初中七年级数学竞赛培优讲义专题23与角相关的问题

专题23与角有关的问题阅读与思虑角也是一种基本的几何图形，凡是由直线构成的图形都出现角.角既能够当作有公共端点的两条射线构成的图形，也能够当作是一条射线绕着端点从一个地点旋转到另一个地点所成的图形.按角的大小能够分红锐角、直角和钝角.因为直角和平角在角中显得特别重要，因此处于不一样地点，但两角的和是一个直角或是一个平角的角仍旧获得我们的特别关注.两角之和为直角的，这两个角叫做互为余角；而两角之和为平角的，这两个角叫做互为补角，余角和补角的看法及其应用在几何计算和证明中都有十分重要的地位.解与角有关的问题常用到以下知识与方法：角的分类；角均分线的看法；互余、互补等数目关系角；用方程的看法来进行角的计算.例题与求解【例1】如图，在3×3的网格上标出了∠1和∠2，则12.12（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：对图形进行适合的办理，经过拼补求出12的值.【例2】假如与互补，且，则以下表示的余角的式子中：①90；②90；③1()；④1().此中正确的有（）22A.4个B.3个C.2个D.1个（2013年浙江省衢江市数学比赛试题）解题思路：相互互余的角只需知足必定的数目关系即可，而与地点没关.【例3】已知AOB80，OC是不在直线OA，OB上的任一条射线.OM，ON分别均分∠AOC，∠BOC.求∠MON的大小.（题目中考虑的角都小于平角）1AB'BOA'（湖北省武汉市武昌区调考试题）解题思路：因OC地点不确立，故分类议论是解本例的重点.【例4】钟表在12点钟时三针重合，经过x分钟秒针第一次将分钟和时针所夹的锐角均分，求x的值.（湖北省黄冈市比赛试题）解题思路：把秒针第一次将分钟和时针所夹的锐角均分所得的两个角用x的代数式表示，经过解方程求出x的值.【例5】（1）现有一个19°的“模板”（如图），请你设计一种方法，只用这个“模板”和铅笔在纸上画出1°的角来.19°（2）现有一个17°的“模板”与铅笔，你可否在纸上画出一个1°的角来？（3）用一个21°的“模板”与铅笔，你可否在纸上画出一个1°的角来？对（2）（3）两问，假如能，请你简述画法步骤；假如不可以，请你说明原因.（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：若只连续使用模板，则获得的是一个19°（或17°或21°）的整数倍的角，其实，解题的重点是在于可否找到19°（或17°或21°）的一个倍数与某个特别角的某个倍数相差1°.【例6】如下图，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE均分∠BOC.（1）如图①，若AOC30，求∠DOE的度数；（2）在图①中，若AOC，直接写出∠DOE的度数（用含α的代数式表示）；3）将图①中的∠DOC绕极点O顺时针旋转至图②的地点.①研究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明原因；②在∠AOC的内部有一条射线OF，知足AOC4AOF2BOEAOF，试确立∠AOF与∠DOE的度数之间的关系，说明原因2CEDC

EAOBAOBD图①图②（湖北省武汉市模拟试题）解题思路：（1）利用互余、互补关系易求出∠DOE的度数；（2）先依据∠DOE与∠COE的互余关系列出相应的关系式，而后用∠BOC表示出∠COE，再依据互补角的关系用α表示出所求角的度数；3）①可设∠BOC为一个未知数，分别表示出∠AOC与∠DOE，可得相应关系；②联合①把所给等式整理为只含所求角的关系式即可.能力训练A级1.已知一个角的补角等于这个角余角的6倍，那么这个角等于.（“祖冲之杯”邀请赛试题）2.如图，BOD45，AOE90，那么不大于90°的角有个，它们的度数之和是.EDCBOA（“希望杯”邀请赛试题）3.如图，AOCBOD150，若AOD3BOC，则BOC等于.ABCOD34.如图，O是直线AB上一点，AOD120，AOC90，OE均分∠BOD，则图中相互互补的角有对.CDEAOB（北京市“迎春杯”比赛试题）5.一个角的补角的1是6°，则这个角是（）17A.68°B.78°C.88°D.98°（“希望杯”邀请赛试题）6.用一副三角板能够画出大于0°且小于176°的不一样角度有（）种A.9B.10C.11D.127.如图，若AOB180，∠1是锐角，则∠1的余角是（）2A1BOA.121B.1231C.1(21)D.1(21)22223（甘肃省兰州市比赛试题）8.如图，AOB180，OD是∠COB的均分线，OE是∠AOC的均分线，设BOD，则与α的余角相等的角是（）ECDAαBOA.∠CODB.∠COEC.∠DOAD.∠COA9.如图，已知COB2AOC，OD均分∠AOB，且COD19，求∠AOB的度数.BDCOA4（北京市“迎春杯”比赛试题）10.如图，已知∠AOB与∠BOC互为补角，OD是∠AOB的均分线，OE在∠BOC内，BOE1EOC，2DOE72.求∠EOC的度数.BEDAOC11.已知AOB80，OC均分∠AOB，COD60，OE均分∠COD.求∠AOE的大小.ACEBOD12.如图，已知OB，OC，OD为∠AOE内三条射线.（1）图中共有多少个角？（2）若OB，OC，OD为∠AOE四均分线，且图中全部锐角的和为400°，求∠AOE的度数.（3）若AOE89，BOD30，求图中全部锐角的和.ABCDEOB级1.已知一个角的补角比这个角余角的3倍大10°，则这个角的度数是.（浙江省杭州市比赛试题）2.α，β，γ中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算1()的值时，有三位同15学分别算出了23°，24°，25°这三个不一样的结果.此中只有一个是正确的答案，则.（江苏省比赛试题）如图，点O在直线AB上，OC，OD，OE，OF是位于AB同一侧的射线，那么在这个图形中，不大于平角的角共有个.5EDFCABO（五城市联赛试题）4.如图，射线OC，OD，OE，OF分别均分∠AOB，∠COB，∠AOC，∠EOC，若FOD24，则AOB.AEFCDOB（2013年“希望杯”数学邀请赛试题）5.4点钟后，从时针到分针第二次成90°角，共经过（）分钟（答案四舍五入到整数）A.60B.30（“五羊杯”比赛试题）6.如图是一个3×3的正方形，则图中1239的和等于（）9

63825741A.270°B.315°C.360°D.405°（广西省比赛试题）7.已知，OM，ON，OP分别是∠AOB，∠BOC，∠AOC的均分线，则以下各式中建立的是（）MPABNCOA.AOPMONB.AOPMONC.AOPMOND.以上状况都有可能8.如图，∠是直角，COD21.5，且，分别是∠，∠的均分线，则∠等于AOCOBODAOCBOEAOE（）6CDBEOA°B.138°°D.178°（五城市联赛试题）如图，在直线AB上取一点O，在AB同侧引射线OC，OD，OE，OF，使∠COE和∠BOE互余，射线OF和OD分别均分∠COE和∠BOE.求证：AOFBOD3DOF.CFEDAOB10.如图，∠AOA是一个平角，A3OA2A2OA1A4OA3A3OA2A5OA4A4OA3