两角和的正弦公式，整理化简即可得出c=a（sin4-cos4）＞0,再

由正弦函数的单调性以及三角形的面积公式整理化简即可得出面积的最大值。

阅卷人

四'解答题（共6题；共56分）

得分

17.(10分)已知sin(x+今=/%€（。，分

（1）（5分）求tan2x的值；

(2)(5分)求2cos2(%+兀)+cos(2%-分的值.

【答案】(1)解：sin(%+])=cosx=/，xE(0,今,

272-4Qp74c2tanx472

--sinxr—，••tanx=2V2，tan2x=--------厂=—『

3l-tanzx7

(2)解：2cos2(%+TT)+cos(2x-2)=2cos2%+sin2x

2cos2%+2sin%cos久_2+2tan%_2+4应

2cos2%+2sinxcosx=

sin2x+cos2xl+tan2x9

【解析】【分析】（1）利用已知条件结合诱导公式和同角三角函数基本关系式，从而求出角X的正切

值，再利用二倍角的正切公式，进而求出角2x的正切值。

（2）利用诱导公式结合二倍角的正弦公式，再结合同角三角函数基本关系式，从而求出

2cos2(>+7T)+cos(2x-刍的值。

18.（10分）已知五=（1,2）,K=（1,-1）.

（1）（5分）若2益+片与kd—B垂直，求k的值；

（2）（5分）若。为2日+3与方一石的夹角，求。的值.

【答案】(1)解:因为五=(1,2),b=(1,一1),则2d+B=(3,3),ka-b=(k-l,2k+

1)，

依题意，(2d+b)•(ka-h)=3(k-1)4-3(2fc+1)=9k=0，解得k=0,

所以k=0.

(2)解：由(1)知，22+B=(3,3),a-b=(0,3).则|2d+山=V32+32=3A/2.\a-b\=

3,

rp,IKa_3x04-3x3_9_&方ALrc,

因此cos。=--=&向。W[0,n]f

|2a+o||a—D|3v2x3乙

所以e=*

【解析】【分析】(i)首先由向量的坐标公式整理化简，由此计算出k的取值。

(2)由(1)的结论集合向量模的公式，代入数值整理化简计算出夹角的取值，结合夹角的取值范围从而

得出角的大小。

cos

19.(10分)设复数Zi=l—i,z2=^+isinO,其中。E[0,TT].

(1)(5分)若复数z=五・Z2为实数，求6的值；

(2)(5分)求Z+Z2I的取值范围.

【答案】(1)解：由题意，z=石•Z2=(1+i)•(cos。+isinO)=(cos。-sin。)+(cos。+sin0)i

若复数z=互•z2为实数，则cos。+sin。=0

故tan。=-1,06[0,n]

解得：。=竿

(2)解：由题意,z1=1—i,z2=cosO+isinO

%+z2\=1(1—i)+cos。+tsin0|=|(1+cos。)+(—1+sin。)”

=J(1+cos8)2+(—1+sin"=V34-2cos0—2sin0

l71

=34-2v2cos(6+4)

由于oe[o,TC],故e+苧]

故一1<cos(6+亨)W?

故我-1=V3-2V2<\zr+z2\<V5

故Z+Z2I的取值范围是[迎-1,V5]

【解析】【分析】(1)首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数代数形式的几何意义，由同角

三角函数的基本关系式，即可得出tan。的取值，从而得出。的取值，从而得出答案。

(2)根据题意由向量模的运算公式，结合同角三角函数的基本关系式以及两角和的正弦公式，整理化

简由余弦函数的单调性即可得出向量模的最值，从而得出答案。

20.(10分)《中国制造2025》是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领，制造业是国民经济

的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基.发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为

建设制造强国的生命线.某电子产品制造企业为了提升生产效率，对现有的一条电子产品生产线进

行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的电子产品中随机抽

取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表：

质量指标值[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)[75,85)[85,95)

产品(单位：

6010016030020010080

件)

(1)(5分)估计产品的某项质量指标值的70百分位数;

(2)(5分)估计这组样本的质量指标值的平均数元和方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点

值作代表).

【答案】(1)解：设产品的某项质量指标值的70百分位数为％,

mil60100160300/(匚、200八n布汉汨“_么6。9

“1055+1000+1000+1000+(X-65〉1000xl0=0-7，解得*=,

所以估计产品的某项质量指标值的70百分位数为69；

(2)解：由题，可知元=30x0.06+40x0.1+50x0.16+60x0.3+70x0.2+80x0.1+90x

0.08=61,

s2=(30-61)2x0.06+(40-61)2x0.1+(50-61)2x0.16+(60-61)2x0.3+(70-61)2x

0.2+(80-61)2X0.1+(90-61)2X0.08=241.

故平均数了=61,方差S2=241.

【解析】【分析】(1)由已知条件结合频率分布直方图中的数据，由百位数公式代入数值计算出结果即

可。

(2)由平均数以及方差公式，代入数值计算出结果即可。

21.(6分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且2bcosC=2a+c.

(1)(5分)求角B的大小；

(2)(1分)若b=2次，D为AC边上的一点，BD=1,且_____________，求△ABC的面

积.

请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题.

①BD是NABC的平分线；②D为线段AC的中点.

