专题3 导数与应用(5月版)-届高考高三数学(理)全国各地优质模拟试卷分类汇编解析版

22专3导与用2018年5版-2018高高数（）国地质拟卷类编析一选题1河郑州高三二模】知M

,使

,则称函数

f

度零点函数”.若

f

与

互为“度零点函数”，则实数a的取值范围为)A.

(

4e

B.(,ee

C.

[

2e

D.

[

【答案】【点睛要会分析题中隐含的条件和信息本题先观察出的点及单调性是解题的关键进一步转化为函数

g

2

在区间1,3)上在零点，再进行参变分离，应用导数解决。22018陕咸阳高三一模】知奇函数

f

x

的导函数为

f

x

，当时

f

fx

，若

f

，

f

，则,b,c

的大小关系正确的是（）A.

a

B.

b

C.

D.

a【答案】【解析】设

h

，所以

，因为

y

是定义域上的奇函数，所以

h

是定义在实数集上的偶函数，

b2b2000当

x

时，

h

，此时

h

为单调递增函数，1又由，所ff1ee

，即

a

，故选D.点睛：本题主要考查了函数性质的基本应用问题，其中解答中利用题设条件，构造新函h

，得出函数

h

为单调递增函数和函数

h

是定义在实数集上的偶函数是解答的关键重考查了学生分析问题和解答问题的能力.3湖南阳高三二模】已知为自然对数的底数，设函数

f

12

x

ax

存在极大值点，0对于

a

的任意可能取值，恒有极大值

f0

,则列结论中正确的()A.存

0

,使得

f

12e

B.存在

0

，使得

f0

2C.

b

的最大值为3

D.

b

的最大值为2e

2【答案】分析得x，1bab

2

b，x0,b,f

在0

x0

xf0

取得极大值

f0

，又f'x0

2

ax0

，

11110211111021fg2

xaxlnx2，即f22x2g

，令gb0x2x

g

在

g

b

12

blnbb02

，3bblnb

32

b

3

，所以

b

的最大值为

，

C

对、D

错，又

x0

，即不存在极大值点x0

，排除AB

，故选C.【方法点睛题要考查利用数判断函数的单调性以及函数的极值难.求函数

f

极值的步骤确定函数的定义域求导

f

x

解程

f

x

求出函数定义域内的所有根表检查

f

x

在

f

左右两侧值的符号果左正右（增右减0

f极值如左负右正0（左减右增么

f

在

x0

处取极小值42018河南商丘高三二模】函数，则的值范围是（）A.B.C.D.

，若曲线

上存在点

使得【答案】点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构不等式求.(2)分离参数后转化为函数的值(值问题求.(3)转化为两熟悉的函数图象的、下关系问题，从而构建不等式求.

5四德阳高三二诊知函数则实数的取范围是（）A.B.C.D.【答案】

若使

成立，6重庆高三二诊】已知数

f

x，

x

ax若，f

x

g

x

，则ba

的最小值是（）A.

1

B.

1

C.

e

D.

【答案】【解析】由题意

f，即ln

，设

，则h

1x

，若

时，

h

1x

，函数

单调递增，无最大值，不适合题意；当

时令h

10，得xx

，当x0,

时，

h

单调递增，当x

时，

，函数

单调递减，

所以h

a

，即

，即

a点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力导数是研究函数的单调性极值(最值最有效的工具导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导的几何意义，往往与解析几何、圆等知识联系；(2)用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)用导数求函数的最值极)，解函数的恒成立与有解问题．72018甘兰州高三二模】知

f

是定义在R上可导函数，若在上f

有恒成立，且f

为自然对数的底数下列结正确的是（

）A.

f

B.

f

C.

f

6D.【答案】【解析】设

f3

，则

g

3

3

x

.∵在R

上

3

有恒成立∴

g

成立，即

g函.∴

f

g

f∵

f

∴

f

，故，不确∵

f6

g∴

f

6故选C.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构构辅助函数常根据导数法则进行：如

f

f

，

f

构造

，xf

x

fx

，

xf

等8河北唐山高三二模】知函数

f

x

满足

f

x

f

x

，在下列不等关系中，一定成立的是（）A.

B.

