物理临界与极值法

物理临界与极值法第一页，共三十七页，2022年，8月28日临界与极值问题下列情况会出现临界问题1、某些物理现象在一定条件下才会发生。如全反射、光电效应、超导现象等。2、某些物理量在渐变过程中会发生突变，在即将发生突变时就出现临界问题。求解极值的方法可归纳为两种1、用物理规律求极值。如临界条件、边界条件等等。2、用数学方法求极值。如不等式、二次函数、三角函数和解三角形等等。第二页，共三十七页，2022年，8月28日例题一水平向右的匀强电场场强未知，悬点O有一长为l的细线下端系质量为m、电量为+q小球。把小球拉到水平位置A由静止释放，小球摆到C点，即由C点重新摆回。如图所示，已知OC与竖直方向成30°角，求小球在运动过程中的最大速度。第三页，共三十七页，2022年，8月28日解析小球从A到C的运动，可以类比为单摆，单摆小球在平衡位置有最大速度，那么这个小球应该在B点位置为平衡位置，有最大速度，这时角φ=30°。或小球从A到C的运动，是在重力场和电场叠加的复合场中运动，那么重力和电场力，即复合场力与细绳共线位置为平衡位置（如图所示），有最大速度。

GEqFEq/mg=tg30°mgl

sin60°

-qEl(1-cos60°)=mvb2/2Vb=第四页，共三十七页，2022年，8月28日例题二一根对称的A形玻璃管，置于竖直平面内，管所在的空间有场强E=1000V/m、方向竖直向下的匀强电场，重力G=1.0×10-3N，带电量为-2×10-6C的小物体，在管内从A点由静止开始运动，小物体与管壁间的动摩擦因素为0.5，管长AB=BC=l=2m，管的B处为一极短的光滑圆弧，管AB和BC与水平方向所夹的锐角皆为37°，如图所示。求：（1）小物体最终静止在何处？（2）从A开始运动到静止，小物体运动的总路程是多少？

第五页，共三十七页，2022年，8月28日解析如果我们把F合类比作重力，把A型玻璃管倒过来看，那么小物体运动就类比为在粗糙的斜面上下滑。

NfF合=qE-mg=10-3NN=F合cos37°=0.0008Nf=0.5N=0.0004NS总=3m球最终停在何处？第六页，共三十七页，2022年，8月28日例题三如图所示的容器是高为H的立方体，它静止在水平面时内部装水的高度为H/2，当容器向右做匀加速运动时，为使容器内的水不外溢，求加速度为a的最大值？分析与解答：容器向右加速则左侧液面上升当左侧液面高为H时加速度达到最大值。GNF合=maθ=45°最大加速度a=g由图易见F合=mg=ma因液体的体积不变，液面的倾角为45°在液面上取一个液滴作为研究对象第七页，共三十七页，2022年，8月28日例题四如图所示，光滑绝缘水平面上放有一个电量为q的正电荷，电荷处于竖直放置的A、B板的中点。已知AB间的距离为L，开始电荷处于静止状态。当两板之间加上一个图示的矩形交变电压时，已知交流电压的绝对值为U，为使电荷在运动过程中恰不与A和B板接触，求交流电的最大周期。分析与解答电荷的运动情况如下：0到T/4匀加速，T/4到T/2匀减速T/2时刻速度为零，位移小于等于L/2，电荷在A点或B点T/2到3T/4电荷向中点匀加速，3T/4时刻速度最大3T/4到T电荷向中点作匀减速运动，到达中点时速度为零。电荷是向A还是T向B运动由A、B两点的电势高低决定。以后重复上述运动，画V-t图象可加深理解。tV0T/4T/23T/4TL/2L/2V1-V1第八页，共三十七页，2022年，8月28日例题五如图的矩形水平光滑导电轨道，其中ab边和cd边长为L，电阻为5R0（电阻分布均匀），ad边和bc边长为d，ad边电阻为4R0，bc边电阻为2R0。整个轨道处于垂直轨道平面的匀强磁场中，磁感应强度为B。一根电阻为R0的金属杆放在轨道上，在平行轨道平面的拉力作用下，从靠近ad边处沿轨道以速度v向右匀速滑行，滑行中金属杆始终与ab边和cd边保持垂直，而且与轨道接触良好，求滑行中拉力牵引金属杆的最小功率是多少？

