激光物理5-6.1-密度矩阵

推导激光的电磁场方程，又称兰姆自洽场方程求解兰姆方程，必需知道介质的宏观极化强度。由于工作物质是由大量的、处于不同运动状态前粒子所组成．所以在求宏观极化强度时，要接受量子统计中的密度矩阵方法。5、6章给出密度矩阵的定义、性质及运动方程，并给出二能级系统的密度矩阵及其同介质宏观极化强度之间的关系。5.1量子力学的基本概念若矢量波函数是二维的,则右矢表示为(5.1.1)是矢量空间的一组基矢,左矢表示为(5.1.2)定义:(5.1.3)算符A作用于波矢的结果为(5.1.5)本征波矢满足完备正交归一化条件;当运用该组本征波矢作为基矢时，波函数按基矢绽开(5.1.8)(5.1.9)归一化条件(5.1.13)本征值an的几率为(5.1.12)(5.1.15)则测量平均值<A>)5.2电偶极矩近似量子力学中的电偶极矩算符为5.2.1量子电偶极矩（5.2.2）若外界的扰动使电子处在两个能量本征态的叠加态，那么原子的波矢可以表示为(5.2.4)若考虑z方向的线偏振光与物质相互作用时电偶极矩的期盼值为(5.2.5)留意能级波函数具有奇偶性,留意固有偶极矩的矩阵元为零及得到若适当选取ua和ub的相位，使Dab为实数，这样就有Dab=D*ba=D。将此结果代入式（5.2.7)，得到(5.2.8)(5.2.7)式中原子在a、b能级间的跃迁频率；而(5.2.6)5.2.2电偶极矩近似当外场与原子相互作用时，原子系统的哈密顿算符将发生变更。为(5.2.10)（5.2.19）其中：（5.6.5）5.2.275.4、单色场对有衰减的二能级原子系统的作用原子总存在自发辐射，其它能级对两能级之间可能存在的跃迁，杂散辐射等。使原子的能量衰减。波函数其中：原子的哈密顿算符衰减算符满足5.2.46.2.145.4.195.4.20将及哈密顿算符H的表达式代入到薛定谔方程中，得到二能级原子系统的薛定谔方程(5.4.21）5.5拉比强信号解令γa=γb=γ(5.5.2）(5.5.4）(5.5.5）(5.5.3）将（5.5.3）两端微分，有将（5.5.2）（5.5.4）、（5.5.5）代入，有(5.5.6）一个二阶常数系数齐次微分方程，它有eiμt这种形式的解。令（5.5.4）~（5.5.6）以及上式代入（5.5.2），得到其解为：将（5.5.4）（5.5.5）、（5.5.6）代入（5.5.3），有其解为(5.5.7）(5.5.8）可将C’a0(t)与C’bo(t)的通解表示为：假定初始时刻原子处于b态得到(5.5.9）A与B的解为：(5.5.10）其中：(5.5.11）(5.5.12）初始时刻原子处于下能态b态，在辐射场的作用下，t时刻已跃迁到上能态a能态的几率为：(5.5.13）这就是拉比强信号解的结果(5.5.13）跃迁几率的变更将包括在exp(-t)指数衰减曲线包络内。如图（5-4）无阻尼的状况在强信号作用下，初始时刻处于b态的原子，跃迁到b能态的几率是等幅周期性变更的。如图（5-3）拉比频率强信号下的线性函数线宽功率加宽(5.5.15）(5.5.13）(5.5.16）第6章密度矩阵与自洽场理论每一个原子可看做一个系统，大量全同系统组成一个系综。纯粹系综：系综内的系统处于用波函数所描述的相同的微观态。混合系综：系综内的系统不是处于相同的微观态。对于纯粹系综，力学量A的平均值为：量子统计系综和力学量的平均值(5.1.5)6.1.密度算符与密度矩阵6.1.1算符的矩阵表达式量子力学中,系统的状态是用态矢描述的;进行某一物理量的测量,就是用相应的算符作用在态矢上。在量子力学中可以选取不同的表象。选择一种表象,意味着在矢量空间中选取一组满足正交归一化条件以及完备性的基矢,该组基矢可以是分立的,也可以是连续的。在该组基矢下,表示系统量子状态的态矢以及作用在态矢上的算符,都可以用一组数量表示,即用矩阵表示。假设所选择的基矢用|ui〉(i,j=1,2,...)表示,它是分立的,其所满足的正交性及完备性为将(t)向基矢ui绽开，则(6.1.3)(6.1.2)绽开系数Ci(t)，相当于态矢在|ui>上的投影,(6.1.4)力学量A的平均值为(6.1.6)(6.1.7)称Aij为算符A在表象中的矩阵元素。