C.

f

D.

f【答案】点睛：本题的关键在于通过

f

（x）得到

(

f)'x

，得到

fx

是上的减函

，问题就迎刃而解所在这里，观察和联想的数学能力很重.9吉林平高三质检】若存在实常数

k

和

，使得函数

对其公共定义域上的任意实数

都满足：

恒成立，则称此直线为F函数

f

1x

,有下列命题：①

在

x

,02

内单调递增；

②

f且

的最小值为4；③

f且

k

的取值范围是

；④

f线y

.其中真命题的个数有)A.1个B.个C.个D.个【答案】

2

,k

4

2

,同理b

4

2

,

可得

，故②正确，③错误，④函数f

x

h

x

的图象在

xe

处有公共点，因此存在

f

x

和

h

x

的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，隔离直线方程为

y，ye

，由fe

2

kxkee，当恒成立，则

e

，只有k2e

，此时直线方程为yex

，下面证明

h

，令

，

G

2exx

，当

x

e

时，

'

；当

xe

时，

G'

；当

x

e

时，

'

；当

xe

时，

G'

取到极小值，极小值是

0

，也是最小值，

h

，

函数

f

存在唯一的隔离直线yex

，故④正确，真命题的个数有三个，故选C.【方法点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与不等式恒成立问题、以及新定义问题，属难新义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵解题的目的遇

eeee,3e到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解本题定义“隔离直线”达到考查导数在研究函数性质的应用的.10湖郴州高三二诊】知函数f

x

，

f

的图像上存在关于直线y

对称的点，则实数

的取值范围是（）A.

B.

C.

D.

【答案】若直线y=1﹣经过（

1

，﹣2m=3e，若直线y=1﹣与y=2lnx相，设切点为x，y则

y{lnx

x，解得{

．2x

m

∴

32

≤m．

44故选：．点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．11云南昆明高三质检二已知函数

f

x

x2

klnx，是数f

的唯一极值点，则实数的值范围是（）A.

e2

B.

e2

C.

D.

【答案】【点睛】函数有唯一极值点x=2,即导数只有唯一零点x=2,在x=2两导号。由于导函数可以因分解，只需gg零，转为恒成立问题，分离参数求范围。注意参数范围端点值是否可取。二填题12河商丘高三二模已曲线

在点

处的切线的率为直线交轴轴别于点

，且

.给出以下结论：①

；②当③当

时，的小值为时，

；；④当

时，记数列

的前项和为，.

其中，正确的结论有__________．写出所有正确结论的序号）【答案】①②④点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数系起来求13宁银高三4月检】已知函数下命题：

是定义在上奇函数，当

时，，给出以①当②函数

时，有个点；

；③若关于的方程④对

有解，则实数的取值范围是恒成立，

；其中，正确命题的序号是__________．【答案】①④

若方程有解，则，对故答案为①④.三解题f14河南郑州高三二模】知函数

x

.

恒成立，故③错误，④正.(求曲线

f

在

x

处的切线方程；(求证：当时

x

lnx

.【答案）

y

；(Ⅱ)见解析【解析】试题分析）则导数几何意义可求得曲线

f

在

x

处的切线方程）由（1）当

x

时，f

x

2

，

ex

+

2

,只需证ex

x

lnx试题解析）

f'

，

由题设得

f'

，

f

，f切方程为

y下证：当

x

时，

f设

g

，则

g'

，

g'

上单调递减，在

上单调递增，又g

，∴

g

，所以，存在

x'00

，所以，当

x0

0

上单调递增，在

0

上单调递减，在

又

g

x2

，当且仅当x时取号，故xx

x,

.又

x

，即

e

x

lnx，当时等号成.【点睛】解本题的关键是第1结论对第2问的证明铺平了路，只需证明

exx

x

lnx

。所以利用导数证明不等式时，要进行适当的变形，特别是变形成第）问相似或相同形式时，将有于快速证明。15青海宁夏高三一模】知函数

f

1

（a0,

）在

x

处的切线与直线

平行.（）

的值并讨论函数

y

上的单调性；（）函数

g

1x

（

m

为常数）有两个零点

x,x（122

）①求实数m的值范围；x②求证：12【答案）见解析）

；②见解析试题解析：

（）

f

x

1

，f

1a

，∴

.∴

f

xexxx2

令

h

，则∴

x

.则

h

，

上单调递减∴在

4

，即

x

，∴函数

f

上单调递减（）由条件可知，

g

，则

g

x

∴

g

要使函数有两个零点，则

g

g∴

.

x2x2点睛：一般涉及导数问题中的证明，可考虑构造函数，利用导数研究所构造函数的单调性，极，最值等问题，往往可解决此类证明题，本题就是构造函数后，利用导数确定其单调性，再根据

12

，确定自变量的大小关系，从而求证不等式成.16陕西咸阳高三二模】知函数2lnx（）论函数

f

的单调性；（）若数

f

x1

，

2

(xx)1

，且a

，证明：

x1

.【答案当a时，知ff

在

上递增）证明见解.【解析】试题分析：（）函数的解析式了的

f'

2x2ax

，(x

，分类讨论有：当

时，知

f

2xaxa22xaxa2当

a

时，

f

在

上递增；试题解析：（）

f'