第九页，共三十七页，2022年，8月28日例题五分析与解答金属杆切割磁感应线产生的感应电动势E=LVB本题中电源电动势不变但外电阻在变化设金属杆运动到与的距离为X，则外电阻由两部分并联组成R左=4R0+2×5R0X/L，R右=2R0+2×5R0（L-X）/LR外=R左R右/（R左+R右）当X=2L/5时总电阻最大，电功率最小，Pi=E2/5R0拉力的功率等于电功率，最小功率为用极值定理可避免复杂的运算因为R左+R右=16R0，当R左=R右=8R0时R外最大，R外最大=4R0第十页，共三十七页，2022年，8月28日例题六一个质量为m，电荷量为q的带负电的带电粒子，从A点射入宽度为d磁感应强度为B的匀强磁场，MN、PQ为该磁场的边缘，磁感线垂直于纸面向里。带电粒子射入时的初速度与PQ成450，且它恰好没有从MN射出。(1)求该带电粒子的初速度V0.(2)求该带电粒子从PQ边射出的射出点到A点的距离S.

第十一页，共三十七页，2022年，8月28日例题六分析与解答先画粒子的运动轨迹，关键是查找圆心位置450R1R1（1+cos450

）=d,R1=mV01/qB粒子的运动还有另一种可能450R2第十二页，共三十七页，2022年，8月28日例题七如图所示，固定在竖直面内的半径为R的1/4光滑圆弧轨道AB底端的切线水平，并和水平光滑轨道BC连接．一根轻杆两端和中点分别固定有相同的小铁球（铁球可看作质点），静止时两端的小铁球恰好位于A、B两点．求：释放后杆和小球的最大速度。分析与解答把三小球组成的系统作为研究对象系统的机械能守恒以BC面的重力势能为零静止时为初态，初态机械能E1=mgR+mgR/2三个球全部到水平面时为终态，终态机械能为E2=3mV2/2E1=E2,3mgR/2=3mV2/2最大速度为第十三页，共三十七页，2022年，8月28日例题八下图是打秋千的示意图。最初人直立站在踏板上（A点所示），绳与竖直方向成θ角，人的重心到悬点O的距离为L1；从A点向最低点B运动过程中，人由直立状态自然下蹲，在B点人的重心到悬点O的距离为L2；在最低点处，人突然由下蹲状态变成直立状态(人的重心到悬点O的距离恢复为L1)且保持该状态到最高点C。设人的质量为m，踏板和绳的质量不计，空气阻力不计。求：（1）人刚到最低点B还处于下蹲状态时，两根绳中的总拉力F为多大？（2）人到达左端最高点C时，绳与竖直方向的夹角α为多大？（用反三角函数表示）

第十四页，共三十七页，2022年，8月28日例题八分析与解答以人为研究对象，自然下蹲是重力做功从A到B只有重力做功故机械能守恒减少的势能等于增加的动能mV2/2=mgL2-mgL1cosθ在最低点F-mg=mV2/L2

F=3mg-2mgL1cosθ/L2

从B到C，人在站立过程中克服重力作功机械能不守恒W人=mg(L2-L1)从A到C由动能定理

W人+W重力=0-0，W重力=mg[L1(1-cosθ)–L1（1-cosα)]cosθ-cosα=(L2-L1)/L1,cosα=cosθ-(L2-L1)/L1可见α大于θ，秋千摆得比A点高了。第十五页，共三十七页，2022年，8月28日练习题1、竖直向上射出的子弹，到达最高点又竖直下落，设空气阻力与速度成正比，并设整个运动过程中子弹沿一直线作变速运动，求子弹加速度最大和最小的时刻。W\分析与解答上升阶段加速度向下∵mg+f=ma∴a=g+f/m∵射出时速度最大，f最小∴上升阶段，子弹刚射出的时加速离最大。下落阶段mg>f′，加速度向下∵mg-f′=ma′a′=g-f′/m∵落地时瞬时速度最大，f′最大，a′最小∴从整个过程看，加速度最大时刻是射出瞬间，加速度最小时刻是落地瞬间。

