五年级奥数 图形面积

BD1BEBDFEABE--BD1BEBDFEABE图形面积【基本原则】各种具有一定综合性直线形面积问题，重点是需要利用同底或同高的两三角形的积相除的商等于对应高或对应底相除的商一性质的问题，其中括四边形和梯形被两条对角线分割而成的4个小三角形之间的面关系．【典型例题】1．图16-1三角形ABC的面是平方厘米D是BC的中点，AD的长是AE长的倍EF的长是BF的倍．那三角形AEF的积是多少平方厘米?【分析与解】，ABC等高所以面积的比为底的比，有

,所以S2

=ABD

12

12

180=90(平方厘米．同理

有

AE1

平方厘米)，S

×30=22.5(平方厘米)．即三角形的积是22.5平方厘米．2．如16-2，把四形的各边都延长2倍，得到一个四边形EFGH果ABCD的面积是5方厘米，则的面积是多---

有有少平方厘米

--【分析与解】

方法一：如下图，连BDED，，有

、

ADB同高，所以比为的比有S

EAD

ABD

ABD

．同理

S

EAH

EAD

EAD

ABD

．类似的，还可得FCGBCD=30平厘米．FCGBCDABCD连接，AF，HC，还可SS，S6SEFBABCDHG=30平方米DHGABCACDABCD

，，

有有四边形EFGH面积为FCG,EFB,DHG,ABCD的面积和，即为30+30+5=65(平方米)方法二连接BD，EAH、ABD中∠EAD+°又夹成两角的边AH，AB、AD的积比，EAAB

=2×3=6，所以

S

EAH

=6

S

．（

类似的，还可=6FCS+=30平方米．BCDABCD

S

BCD

，有

S

EA

+

S

=6---

=30平方厘．=30平方厘．连接还可得S+）SACDABCD

S

=6

S

--

，

S

DHG

=6

S

，有

S

E

+

S

DHG

=6有四边形的积为△EAH，△FCG，△DHG，ABCD的面积和即为30+30+5=65平方厘米．评注：方法二用到了个比较重要的性质，若两个三角形的某对夹角相等或互补(和为180°成这个角的两边乘积的比为面积比．这个原则，我们可以中学数学中的三角部分学到，当然我们也可以简单的利用比性质及图形变换来说明，有兴趣的同学可自己试试．3．图16-3中的四边形土地的总积是公，两条对角线把它分成了个小三形，其中个小三角形面积分别是6公和7公顷．那么最大的一三角形的面积是多少公?【分析与解】点标上字母．

方法一：如下图所示为了方便叙述，将某些---

ADECDEADEBCEADE--ADECDEADEBCEADE因为△eq\o\ac(△,、)DEC高相同面积为底的比S所S=AE×6.同有SABE=AE，所=AE×7．ECSECECBCE

ADEDEC

=AE，所以有△ADE与△ABE的面积比为6：．有它们的面积和为52-(6+7)=39(公顷)所以

S

ADE

=

76

公顷)，

S

=

76

公顷)显然，最大的三角形面积为21顷．方法二：直接运用例评中的重要原则，在△，△CDE中有∠∠CED所以△ABECDE的面积比为AE×EB)：(CE×DE)．同理有△，△BCE的面积比为(AE×DE)：(BE×EC)．所以S×S=×S，也就是在所有凸四边形中，连接顶点得到2条对角线，有图形分成上、下、左、右4个部，有：上、下部分的面之积等于左右部分的面积之积．S，所以有△△的面积为7ADE6S=7×39=21公顷S=6×39=18公顷．66显然，最大的三角形面积为21顷．评注：在方法二中，出一个很重要的性质：在所有凸四边形中，连接顶点得到条对角，有图形分成上、下、左、右4个分，有：上、下部分面积之积等于左右部分的面积之积．希望家牢牢记住，并学会具体问题中加以运.4.如16-4，已知．AE=

1

CD=

1

BF=

1

那么54---

=AB15111--=AB15111三角形DEF的面积三角形ABC面积

等于多少?【分析与解】

如下图，连接，BE，所以

有ABEeq\o\ac(△,，)ABC的相等面积比为底的比S=AE×S1AC5

SS

ABEABC

=AC同理有

S

AFSAEF

,即=

S

AEF

=×5

S

=

16

S

.类似的还可以得到

S

CDE

=

14

×

45

S

=

15

S

，S

BDF

=

1×63

S

=

18

S

．所以有

S

DEF

=

S

-(

S

AEF

+

S

CDE

+

S

BDF

)=(1---)68

S

=

61120

S

．即

三角形DEF的面积

为

61

．三角形ABC面积

1205．如图16-5，方形ABCD面积是2平方厘米EC=2DEF是DG的中点．阴影部分的面是多少平方厘【分析与解】如下，连接FC，DBF△BFG的积相等，设为平方厘米△FGC的面积等，设为y方厘米，那么△

的面积1y3

平方厘米．---

1--1S

=2x+2y=1BCDBDE

=x+y=l×=．3所以有x+y=0.5．②比较②①式②式边比①式左边多2x②式右边比①式右大0.5，有2x=0.5，即x=0.25,y=0.25．而阴影部分面积为

2

y=

5

×0.25=

5

平方厘米．33

12评注：将这种先利用块独立的图形来表达相关图形的面积，再根据已知条件列出个二元一次方程组，最终求出解的方法称“凌氏类蝶形法”．类蝶形问题必须找好块独立的图形，还必须将边的比例关系转化为面积的比例关．类似的还有一道题eq\o\ac(△,：)ABC中G是中点DF是BC边上的四等分点AD与BG交M与BG交于N△ABM的面积比四边形FCGN的面积大1.2平方米，则△ABC的面积是______方厘米有兴趣的同学可以自试试．6．如图16-6已知D是BC中点，是CD中点，是中点．三角形ABC①～⑥这6部分组成其中②比⑤多6平方厘米．那么三角形面积是多少平方厘米---