22a

，(x

，当a时，f'当

a

时，

f

，知ax

f

在

上递增的.（）（），

a

，

fmin

f

lna

，依题意

1，a，由a

得，

f

x

22

lnx(

，

x1

，

x2

，由

f

及

f2

得，

x2e2

，即

x2

，欲证

xe，只要xe12

，注意到

f

f1

，只要证明

f2

即可，由

f2

x

22

lnx2

得x

e

lnx

，所以

f

e

ln

e

2

2ln2e2

e

2

e22

2

lnx

22

4

4lnx2e

，

，令

g

t

lntln

t

，则

4224gttete

0知g

上是递增的，于是

g

，即f2

，综上，

x1

.17北京顺义高三二模】知函数

f

2

其m.（Ⅰ）当

时，求曲线

在点

处的切线方程；（Ⅱ）若不等式

f

在定义域内恒成立，求实数的取值范围【答案】(1)yx;(2)m

.试题解析）当

时，

f∴

f

x

e

2

则

f

∴曲线

在点

处的切线方程为：yx（Ⅱ）函数

f

下面对实数

进行讨论：18湖南衡阳高三二模】知函数

f3

.(1)当m时证明：

f

2

；(2)当

x

时，函数

f

m

的取值范围【答案）证明见解析）

16

.【解析】试题分析），f

2

即证e

sinx0

,只证明

g

x

,利用导数研究函数

g

的单调性，根据单调性可得

g

，从而可得原不等式成立；(2)依题f

上恒成立，讨论三种情况：①当

1,06

时，

单调递增；

F

,符题意；②当

时，F

,不符合题意，舍去；③当

0

16

存在部分

x

不合题意，综合三种情况可得结.试题解析：证明(1)当m时，即证：e

sinx0

,

e

,令

g

，则

g

,当

x时有

.当x时当x时有

，

致，exx

（此问可以参考如图理解.

f

x

.①当

16

x

时，

F

,符合题意②当

时，F

,不符合题意，舍.③当

m

,F

F0Fn

.,1

n

x1

,当

1

时，

n

x

x

1

时单调递减，当

11

单调递减，

F

，不符合题意舍去.综上：

16

.19新疆维吾尔自治区高二模】已知，函数f

x

.

（）

x

为何值时，

f

取得最大值？证明你的结论；（II）设

f

在

上是单调函数，求a的取值范围；（III）设

g

2x

，当x时

恒成立，求的值.【答案】(1)见解析2)

a

3（）042试题解析：（），f

x∴f

x

x由则

x2x1∴

f

x

1

上单调递减，在

1又x时f2

上单调递增∴

f2

∴

f

有最大值，当

xa

2

时取最大值（II）（）知{

aa2

{

aaa

2

a

2

2

或{

2

a

2

，，

或

{

03a4

a

34点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，不等式的恒成立问题求得，考查了转化与化归思想逻辑推理能力与计算能力导数是研究函数的单性、极最值最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利导数求函数的最极)，解决函数的恒成立与有解问题；考查数形结合思想的应用.202018陕高三二模】已知函数

f,直l与线x

C:f1

切于点

且与曲线

:yg

切于点

.(1)求，的值和直线l的程；(2)求证：ae2xx

.【答案）

,

yx

）证明见解.【解析】试题分析分求）导，求得切线的斜率和切线方程，再由切线唯一，即可求得a，b和线方程；

(2)由(1)知，

，则即为证明

.设

,通过求导研究函数的性质可得成立再设

.命题得证.(2)由2

，得ae

2

sinx

.

x

2

由1)知，

a

，则

.设

则F

.当

x

时，

0

x

；当

x

时，

x

.F

2222F

.当

x

时，等号成立.

设

，则

.当且仅当

xk

2

时，等号成.又

F

.e

x

2

sinx0

.故ae

2

.21海南高三二模】已知数

f

.（）明：直线y2x

与曲线

y

相切；（）.【答案）见解析（）

23

（）：设

g

2k12

，当

x

，若

k

23

，2

，则g'

.此，f

上恒成立.若

k

23

，令

g13

，当

xk

时，

'

；

2222当

x1,1g'1kmin3k

g

，则

k

23

不合题.故

的取值范围为

.22河南商丘高三二模】知函数.（）图，设直线

将坐标平面分成

四个区域（不含边界函数

的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的的值范围；（）

时，求证：

且，【答案），）明见解.试题解析）函数的定义域为又直线恰好通过原点，∴函数的图象应位于区域Ⅳ内，于是可得，即

，且当．

时，．

∵，．令，．∴时，时，∴∴的取范围是

．

，，

单调递增；单调递减．点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策(1)构造差函数.根据差函数导数符号确

差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（）根据条件，寻找目标函数.一思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函.23四川德阳高三二诊】知函数（）实数的值

且.（）

在

上的最小值为，证：.【答案）

.（2）见解析.试题解析）法1：由题意知

恒成立等价于

在

时恒成立，令当由于当

，则时，，故在，所以当时，时，，以当

，上单调递增，，不合题意时，；当

时，

，所以

在

上单调递增，在所以要使亦即令

上单调递减，即在时恒成立，则只需，，则

，，

.所以当

时，；

时，

，即

在

上单调递减，在

上单调递增

又即.