对于共轭算符A+,其矩阵元Aij+为(6.1.8)当一个算符是厄米算符(其本征值是实数)时,其对应的矩阵为厄米矩阵,即有:(6.1.9)厄米算符的矩阵表达式中，对角元为实数，而以对角线为对称的两个元素互为共轭复数。6.1.2密度矩阵纯态，定义密度算符ρ为ρ称为密度矩阵,有上式可得到(6.1.12)密度矩阵的矩阵元算符A的期盼值可表示为：(6.1.11)密度矩阵的性质（1）密度矩阵是厄米的（2）纯态的状况下,密度矩阵的对角元之和=16.1.146.1.15（3）纯态的状况下,密度矩阵是等幂的（4）、一个视察量的系综平均值<P>为矩阵(P)或(P)的迹,即6.1.176.1.166.1.20纯态的状况下该结论可推广到随意次幂同时也有(5)在表象间是么正变换的条件下,密度矩阵的迹和视察量的系综平均值并不变更设S为从“L”表象到“M”表象的变换矩阵，则6.1.3统计混合状态下密度矩阵算符的推广设系综由N个相同的量子力学系统所组成，其中有N1，N2，Nm个系统处在态，且N1+N2+……+Nm=N,pk=Nk/N为出现的几率。对与随意的子状态,令其密度矩阵ρk为6.1.236.1.246.1.25其归一化条件为(6.1.28)力学量A的平均值为：

6.1.26定义统计混合状态的密度算符ρ为：

(6.1.27)统计混合状态下的密度矩阵与纯态下的密度矩阵的区分在于,密度矩阵是不等幂的,而且满足:6.1.296.1.4密度矩阵元的意义6.1.30（1）密度矩阵的对角元素具有几率的意义表示第k个子状态的粒子处于|ui>态的几率，ii表示系综的粒子处在|ui>态的总几率.若单位体积内粒子数为N,那么Nii代表了处在|ui>态上粒子数密度非对角元通常被认为是系综各本征态间相干性的表现。(2)密度矩阵非对角元的意义6.1.32<A>不仅取决于密度矩阵的对角元,而且还取决于非对角元.各本征态|ui>中相应的平均值|ui>与|uj>之间的干涉效应对平均值的贡献6.2密度矩阵的运动方程密度矩阵的运动方程表示密度矩阵随时间的变更关系。与时间有关的薛定谔方程为设“L”表象中基矢为un(x)，令左乘u*l(x)，对整个空间积分，有：5.1.23(a)(b)对上式时间微分6.1.32同理并利用H的厄米性，H*mn=Hnm，6.2.1密度矩阵的运动方程:二能级原子系综的密度矩阵(静止原子情形)探讨二能级原子系综的密度矩阵及其运动方程的具体形式。激光有关的能级主要有两个。探讨静止原子情形。1.孤立原子系统的状态设二能级原子的两个能级的能量本征值分别为Ea和Eb，相应的本征函数为ua和ub,则孤立原子系统的状态可用如下的波函数表示其中：原子的哈密顿算符5.2.46.2.146.2.35.2.192、存在损耗原子系统的状态原子总存在自发辐射，其它能级对两能级之间可能存在的跃迁，杂散辐射等。使原子的能量衰减。波函数其中：原子的哈密顿算符衰减算符满足5.2.46.2.145.4.195.4.203、外场作用下原子的态其中H1是描述原子与辐射场相互作用的哈密顿算符，此时H与时间有关。原子的哈密顿算符左乘，对整个空间积分，有：5.4.20这是二能级原子系统在外场作用下几率振幅随时间的变更方程。知，可确定Ca(t)和Bb(t)，即可得同理，左乘，对整个空间积分，有：(c2)(c1)4、关于假设电场和原子的相互作用取偶极近似，那么就是电偶极子在外场中的能量5.2.27P为原子的电偶极矩。标量近似.。>>原子线度d，可以认为在原子体积中E是常数。于是式(c)中各微扰能的矩阵元为：5.2.9Daa、Dbb、Dab、Dba电偶极矩矩阵元（固有、感生）r是奇宇称算符，假如a态和b态都具有确定的宇称，必定有Daa=Dbb=0，另外，从式(5.2.9）的积分看出，Dab=D*ba。因为波函数可以相差一个相位因子，若适当选取ua和ub的相位，使Dab为实数，这样就有Dab=D*ba。所以Vab=Vba=-EDab=-EDba=-ED。式(c）可写成(6.2.13a）(6.2.13b）5.二能级原子系综的密度矩阵为了将上述方程表示成密度矩阵的形式，可做如下变换：以Ca*右乘式(6.2.13a)，然后减去以Ca左乘式(6.2.13a)的复数共辄式，得到Cb*右乘式(6.2.13b)-Cb左乘式(6.2.13b)的复数共辄式，(d1)(d2)以上（d1~d3)是单个原子几率振幅随时间变更所满足的方程．Cb*右乘式(6.2.13a)-Ca左乘式(6.2.13b)的复数共辄式，(d3)(d4)又考虑统计混合系综时,为求得整个系综的宏观统计行为,可对式(d1）~(d2）中的各项取系综平均值，即用按密度矩阵定义，可将二能级结构的原子系综的密度矩阵写成(6.1.11),(6.1.31),(6.1.32)(6.2.16)式中0——原子在a、b能级间的跃迁频率；