(注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分.)

【答案】(1)解:由正弦定理知,2sinBcosC=2sinA4-sinC,

VsinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

代入上式得2cosBs沅C+sinC=0,

VCG（0,TT）,

..1

••siziC>0,cosB——

■:Be（0,兀），:.B=竽

（2）解：若选①：

由80平分得，S&ABC=^LABD+S&BCD，

y.7T.1.71

xlxcsm+②x1xasin-^f

即QC=Q+C.

在^ABC中，由余弦定理得=a2+c2—2accos等,

又b=2V**•a2+c2+ac=12,

联立｛。2^ac-12得（如）2一％—12=0,

解得ac=4,ac=-3（舍去），

:-SBABC=；acsin竽=*x4x字=遮・

若选②：

r因-r-t为-----»=1-----►+-----►-B---D->2=51（-B---4->+-B---C-»）'n=51（-B--A--»2+2B---A--»-B---C--»+-B---C-»2

1=^（c2+2accos冬+a2）,得次+c2-ac=4,

在AABC中,由余弦定理得*=a2+c2—2accos停，

即次+c2+ac=12,

睬a24-c2—ac=4

'la2++QC=12可得ac=4,

品csi吟斗

S/UBCX4XT——V3-

【解析】【分析】（1）首先由正弦定理以及两角和的正弦公式整理化简，计算出cosB的取值，从而得

出角B的大小。

（2）若选①：由已知条件结合三角形面积公式整理化简计算出a与c的关系，并代入到余弦定理由

此计算出ac的取值，结合三角形面积公式计算出结果即可•若选②：首先由向量加减运算性质整

理化简即可得出a与c的关系，并代入到余弦定理由此计算出ac的取值，结合三角形面积公式代入

数值计算出结果即可。

22.（10分）如图，在四棱锥E-ABCD中，AD1CD,DA=DC=DE=2,EA=EC=2yj2,M是

EA的中点.

（1）（5分）证明：AE，平面MCD；

（2）（5分）若平面EABC平面EC。=/,且l〃AB,三棱锥M-BCE的体积为《，求AB的长.

【答案】（1）证明：1CD,DA^DC=2,：.AC=2y/2,

又力=EC=2«，•,"力EC为等边三角形，

又•.♦/M=£>E=2,M是E4的中点，

：.AE1DM,AE1MC,DM=近,

又=DM,"。<=平面”。6?,

：.AEJ_平面MCD；

（2）解：因为平面E4Bn平面EC。=1,所以平面ECD,

又〃"B,ABC平面ECD

所以AB〃平面EC。，又4Bu平面ABC。，平面力BCDC平面EC。=CD,

所以AB〃CD

'：AE：.AE1CD,

又,.•AOJ.C。，ADOAE=A,AD,AEu平面ADE,

."£）_L平面4CE,又•。用u平面ADE,

：.CD1DM,,:CD"AB,：.AB1DM,

又・・NE1DM,AB(\AE=A,AB,AEu平面/BE,

：.DM_L平面4BE,

•:CD"AB,

・"点到平面力BE的距离等于。点到平面的距离，

^M-BCE=^C-BME=D-BME^

111i-ii1

又♦VD-BME=gxS^BMExDM=gx]xSXDM=gx3x]x2V2xABxV2=可，

解得=1.

【解析】【分析】(1)由已知条件作出辅助线由中点的性质即可得出边的大小，由三角形的几何性质结

合中点的性质即可得出线线垂直，然后由线面垂直的额判定定理即可得证出结论。

(2)根据题意由面面平行的性质定理即可得出线面平行，再由平行的几何性质即可得出线线垂直，然

后由线面垂直的判定定理即可得出平面的距离，结合等体积公式代入数值计算出结果即可。

试题分析部分

1、试卷总体分布分析

总分：84分

客观题（占比）25.0(29.8%)

分值分布

主观题（占比）59.0(70.2%)

客观题（占比）13(59.1%)

题量分布

主观题（占比）9(40.9%)

2、试卷题量分布分析

大题题型题目量（占比）分值（占比）

填空题4(18.2%)4.0(4.8%)

解答题6(27.3%)56.0(66.7%)

多选题4(18.2%)8.0(9.5%)

单选题8(36.4%)16.0(19.0%)

3、试卷难度结构分析

序号难易度占比

1普通(50.0%)

2容易(36.4%)

3困难(13.6%)

4、试卷知识点分析

序号知识点（认知水平）分值（占比）对应题号

1空间中直线与平面之间的位置关系2.0(2.4%)6

2直线与平面垂直的性质10.0(11.9%)22

3频率分布直方图12.0(14.3%)5,20

4函数与方程的综合运用1.0(1.2%)14

5复数代数形式的混合运算4.0(4.8%)1.9

6直线与圆的位置关系2.0(2.4%)8

7两角和与差的正弦公式8.0(9.5%)4,21

8数量积的坐标表达式11.0(13.1%)13,18

9同角三角函数间的基本关系12.0(14.3%)4,19

10复数的基本概念2.0(2.4%)1

11正弦定理7.0(8.3%)16,21

12点、线、面间的距离计算2.0(2.4%)11

13向量的模13.0(15.5%)12,14,18

14向量的投影1.0(1.2%)13