，所以满足条件的只2，法2：由题意知：

恒成立等价于

在

时恒成立，令

，由于

，故

，所以又

为函数

的最大值，同时也是一个极大值，故，所以，

.此时

，当

时，，

时，，即：故

在合题意

上单调递增；在

上单调递减24重庆高三二诊】已知数

fg

2

（a，R）（），求函数F

的单调区间；（）函数

f

1122

x

x2

，记

f'

，g'

f'0

上单调递增，在1上单调递增，在12111【答案】(1)

在

上单调递减2)见析【解析】试题分析）由题意得到

'

，利用导数即可判定函数单调性，求解单调区间；试题解析：（）

x，F

xxx

，

1在上单调递增，在

上单调递减．（）

f'x

2x

，1ax

xa122

2222

，ax1

1

，ax2

2

ln2

，1122

x12

x，即ln1x12

，1xxxln12xx1222

，不妨设

x，令12

x

xx

ln（下证

x

xx

4lnx2,即ln，即ln，xxx

224224u

4x

，

14ux

，所以

，∴

1

2

1

2

2

，

f'0

0点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，不等式证明等问题，考查了转化与化归思想、逻辑理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、值最值最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、圆等知识联系；(2)用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利导数求数的最极值)解决函数的恒成立与有解问题；考查数结合思想的应用．25安徽宣城高三二调】知函数

bx

(其中

，

).（）

时，若

f单调函数，求a的值范围；（）

时，是否存在实数b，得当x

,e

2

时，不等式

f

恒成立，如果存在，求b取值范围，如果不存在，说明理.【答案）或a）

b

2试题解析）函数

f

的定义域是

x

2ax

.若

f

在其定义域內递增，则

a

x

4

.4∵x∴，

4ln4ln若

f

在其定义域内递减，则

a

4x4∵xa∴；

min

，

4xx

4时，04xx综上，

a

或

a

.令h

xlnx

1x

，x

,e

ln1令

2x

，

12xxx2而

m

，m

，故存在2得h,200

递增∴hmax

h

∵

4∴

b

2

.点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（）据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若

f

就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为

fmin

，若

f

恒成立

f

；（）

f

恒成立，可转化为

f

（需在同一处取得最值.

26安徽马鞍山高三二模已知函数

.（）

对

恒成立，求的取范围；（）明：不等式【答案）（）解析

对于正整数恒成，其中

为自然对数的底数.试题解析：（）一：记

，则

，，①当

时，∵又

，∴，∴，

，∴在

在上单减，

上单减，此时，

，即,所以a≥1.②当

时，考虑

时，

，∴

在

上单增，又

，∴

，即

在

上单増，

,不满足题意.综上所述，法二：当

.时，

等价于，

，记

，则

，∴

在

上单减，∴

，∴

，即

在

上单减，

，故

.点睛：本题的难点在第2）问先要把证明的不等式化简，由于

的左边无法化简，所以要对左边进行化简，对不等式进行转化，不等式两边要取对再用第（1）的结论对数的通项进行放缩，再求和，再证明不等.27广东茂名高三二模】知

.（）论

的单调性；（）【答案】(1)见解析2)

有三个不同的零点，求的值.

【解析】试题分析）

，对a分类论，从而得到

的单调性；（）

，则

，对a分讨论，研究函数

的图象走势，从而得到的值范围试题解析：（）已知当时，当时，令

的定乂域为恒成立；得

，又；令

得.

，综上所述，当

时，

在

上为增函数；当

时，

在

上为增函数，在

上为减函数当当

时，时，

，∴，∴

，∴，∴

在在

上为增函数；上为减函数；当

时，

，∴

，∴

在

上为增函数∵

，∴

在

上只有一个零点1，且

。

∴，，.∵

，又当

时，.∴∴∴

在

上必有一个零点∵

，又当

.时，，.∴

在

上必有一个零点.综上所述，故的取范围为.28河南高三4月应性考试】已知函数（）函数有两个零点，求实数的取值范围；（）函数有两个极值点，试判断函数【答案）（）

.

的零点个数试题解析）令，由题意知.

的图象与

的图象有两个交点.当

时，，

在

上单调递增；

当∴

时，，.