直方图和灰度变换

直方图和灰度变换第一页，共五十五页，2022年，8月28日图像处理中最具有吸引力的领域之一

增强的首要目标是处理图像,使其比原始图像更适合于特定应用。其技术主要包括直方图修改处理、图像平滑、图像锐化及彩色处理等。图像增强的方法分为两大类：空间域方法和频域方法。当图像为视觉解释而进行处理时，由观察者最后判断特定方法的效果。图像质量的视觉评价是一种高度主观的过程，因此，定义一个“理想图像”标准，通过这个标准去比较算法的性能。第二页，共五十五页，2022年，8月28日4.1背景知识“空间域增强”是指增强构成图像的像素。空间域方法是直接对这些像素操作的过程。空间域处理可由下式定义：第三页，共五十五页，2022年，8月28日4.2直方图4.2.1基本概念概率密度函数（ProbabilityDensityFunction(PDF)）：设r表示图像中像素灰度级，它可看作是一个随机变量。作归一化处理后，被限定在［0,1］之内。假定对每一瞬间它是连续的随机变量，那么就可以用pr(r)来表示原始图像的灰度分布。第四页，共五十五页，2022年，8月28日概率密度曲线：用直角坐标系的横轴代表灰度级r，纵轴代表灰度级的概率密度函数pr(r)，可作出一条曲线。这条曲线在概率论中就是概率密度曲线。第五页，共五十五页，2022年，8月28日图像灰度分布的概率密度函数第六页，共五十五页，2022年，8月28日直方图(Histogram)：

灰度直方图是灰度级的函数，它表示图像中具有某种灰度级的像素的个数，反映了图像中每种灰度出现的频率。灰度直方图的横坐标是灰度级，纵坐标是该灰度级出现的频度，它是图像最基本的统计特征。

第七页，共五十五页，2022年，8月28日图像灰度直方图第八页，共五十五页，2022年，8月28日4.2.2直方图的性质

（1）直方图只包含了图像中某一灰度值的像素出现的概率信息，而丢失了其所在位置的信息。（2）图像与直方图之间是多对一的映射关系。第九页，共五十五页，2022年，8月28日图像与直方图间的多对一关系第十页，共五十五页，2022年，8月28日

（3）由于直方图是对具有相同灰度值的像素统计得到的，因此，一幅图像各子区的直方图之和就等于该图像全图的直方图。

直方图的分解第十一页，共五十五页，2022年，8月28日4.2.3直方图的计算

在离散形式下，用rk代表离散灰度级，用pr(rk)代表pr(r)，并且有下式成立：式中：nk为图像中出现rk级灰度的像素数，n是图像像素总数，而nk/n即为频数。在直角坐标系中做出rk与pr(rk)的关系图形，即称为该图像的直方图。第十二页，共五十五页，2022年，8月28日Lena图像及直方图（a）Lena图像；（b）Lena图像的直方图

第十三页，共五十五页，2022年，8月28日

钟楼图像及直方图（a）钟楼图像；（b）钟楼图像的直方图

第十四页，共五十五页，2022年，8月28日4.2.4直方图修改技术的基础

一幅给定图像的灰度级分布在0≤r≤1范围内，可以对［0,1］区间内的任一个r值进行如下变换：s=T(r) 通过上述变换，每个原始图像的像素灰度值r都对应产生一个s值。变换函数T(r)应满足下列条件：（1）在0≤r≤1区间内，T(r)值单调增加；（2）对于0≤r≤1，有0≤T(r)≤1。第十五页，共五十五页，2022年，8月28日单调递增的灰度级变换函数第十六页，共五十五页，2022年，8月28日

由概率论理论可知，如果pr(r)和变换函数T(r)已知，且T(r)满足条件（1），则变换变量s的概率密度函数ps

(s)可由以下公式得到：由上式可见，通过变换函数T(r)可以控制图像灰度级的概率密度函数改变图像的灰度层次。这就是直方图修改技术的理论基础。第十七页，共五十五页，2022年，8月28日4.2.5直方图均衡化处理

直方图均衡化处理是以累积分布函数变换法为基础的直方图修正法。假定变换函数为式中：ω是积分变量，是r的累积分布函数。第十八页，共五十五页，2022年，8月28日直方图均衡化处理第十九页，共五十五页，2022年，8月28日

