2023年中考数学一轮复习第10讲：反比例函数

2023年中考数学一轮复习第10讲：反比例函数

1.函数的图象

函数的图象定义

对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平

面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象.

注意：①函数图形上的任意点（x,y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对

x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点尸（X,y）是否在函数图象上的方法

是：将点P（x,y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在

函数的图象上：如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上..

2.一次函数的图象

（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0,b）、（-—,0）或（1,k+b）作直线y=fcv+b.

k-

注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，

所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确.②一次函数的图象是与坐标轴不

平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象.如x=“,

y=6分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象.

（2）一次函数图象之间的位置关系：直线可以看做由直线、=质平移地个单位而

得到.

当b>0时，向上平移；b<0时，向下平移.

注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；

②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减：

③两条直线相交，其交点都适合这两条直线.

3.一次函数的性质

一次函数的性质：

k>0,y随x的增大而增大，函数从左到右上升；4<0,y随x的增大而减小，函数从左到

右下降.

由于与y轴交于（0,b）,当6>0时，（0,b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交

于正半轴；当b<0时，（0,b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴.

4.一次函数图象与几何变换

直线夕=日+6,�,且左，6为常数）

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①关于x轴对称，就是x不变，y变成-y：-y=kx+b,即了=-履-6；

（关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）

②关于y轴对称，就是y不变，x变成-x：y—k（-x）+b,BPy--kx+b；

（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）

③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：-y=k（-x）+b,即

（关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）

5.待定系数法求一次函数解析式

待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：

（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设、=麻+6；

（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的

方程或方程组；

（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式.

注意：求正比例函数，只要一对x,y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函

数夕=履+6,则需要两组x,y的值.

6.反比例函数的定义

（1）反比例函数的概念

形如y=K（A为常数，%六0）的函数称为反比例函数.其中X是自变量，y是函数，自变量

x

X的取值范围是不等于0的一切实数.

（2）反比例函数的判断

判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例

函数的意义去判断，其形式为y=Ka为常数，4/0）或＞=自一|a为常数，左中0）.

x

7.反比例函数的图象

用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表——描点——连线.

（1）列表取值时，xWO,因为x=0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”

为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值.

（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连

线，使画出的图象更精确.

（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.

（4）由于xWO,kWO,所以yWO,函数图象永远不会与x轴、夕轴相交，只是无限靠近两

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坐标轴.

8.反比例函数图象的对称性

反比例函数图象的对称性：

反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平

分线y=-x；②一、三象限的角平分线y=x；对称中心是：坐标原点.

9.反比例函数的性质

反比例函数的性质

（1）反比例函数、=区（吐0）的图象是双曲线；

x

（2）当左＞0,双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内夕随x的增大而减小；

（3）当左＜0,双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内夕随x的增大而增大.

注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点.

10.反比例函数系数k的几何意义

比例系数k的几何意义

在反比例函数y=区图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成

x

的矩形的面积是定值国.

在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角

形的面积是白耳，且保持不变.

2

11.反比例函数图象上点的坐标特征

反比例函数*为常数，左#0）的图象是双曲线，

①图象上的点（x,y）的横纵坐标的积是定值即v=%；

②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称：

③在y=Ex图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形

的面积是定值岗.

12.待定系数法求反比例函数解析式

用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：

（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y=K（左为常数，左#0）；

x

（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；

（3）解方程，求出待定系数；

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(4)写出解析式.

13.反比例函数与一次函数的交点问题

反比例函数与一次函数的交点问题

(1)求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程

组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点.

k

(2)判断正比例函数y=%x和反比例函数■在同一直角坐标系中的交点个数可总结

X

为：

①当k\与42同号时，正比例函数和反比例函数在同一直角坐标系中有2个

交点；

②当心与依异号时，正比例函数y=^ix和反比例函数y="在同一直角坐标系中有。个

x

交点.

14.根据实际问题列反比例函数关系式

根据实际问题列反比例函数关系式，注意分析问题中变量之间的联系，建立反比例函数的数

学模型，在实际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析.首先弄清题意，找出等量关系，

再进行等式变形即可得到反比例函数关系式.

根据图象去求反比例函数的解析式或是知道一组自变量与函数值去求解析式，都是利用待定

系数法去完成的.

注意：要根据实际意义确定自变量的取值范围.

15.反比例函数的应用

(1)利用反比例函数解决实际问题

①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型.②注意在自变量和函数

值的取值上的实际意义.③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中

说明.

