2023年湖南省湘潭市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案)

2023年湖南省湘潭市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.设k＞0，则级数为()．A.A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.收敛性与k有关

2.∫-11(3x2+sin5x)dx=()。A.-2B.-1C.1D.2

3.

4.

5.

6.

7.

8.曲线Y=x-3在点(1，1)处的切线的斜率为()．

A.-1

B.-2

C.-3

D.-4

9.

()A.x2

B.2x2

C.xD.2x

10.

11.

12.设f(x)在点x0处连续，则下列命题中正确的是()．A.A.f(x)在点x0必定可导B.f(x)在点x0必定不可导C.必定存在D.可能不存在13.A.A.

B.

C.

D.

14.

15.图示悬臂梁，若已知截面B的挠度和转角分别为vB和θB，则C端挠度为()。

A.vC=2uB

B.uC=θBα

C.vC=uB+θBα

D.vC=vB

16.

17.A.A.

B.

C.

D.

18.A.A.1

B.3

C.

D.0

19.

20.

二、填空题(20题)21.22.

23.

24.

25.26.27.设曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，则该切线方程为______．28.微分方程y"=y的通解为______．

29.

30.

31.

32.

33.

34.35.微分方程xy'=1的通解是_________。

36.

37.设y1(x)、y2(x)是二阶常系数线性微分方程y″+py′+qy=0的两个线性无关的解，则它的通解为______．

38.

39.

40.三、计算题(20题)41.42.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

43.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．44.求曲线在点(1，3)处的切线方程．45.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则

46.

47.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

48.

49.证明：50.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．51.

52.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

53.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．54.55.

56.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．57.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．58.求微分方程的通解．

59.

60.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．四、解答题(10题)61.y=xlnx的极值与极值点．

62.

63.求由曲线y2=(x-1)3和直线x=2所围成的图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积.

64.

65.

66.67.68.

69.

70.五、高等数学(0题)71.

在t=1处的切线方程_______。

六、解答题(0题)72.

参考答案

1.A本题考查的知识点为级数的绝对收敛与条件收敛．

由于为莱布尼茨级数，为条件收敛．而为莱布尼茨级数乘以数-k，可知应选A．

2.D

3.C

4.A

5.D

6.C

7.C

8.C点(1，1)在曲线．由导数的几何意义可知，所求切线的斜率为-3，因此选C．

9.A

10.C解析：

11.D

12.C本题考查的知识点为极限、连续与可导性的关系．

函数f(x)在点x0可导，则f(x)在点x0必连续．

函数f(x)在点x0连续，则必定存在．

函数f(x)在点x0连续，f(x)在点x0不一定可导．

函数f(x)在点x0不连续，则f(x)在点x0必定不可导．

这些性质考生应该熟记．由这些性质可知本例应该选C．

13.D

14.B

15.C

16.B

17.A

18.B本题考查的知识点为重要极限公式．可知应选B．

19.A解析：

20.C21.122.本题考查的知识点为重要极限公式。

23.3

24.

本题考查的知识点为二重积分的计算．

25.

26.2本题考查了定积分的知识点。27.y=f(1)本题考查的知识点有两个：一是导数的几何意义，二是求切线方程．

设切点为(x0，f(x0))，则曲线y=f(x)过该点的切线方程为

y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)．

由题意可知x0=1，且在(1，f(1))处曲线y=f(x)的切线平行于x轴，因此应有f'(x0)=0，故所求切线方程为

y=f(1)=0．

本题中考生最常见的错误为：将曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程写为

y-f(x0)=f'(x)(x-x0)

而导致错误．本例中错误地写为

y-f(1)=f'(x)(x-1)．

本例中由于f(x)为抽象函数，一些考生不习惯于写f(1)，有些人误写切线方程为

y-1=0．28.y'=C1e-x+C2ex

；本题考查的知识点为二阶常系数线性齐次微分方程的求解．

将方程变形，化为y"-y=0，

特征方程为r2-1=0；

特征根为r1=-1，r2=1．

因此方程的通解为y=C1e-x+C2ex．

29.2/330.2xsinx2；本题考查的知识点为可变上限积分的求导．

31.e

32.R

33.1

34.35.y=lnx+C

36.37.由二阶线性常系数微分方程解的结构可知所给方程的通解为

其中C1，C2为任意常数．

38.

39.40.本题考查的知识点为幂级数的收敛区间。由于所给级数为不缺项情形，

41.

42.

43.

44.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

45.由等价无穷小量的定义可知

46.

47.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

48.

则

49.

50.由二重积分物理意义知

51.

52.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

53.

54.

55.由一阶线性微分方程通解公式有

56.函数的定义域为

注意

57.

58.

59.

60.

列表：

说明

61.y=xlnx的定义域为x＞0y'=1+lnx．令y'=0得驻点x1=e-1．当0＜x＜e-1时y'＜0；当e-1＜x时y'＞0．可知x=e-1为y=xlnx的极小值点．极小值为y=xlnx的定义域为x＞0y'=1+lnx．令y'=0得驻点x1=e-1．当0＜x＜e-1时，y'＜0；当e-1＜x时，y'＞0．可知x=e-1为y=xlnx的极小值点．极小值为

62.

63.注:本题关键是确定积分区间,曲线为y2=(x-