ab——两个能级的平均衰减率。(6.2.17)6、有激发时的密度矩阵可写成矩阵方程(6.2.20)考虑当原子系综在外界激励作用下，它们的密度矩阵随时间的变更规律。(6.2.7)(6.2.16a)λa(t0)dt0是单位体积中，在时间间隔(t0，t0+dt0)内激发到a态的平均原子数，定义ρ(a,t)代表t时刻被激发到a态的单位体积的粒子数矩阵或称为集居数矩阵(e1)t0时刻原子处于a态以后，t时刻（不存在激发)的密度矩阵，它遵从运动方程(6.2.16）。初始条件为(e2)两端对时间求导用运动方程式(6.2.16)代入，有(e3)(e4)H、Γ提出积分号外同样可以导出在有外界激励的状况下系综处于状态b的集居数矩阵(e5)(e6)由于在外界激励作用下，原子可分别被激发到二能级的任一能级之上，因此描述系综的总的集居数矩阵应表为两种能级状态的集居数矩阵的线性叠加(e7)(e8)将式（6.2.21）具体写出来，就是(6.2.21)(6.2.19)其中代表激发矩阵式（e5）+式（e6)，可得总的集居数矩阵的运动方程为(6.2.18)(6.2.18)在单位时间内，由于外界激发而使得上能级的原子数得增加率（a），由于自发辐射或其它弛豫过程使该能级上得原子数目得衰减（-aaa），以及由于受激辐射而使得上能级数目的削减能级a的原子数随时间的变更来源于密度矩阵元运动方程可以用微扰迭代法求解.若原子初始处在上能级上,则有(6.2.22)代入(6.2.18)中ρab运动方程得一阶近似将代入(6.2.18)中ρaa、ρaa运动方程得二阶近似以此类推，可以得到(6.2.23)2.4二能级原子系综的密度矩阵（运动原子情形）静止原于的密度矩阵一般只适用于固态工作物质。本节讨抡二能级运动原子酌密度矩阵，其结论可以用于气体工作物质。必需留意运动原子的速度分布和位置变更所带来的困难性。由于原子具有z方向的运动速度v，所以在t0时刻位置z处如被激发到a态的原子在时刻t已不在z处，这部分原子对z处t时刻的密度矩阵没有贡献。只有那些满足条件z+z0+v(t-t0)的原子，即在t0时刻位置z0处被激发，以速度v运动并在时刻t恰好到达z的原子才对ρ(z,t)有贡献。设ρ(a，z0，t0，v，t)表示在无外界激励作用时，由轴向速率为v的原子系统组成的系综在t时刻的密度矩阵。系综内的原子在t0时刻位于z0处并且处干a态(或在时刻t0被激发到a态．t0以后就不受到激发作用），则ρ(a,z0,t0,v,t)遵从运动方程（2.3.30）。用λa(z0，t0，v)表示在时刻t0位置z0旁边单位时间单位体积内向a态激发的、速度在v旁边单位速度间隔内的乎均原子数。ρ(z，v，t)表示速度在v旁边单位速度间隔的原子所组成的系综在t时刻位置z处的集居数矩阵，则有初始条件式(2.4.1)包含了对激发时间、激发地点的积分以及对状态a、b的求和。其中δ函数保证只计及在t时刻能够进入考察位置z旁边单位体积之内的那些原子，z=z0+v(t-t0)。(2.4.1)将式（2.4.1）对t求导利用δ函数性质及初始条件(2.4.2)、（2.4.3），并利用上式可写成利用了式(2.4.1)（2.4.4）将它代人式(2.4.4)，由干H、Γ均不是t0、z0的函数，故提出积分号外，其他不能提出部分对dt0、dz0积分，即为ρ(z，v，t)。于是方程(2.4.4)可写成密度矩阵应遵守(2.3.30)上式即为运动原子的集居数矩阵的运动方程，式中的ρ均指ρ(z，v，t)。这一方程和静止原于的式（2.3.41）或式（2.3.44）有完全相同的形式，所不同的是：①对于运动原子，ρ的变更率包括由时间推移干脆产生的变更率和由于原子运动造成的变更率两部分，静止原子因为是不动的，所以其次部分为零。