(2)跨学科的反比例函数应用题

要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式.同时体会数学中的转化思

想.

(3)反比例函数中的图表信息题

正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想.

16.二次函数的图象

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(1)二次函数、=以2(aWO)的图象的画法：

①列表：先取原点(0,0),然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表.

②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点.

③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点.

④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在

顶点的两侧各取三四个点即可.连线成图象时，要按自变量从小到大(或从大到小)的顺序

用平滑的曲线连接起来.画抛物线(a/0)的图象时，还可以根据它的对称性，先用

描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧.

(2)二次函数y=ax2+bx+c(aWO)的图象

二次函数y=af+6x+c(aWO)的图象看作由二次函数^="2的图象向右或向左平移个

2a

单位，再向上或向下平移性号上二个单位得到的.

17.二次函数的性质

2

二次函数y=ox2+bx+c(〃W0)的顶点坐标是(-上1,4ac-b),对称轴直线工=-3一

2a4a2a

二次函数ynaf+bx+c(〃70)的图象具有如下性质：

①当〃>0时，抛物线y=o?+公+c(〃W0)的开口向上，x<-M时，>随工的增大而减小;

2a

2

X>-_L时，y随X的增大而增大；X=--L时，y取得最小值%2心_,即顶点是抛物线

2a2a4a

的最低点.

②当“VO时，抛物线y=ax2+bx+c(aW0)的开口向下，x<一旦时，y随x的增大而增大;

2a

2

x>-_L时，y随X的增大而减小；X=--L时，y取得最大值坐二L_,即顶点是抛物线

2a2a4a

的最高点.

③抛物线夕="2+以+°(0工0)的图象可由抛物线的图象向右或向左平移I-以个单

2a

位，再向上或向下平移个单位得到的.

18.平行四边形的性质

(1)平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.

(2)平行四边形的性质：

①边：平行四边形的对边相等.

②角：平行四边形的对角相等.

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③对角线：平行四边形的对角线互相平分.

（3）平行线间的距离处处相等.

（4）平行四边形的面积：

①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积.

②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等.

19.矩形的性质

（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.

（2）矩形的性质

①平行四边形的性质矩形都具有；

②角：矩形的四个角都是直角；

③边：邻边垂直；

④对角线：矩形的对角线相等；

⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形.它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所

在的直线：对称中心是两条对角线的交点.

（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于

斜边的一半.

20.坐标与图形变化-旋转

（1）关于原点对称的点的坐标

P（x,nP（-x,-j）

（2）旋转图形的坐标

图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标.常

见的是旋转特殊角度如：30°,45°,60°,90°,180°.

一、选择题（共10小题）

k

1.（2022•景德镇模拟）在同一坐标系中（水平方向是x轴），函数y='和y=H+3的图象

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c.D.

2.（2022•二道区模拟）如图，在平面直角坐标系中，点Z在第一象限，48轴于点8,

函数夕=4（%>0,x>0）的图象与线段4?交于点C,且/8=38C.若&4。8的面积为12,

X

则％的值为（）

A.4B.6C.8D.12

3.（2022•东西湖区模拟）为预防新冠病毒，某学校每周末用药熏消毒法对教室进行消毒，

已知药物释放过程中，教室内每立方米空气中含药量y（mg）与时间/（〃）成正比例；药物释放

完毕后，y与f成反比例，如图所示.根据图象信息，下列选项错误的是（）

A.药物释放过程需要』小时

2

B.药物释放过程中，y与f的函数表达式是y=|f

C.空气中含药量大于等于0.5zng/加的时间为（人

D.若当空气中含药量降低到0.25〃zg/疝以下时对身体无害，那么从消毒开始，至少需

要经过4.5小时学生才能进入教室

4.（2021•商河县校级模拟）直线必=%/与双曲线％=殳分别交于第一，三象限力、8两

X

点，其中点力的横坐标为1,当必<为时，X的取值范围是（）

A.%<-1或%>1B.-l<xvl且xwOC.x<—1或0cx<1D.一l<x<0或x>l

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5.（2021•饶平县校级模拟）如果等腰三角形的面积为10,底边长为X,底边上