第十六页，共三十七页，2022年，8月28日练习题2悬在O点的长为l的绝缘细线上挂着质量为m、带电量为+q的小球在水平向右的匀强电场的作用下，向右偏到45°角的位置平衡，如图所示，求：（1）电场强度；（2）小球在平衡位置做小角度摆动的周期；（3）若要小球能在竖直平面上完成一个完整的圆周运动，则应给小球施加的最小的切线方向的初速度为多少？

第十七页，共三十七页，2022年，8月28日练习题2思路点拨分析小球的受力情况即可解（1）E=mg/qmgEqF合BACD在D点小球的速度至少是多大？（3）、到了圆周上哪一点就可作完整的圆周运动？第十八页，共三十七页，2022年，8月28日练习3如图所示，A、B为相距为d的两平行金属板，A、B上电压为U，且A板电势高于B板。在A板上放一放射性钴60，它可不断地向右侧空间发射质量为m、电量为q的α粒子，发射的最大速度为v，B板内侧涂荧光粉，当α粒子轰击时发光。若α粒子不被B板反射，则B板上最大发光面积有多大？

须知粒子的速度方向是任意的。R第十九页，共三十七页，2022年，8月28日练习4如图所示，粗细均匀的U形管内装有某种液体，已知l=10cm，h=8cm。当此U形管在水平地面上以4m/s2的加速度向右做匀加速运动时，A、B两管中液柱的高度分别是多大？

在液面上任取一液滴作为研究对象GN它的合外力产生加速度a由图可知可把U形管类比为方形容器第二十页，共三十七页，2022年，8月28日解法二研究水平管内的液体，水平方向其受力图如下。ha=10cm,hb=6cm第二十一页，共三十七页，2022年，8月28日练习5小球从h=4m高处由静止开始自由下落到地面上。假设每次碰撞后弹起的高度为碰撞前落下高度的1/3，求直到小球停止弹跳时它通过的总路程？设碰撞中无能量损耗。

……S=（h1+2h2+2h3+2h4……）=8m第二十二页，共三十七页，2022年，8月28日练习6如图所示，金属棒a从高为h的光滑弧形导轨上自由滑下进入水平光滑且足够长的导轨，导轨电阻不计。水平导轨处于磁感应强度为B、方向竖直向上的匀强磁场中。水平导轨另一端放有金属棒b。设a、b两棒的质量和电阻分别为m和R，运动过程中两棒没有相碰。求b棒的最终速度和两棒在运动过程中所消耗电能的最大值？

棒a在弧形导轨上自由滑下其机械能守恒棒a进入磁场后两棒的动量守恒第二十三页，共三十七页，2022年，8月28日练习题7、人和冰车的总质量为M，另有一木球，质量为m，M/m=31/2，人坐在静止于水平冰面的冰车上，以速度V（相对地面）将原来静止的木球沿冰面推向正前方的固定挡板，球与冰面、车与冰面的摩擦均可不计，空气阻力也忽略不计．设球与挡板碰撞后，球被反向弹回，速率与碰前相等，人接住球后再以同样的速度V（相对地面）将球沿冰面向正前方推向挡板。问（1）人推球多少次后不能再接到球？（2）全过程中人做了多少功？分析与解答（1）取人、车和小球的整体作为系统此系统的动量在增加，其原因是墙壁对小球的冲量引起的小球每次与墙壁碰撞的过程中墙壁对小球的冲量等于2mV方向与冰车运动方向相同设经过第n次推球后小球经历与墙壁碰撞n次后向冰车运动全过程对系统运用动量定理，ΔP=2nmV=MV1+mV人接不到球的条件是V1≥V，代入数据得n=8.25，应取n=9（2）取n=9，全过程中系统增加的动能等于人做的功

第二十四页，共三十七页，2022年，8月28日练习8如图所示，边长为a的正方形线框放在均匀分布的磁场的空间中，磁感应强度方向与导线框平面垂直，其大小为B=Bmsinωt（T），则线框内的最大感应电动势Em为多大？