当灰度级是离散值时，式中：l是灰度级的总数目，pr(rk)是取第k级灰度值的概率，nk是图像中出现第k级灰度的次数，n是图像中像素总数。则：其反变换式为

第二十页，共五十五页，2022年，8月28日直方图均衡化处理举例：书P60第二十一页，共五十五页，2022年，8月28日

经直方图均衡化后的Lena图像及直方图（a）经直方图均衡化后的Lena图像；（b）均衡化后的Lena图像的直方图

第二十二页，共五十五页，2022年，8月28日第二十三页，共五十五页，2022年，8月28日直方图均衡化处理的特征：

自动化处理；图像动态范围增加；灰度简并现象。第二十四页，共五十五页，2022年，8月28日4.2.6直方图规定化处理（直方图匹配）－算法来源背景：直方图均衡化的缺陷：不能用于交互方式的图象增强应用，因为直方图均衡化只能产生唯一结果。希望通过一个指定的函数（如高斯函数）或用交互图形产生一个特定的直方图。第二十五页，共五十五页，2022年，8月28日－算法思想：设：{rk}是原图象的灰度级,{zk}是符合指定直方图结果图象的灰度级我们的目标是：找到一个灰度级变换H，有：

z=H(r)第二十六页，共五十五页，2022年，8月28日－算法步骤：1)对{rk}、{zk}分别做直方图均衡化

2)求G变换的逆变换

z=G-1(v)

为原始图像灰度分布的PDF，为希望得到的PDF。第二十七页，共五十五页，2022年，8月28日3)根据均衡化的概念，s，v都是常量 用s替代v有

z=G-1(s)

2)求G-1和T的复合变换，有：

z=G-1(T(r))=G-1T(r)

H=G-1T第二十八页，共五十五页，2022年，8月28日－算法实现：1）求出灰度级变换T2）求出灰度级变换G，同时求出逆变换G-13）通过T和G-1求出复合变换H4）用H对图象做灰度级变换第二十九页，共五十五页，2022年，8月28日原始直方图例：第三十页，共五十五页，2022年，8月28日规定化直方图第三十一页，共五十五页，2022年，8月28日均衡化处理后的直方图数据第三十二页，共五十五页，2022年，8月28日第三十三页，共五十五页，2022年，8月28日第三十四页，共五十五页，2022年，8月28日第三十五页，共五十五页，2022年，8月28日结果直方图数据第三十六页，共五十五页，2022年，8月28日直方图规定化处理结果图第三十七页，共五十五页，2022年，8月28日第三十八页，共五十五页，2022年，8月28日第三十九页，共五十五页，2022年，8月28日第四十页，共五十五页，2022年，8月28日4.3灰度变换4.3.1某些基本灰度变换

图像增强常用的三种类型函数：线性函数（正比/反比）、对数函数（对数/反对数）、幂函数（N次幂/N次方根）。第四十一页，共五十五页，2022年，8月28日1.图像反转

该处理适用于增强嵌入图像暗色区域的白色或灰色细节，特别是当黑色面积占主导地位时。第四十二页，共五十五页，2022年，8月28日2.对数变换

这种变换来扩展被压缩的高值图像中的暗像素。频谱值的范围从0到106或更高的情况是常见的。当计算机处理像这样的无误数字时，图像显示系统通常不能如实地再现如此大范围的强度值。第四十三页，共五十五页，2022年，8月28日3.幂次变换

随着γ值的变化将简单地得到一族变换曲线。如预期的一样，我们看到图中γ>1的值和γ<1的值产生的曲线有相反的效果。用于图像获取、打印和显示的各种装置根据幂次规律进行响应。第四十四页，共五十五页，2022年，8月28日第四十五页，共五十五页，2022年，8月28日用幂次变换进行对比度增强。相应的伽马值分别为0.6，0.4和0.3(c始终为1)

人的脊椎骨折的核磁共振图像第四十六页，共五十五页，2022年，8月28日幂次变换的另一例证

令γ=3.0，4.0和5.0的处理结果。

第四十七页，共五十五页，2022年，8月28日4.线性变换

假定原图像f(x,y)的灰度范围为［a,b］，希望变换后图像g(x,y)的灰度范围扩展至［c,d］，则线性变换可表示为第四十八页，共五十五页，2022年，8月28日有时为了保持f(x,y)灰度低端和高端值不变，可以采用以下形式：式中的a、b、c、d这些分割点可根据用户的不同需要来确定。第四十九页，共五十五页，2022年，8月28日

线性灰度变换(a)原始图像；(b)灰度变换后的图像

第五十页，共五十五页，2022年，8月28日5.分段线性变换

为了突出感兴趣的目标或灰度区间，相对抑制那些不感兴趣的灰度区域，可采用分段线性变换。常用的三段线性变换法如图所示，其数学表达式如下：第五十一页，共五十五页，2022年，8月28日分段线性变换第五十二页，共五十五页，2022年，8月28日对比拉伸:

低对比度图像可由照明不足、成像传感器动态范围太小，甚至在