--【分析与解】因为是DC中点FAc点有AD=2FE且阳平行于AD则四边形ADEF为梯形．在梯形ADEF中有③⑤=④

E=4．又已知②-⑤=6⑤-1)=2⑤×4②×⑤=④×④：16而③④，所以③，梯形ADEF的积为②、③、④、⑤四块图形面积和，为8+4+4+2=18．有△CEF与△ADC的面积比为CE平方与CD平方的比，即为1ADC面积为形ADEF面积的

4

=

4

18×

4

=24．4-13

3因为D是BC中，所以△ABD与△ADC的积相等，而△ABC的面积为△ABDeq\o\ac(△,、)ADC的积和即为24+24=48平方厘米．三角形ABC的面积为48平厘米．评注：梯形中连接两对角线．则分梯形为4部分，称之为：上、下、左、右．如图：运用比例知识，知道①上、下部分的面积等于上、下边平方的比．②左、右部分的面积等．③上、下部分的面积积等于左、右部分的面积之积．---

--7．图16-7一个各条边分别为厘米、米13厘的直角三角形图16-8它的短角边对折到斜边上去与斜边相重合，那么图16—的阴影部分即未被盖的部分的积是多少平方厘米?【分析与解】

如下图，为了方便说，将某些点标上字母．有ABC为直角，而∠CED=∠所以∠CED也直角而CE=CB=5.DE与△CED同高，所以面积为的，及S=AE==，设△ADEADESEC55“5”．

的面积为“”，△CED面积为是由△CDB折叠而成，所以有△CED面积相等，△ABC是由△ADE△CED、组成所以

=“8“5”+“5”=“18”对应为ABC

12

×5×12=301”份对应5那△的面积为8×=13平方厘米．3即阴影部分的面积为13

13

3平方厘米．---

--8图16-9一个梯形内有两个三角的面积分别为与12，已知梯形的上底长是底长的．那么余阴影部分的面积是多?3【分析与解】不妨上底长2那么下底长上面部分的三角形的高为10÷2×2=10下面分的高为12÷3×2=8，则梯形的高为lO+8=18．所以梯形的面积为以余阴影部分的面积为45-10-12=23

2评注：这道题中上下、梯形的高都不确定，但是余下阴影部分的面积却是确定的，所以面积值与上下底、高的确定值无关所以可以大胆假设，然也可以谨慎的将上底设为2x下底3x9．图16-10中ABCD是梯形，三角ADE面积是，角形ABF的面积是角形BCF的面积是么影部分面积是多少【分析与解】设△DF的面积“上”，△BCF的面积为“下”，△ABF的面积为“左△DCF的面积为“右”．---

ACEADOBCO--ACEADOBCO左=右=9；=左×右=9×9=81，而下=27，以=81÷27=3的面积为1.8那么△AEF的面积为1.2，EF：DF=

S

AEF

：

S

AED

=1.2：3=0.4．S

△CEF与△CDF的面积比也为EF与的比，所以有=0.S=0.4×(3+9)=4.8即阴影部分面积为10如图16-11，形ABCD的底AD长为3厘，下底BC长为9厘而三角形ABO的面积为方厘米梯形ABCD的面积为多少平方厘?【分析与解】与△BCO的面积比为AD平与BC方的比，即为9：81=

19

．而

与△ABO

的面积相等为12，又S

S

×A

S

DCO

=

S

ADO

×

S

BCO

2×12=144，因为144÷94×4所=4，S=4，而梯形ABCD的面积为△ADO、△BCOeq\o\ac(△,、)CDO的面积和，即为4+36+12+12=64平厘米．即梯形ABCD的面积为64平方厘米．---

所以BCBCCE所以BCBCCE11如图16-12，，将长方形ABCD分成4块，红色三角形面积是4平方米，黄色三角形面积是平方厘米．问：绿色四边形面积是多少平方米?【分析与解】连接BF，四边形BCDF为梯形，则BFE的面积与黄色CDE的面积相等为6.FEDBCEBCES又因为长方形ABCD的角线，所以.绿色边ABD红色绿色四边形面积为11方厘米．

BFE

BCD

CDE

，．如图平四边形ABCD长为米．以BC为底时高是14厘米CD为底时高是16厘米求平行四边形ABCD的面积．【分析与解】因为行四边形面积等于底与对应高的积，所有14×BC=16，BCCD=87，2(BC+CD)=75，所以BC=20，BC底，对应高为14，20×14=280所以平行四边形ABCD面积为280平厘米．---

，那么阴影小正方形面积--，那么阴影小正方形面积13如图16-14，个正方形被分成4个小长方形，它们的积分别是

1

平方米、

1

平方米、

3

平方米和

2

平方米．已知图中的影部1055分是正方形，那么它面积是多少平方?【分析与解】

为了方便叙述，将某点标上字母，如下图：1.

大正方形的面积为

3210510

，所以大正方形的边应为上面两个长方形的面之比为

3:105

=3：，所以

IG=

47

．下面两个长方形的面之比为

1:510

=2：，所以

IG=．3那么

4173

55525212121441

．．图16-15中外侧四边形是一边长为厘米的方形，求阴影部分的面积．---

--【分析与解】如图所示，所以阴影部分在图中为四边形EFGH．阴影部分面积为“阴”平方厘米，正方内的其他部分面积设为“空”平方米．D