线框的磁通量其磁通量的变化规律与线框绕垂直于磁场的轴在匀强磁场中匀速转动时磁通量的变化规律相同。故第二十五页，共三十七页，2022年，8月28日练习题9、如图所示，劲度系数为K的轻质弹簧一端与墙固定，另一端与倾角为α的斜面体小车连接，小车置于光滑水平面上，在小车上叠放一个物体，已知小车的质量为M，物体的质量为m，小车处于O点时，整个系统处于平衡状态，现将小车从O点拉到B处，令OB=b，无初速度释放后，小车即在水平面上来回运动，而物体m和小车M之间始终没有相对运动，求：(1)小车运动到B点时加速度大小和物体m所受到的摩擦力的大小．(2)b的大小必须满足什么条件，才能使得小车和物体在一起运动的过程中，在某一位置时，物体和小车之间的摩擦力为零．

第二十六页，共三十七页，2022年，8月28日练习题9分析与解答（1）M与m组成的系统作简谐运动，Kx=（M+m）a在B点Kb=（M+m）ab,ab=Kb/（M+m）为求m的摩擦力必须研究m,m的受力图如下摩擦力的方向如何？mgNafα（2）摩擦力为零时，重力和支持力的合力作为回复力，此位置在O的左边画摩擦力为零时m的受力图如下mgNaxF合第二十七页，共三十七页，2022年，8月28日第二十八页，共三十七页，2022年，8月28日例4如图所示，光滑绝缘水平面上放有一个正电荷，电荷处于竖直放置的A、B板之间。开始电荷处于静止状态。当两板之间加上一个正弦交变电压时，电荷将做什么样的运动？

第二十九页，共三十七页，2022年，8月28日解析欲知电荷作什么运动应分析电荷的受力情况。水平方向仅受电场力作用。0—T/4内加速向前、加速度变大；T/4—T/2内加速向前、加速度变小。T/2时速度最大。T/2—3T/4内加速度反向，开始减速；3T/4—T内减速为零。T时刻速度为零。一直在前进。以后重复上述运动。第三十页，共三十七页，2022年，8月28日[考题回顾][例1]（2000年上海）据报道，1992年7月，美国“阿特兰蒂斯”号航天飞机进行了一项卫星悬绳发电实验，实验取得了部分成功、航天飞机在地球赤道上空离地面约3000km处由东向西飞行，相对地面速度大约6.5×103m/s，从航天飞机上向地心方向发射一颗卫星，携带一根长20km，电阻为800Ω的金属悬绳，使这根悬绳与地磁场垂直，做切割磁感线运动，假定这一范围内的地磁场是均匀的，磁感强度为4×10-5T，且认为悬绳上各点的切割速度和航天飞机的速度相同，根据理论设计，通过电离层（由等离子体组成）的作用，悬绳可产生约3A的感应电流，试求：（1）金属悬绳中产生的感应电动势；（2）悬绳两端的电压；（3）航天飞机经地球运行一周悬绳输出的电能（已知地球半径为6400km）。

E=BLV=5200VU=E-Ir=2800VW=Uitt=2π(R+h)/vW=7.6×107J第三十一页，共三十七页，2022年，8月28日[考题回顾][例2]（2001年上海）如图所示的一升降机箱底装有若干个弹簧，设在某次事故中，升降机吊索在空中断裂，忽略摩擦力，则升降机在弹簧下端触地后直到最低点的一段运动过程中（设弹簧被压缩过程中处于弹性限度内）： （ ）A、升降机的速度不断减小B、升降机的加速度不断变大C、先是弹力做负功小于重力做的正功，然后是弹力做负功大于重力做的正功D、到最低点时，升降机加速度的值一定大于重力加速度的值第三十二页，共三十七页，2022年，8月28日类比技巧可把升降机类比为一竖直方向的弹簧振子。图A是刚接触弹簧时mA图B是速度最大时mBmC平衡位置最大位移最大加速度刚接触弹簧时a=g图C是最低点可见最大加速度大于g正确选项是C、D第三十三页，共三十七页，2022年，8月28日[考题回顾][例