的高为y,则y与x的函数关系式为（）

“105-20x

A.y——B.y——C.y=—D.y=—

xxx20

6.（2020•柘城县模拟）下列函数中，y是工的反比例函数的是（）

Y31

A.y=-B.y=—C.y=3xD.y=x2

3x

7.（2020•平阳县一模）已知反比例函数y=幺（〃wO）,当-2,x,T时，y的最大值是3,

x

则当工…6时，丁有（）

A.最大值B.最大值-1C.最小值-1D.最小值-1

22

8.（2020•哈尔滨模拟）在每一象限内的双曲线了=上工上，y都随x的增大而增大，则加

X

的取值范围是（）

A.m>-2B.m<—2C.tn...-2D.AH,—2

9.（2012•恩施州）已知直线y=Ax（左>0）与双曲线y=—交于点,必），B（x>力）两

x2

点，则xxy2+x2y1的值为（）

A.-6B.-9C.0D.9

10.（2006•温州）反比例函数y=K的图象经过点（-1,2）,A的值是（）

X

A.--B.-C.-2D.2

22

二、填空题（共5小题）

11.（2022•秦淮区二模）将函数夕=»的图象先向左平移1个单位长度，再沿y轴翻折，所

X

得到的图象对应的函数表达式是—.

12.（2021•柳南区校级模拟）若反比例函数了=（加-1）一训的图象经过第二、四象限，则

m=・

13.（2021•河南模拟）若一次函数y=6+b的图象经过第一，二，四象限，则反比例函数

y=”的图象在第一象限内.

X

14.（2020•云南模拟）如图，P是反比例函数y=&的图象第二象限上的一点，且矩形PEOF

X

的面积为8,则衣=.

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15.(2020•吁胎县校级模拟)如图，0。的半径为3,双曲线的关系式分别为y=L和丁=-4，

XX

则阴影部分的面积为一.

三、解答题(共7小题)

16.(2022•原州区模拟)如图，在平面直角坐标系中，点/(1,6)在反比例函数y=^(x>0)

X

的图象上，点/绕点。顺时针旋转30。，恰好交反比例函数y=±(x>0)的图象于8点.

X

(1)求人值；

(2)求B点坐标；

17.(2021•饶平县校级模拟)已知反比例函数y=(3加的图象在第二、四象限，求掰

的值.

18.(2021•九龙坡区校级模拟)在函数的学习中，我们经历“确定函数表达式——画函数图

象——利用函数图象研究函数性质——利用图象解决问题”的学习过程，画函数图象时，我

们常通过描点或平移或翻折的方法画函数图象，请根据你学到的函数知识探究函数

V=1—|-8(“>0)的图象与性质并利用图象解决如下问题：

X+1

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列出V与X的几组对应的值如下表:

X-5-4-3-201234

y3523-10]_3

23325

(1)根据表格中x、y对应关系求出该函数的解析式;

(2)用你喜欢的方式画出该函数图象，根据函数图象，写出该函数的一条性质:

（精确到0」，误差不超过0.2）

19.（2021•花都区二模）如图，平行四边形。/8C的顶点/在x轴的正半轴上，点。（3,2）在

对角线08上，反比例函数y=±（x>0,k>0）的图象经过C、力两点，已知平行四边形O/8C

X

的面积为空.

2

（1）求直线08的解析式；

（2）求点B的坐标.

20.（2021•巩义市二模）我们知道，一次函数和二次函数图象都遵循“左加右减”的平移规

律.类似地，反比例函数图象的平移规律是不是也是“左加右减”呢？答案是肯定的.下面,

第10页共12页

数学兴趣小组对反比例函数图象的平移规律进行了验证:

步骤①：如图所示，在平面直角坐标系中，已知反比例函数＞=’的图象；

X

步骤②：在此平面直角坐标系中，画出函数了=」一的图象；

x—2

步骤③：比较反比例函数＞=，与函数y一的图象，初步得出结论：反比例函数图象遵

xx—2

循“左加右减”的平移规律.

备用图

(1)完成步骤②(要求：画函数图象时，应列表、描点、连线).

(2)根据图象，回答下列问题：

①函数夕=_1_的图象是由反比例函数y=_L的图象向_平移_个单位长度后得到的.

x-2x

②函数夕=—!—的图象的对称中心是____(填点的坐标).

x—2

(3)类比延伸：利用题中的平面直角坐标系，在不解方程的情况下，判断方程3=1的

XX

根的个数.

21.(2021•保康县模拟)下面是九年级某数学兴趣小组在学习反比例函数的图象与性质时的

一个活动片段.大家知道，对于三个反比例函数y=,、y=~.y=~,只研究第一象限的

XXX

情形，根据对称性，便可知道对应另一象限的情况.

(1)绘制函数图象:

X£123

2

1