概率论期中论文

概率论与统计学摘要：统计学是应用数学的一个分支，主要通过利用概率论建立数学模型，收集所观察系统的数据，进行量化的分析、总结，并进而进行推断和预测，为相关决策提供依据和参考，他的起源及发展都有比较悠远的历史，在生活中也有比较广泛的应用。关键词：起源，发展，含义，内容，应用。从中学起就接触了概率这本课程，当时只觉得它是个神奇的东西，竟能估计在不同条件下某事发生的概率，最重要的一点是：它让我认识到了我一直以来的一个错觉，也是生活中常见的事。就拿抽奖来说吧，假使有五张奖券里面只有一张能兑奖，由五个人分别来抽，必然有人会先抽有人会后抽，在没学概率论之前我一直认为先抽的人获奖的概率比较大，在我看来如果他抽走了奖券那后面的人岂不是一点获奖的机会也没有，但事实不是这样的，概率论告诉我们无论先抽还是后抽，每个人的获奖几率均为1/5，所以说概率论是一个神奇的东西。下面就让我们来了解一下概率论吧！概率论的起源说起概率论起源的故事，就要提到法国的两个数学家。一个叫做帕斯卡，一个叫做费马。帕斯卡是17世纪有名的“神童”数学家。费马是一位业余的大数学家，许多故事都与他有关。

帕斯卡认识的朋友中有两个是赌徒。

1651年，法国一位贵族梅累向法国数学家、物理学家帕斯卡提出了一个十分有趣的“分赌注”问题。这两个赌徒说，他俩下赌金之后，约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金。赌了半天，A赢了4局，B赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了。那么，这个钱应该怎么分？是不是把钱分成7份，赢了4局的就拿4份，赢了3局的就拿3份呢？或者，因为最早说的是满5局，而谁也没达到，所以就一人分一半呢？

这两种分法都不对。正确的答案是：赢了4局的拿这个钱的3／4,赢了3局的拿这个钱的1／4。

为什么呢？假定他们俩再赌一局，或者A赢，或者B赢。若是A赢满了5局，钱应该全归他；A如果输了，即A、B各赢4局，这个钱应该对半分。现在，A赢、输的可能性都是1／2,所以，他拿的钱应该是1／2×1＋1／2×1／2＝3／4,当然，B就应该得1／4。

这个问题可把他难住了，他苦苦思考了两三年，到1654年才算有了点眉目。于是他写信给的好友费马，两人讨论结果，取得了一致的意见：梅累的分法是对的，他应得64个金币的，赌友应得64金币的。

通过这次讨论，开始形成了概率论当中一个重要的概念—————数学期望。

在上述问题中，数学期望是一个平均值，就是对将来不确定的钱今天应该怎么算，这就要用A赢输的概率1／2去乘上他可能得到的钱，再把它们加起来。概率论从此就发展起来，今天已经成为应用非常广泛的一门学科。

这时有位荷兰的数学家惠更斯在巴黎听到这件新闻，也参加了他们的讨论。讨论结果，惠更斯把它写成一本书叫《论赌博中的计算》（1657年），这就是概率论最早的一部著作。概率论的发展使概率论成为数学一个分支的另一奠基人是瑞士数学家雅各布-伯努利［1654-1705］。他的主要贡献是建立了概率论中的第一个极限定理，我们称为“伯努利大数定理”，即“在多次重复试验中，频率有越趋稳定的趋势”。这一定理更在他死后，即1713年，发表在他的遗著《猜度术》中。到了1730年，法国数学家棣莫弗出版其著作《分析杂论》，当中包含了著名的“棣莫弗—拉普拉斯定理”。这就是概率论中第二个基本极限定理的原始初形。而接着拉普拉斯在1812年出版的《概率的分析理论》中，首先明确地对概率作了古典的定义。另外，他又和数个数学家建立了关于“正态分布”及“最小二乘法”的理论。另一在概率论发展史上的代表人物是法国的泊松。他推广了伯努利形式下的大数定律，研究得出了一种新的分布，就是泊松分布。概率论继他们之后，其中心研究课题则集中在推广和改进伯努利大数定律及中心极限定理。概率论发展到1901年，中心极限定理终于被严格的证明了，及后数学家正利用这一定理第一次科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从以正态分布。到了20世纪的30年代，人们开始研究随机过程，而著名的马尔可夫过程的理论在1931年才被奠定其地位。而苏联数学家柯尔莫哥洛夫在概率论发展史上亦作出了重大贡献，到了近代，出现了理论概率及应用概率的分支，及将概率论应用到不同范畴，从而开展了不同学科。因此，现代概率论已经成为一个非常庞大的数学分支。概率统计的含义和内容（一）概率统计的含义研究自然界中随机现象统计规律的数学方法，叫概率统计，又称数理统计方法。在自然界和现实生活中，事物间因果联系的必然与否，导致了两类截然不同的现象：一是确定性现象，即在一定条件下，必定会导致某种确定结果。例如，标准大气压下的水加热到100摄氏度时必然沸腾。这种必然性便是一般的自然学科研究的内容。二是不确定性现象，即在一定条件下，事件结果不确定。如，同一工人用同一台机床加工同种零件若干个，它们的尺寸和寿命总会有一定差异。一个事件的结果会受到许多因素的影响，当其中某些因素不能被人们事先掌握，便无法得出确切的结果。这种现象也叫随机现象。实践证明，当同类随机现象大量重复出现时，它的总体就呈现出一定的规律性，这种规律性会随着观察次数的增多而愈加明显。这种集体的规律性叫统计规律性。概率论和数理统计就是研究这种统计规律性的数学学科。（二）概率统计的内容概率论作为一门数学分支，它所研究的内容一般包括随机事件的概率、统计独立性和更深层次上的规律性。概率是随机事件发生的可能性的数量指标。任何事件的概率值一定介于0和1之间。随机现象产生的结果构成了随机事件。如果用变量来描述随机现象的各个结果，就叫做随机变量。一切可能的取值能够按一定次序一一列举，这样的随机变量叫做离散型随机变量；如果可能的取值充满了一个区间，无法按次序一一列举，这种随机变量就叫做非离散型随机变量。在离散型随机变量的概率分布中，比较简单而应用广泛的是二项式分布。如果随机变量是连续的，则会有一个分布曲线。实践和理论都证明：有一种特殊而常用的分布，它的分布曲线是有规律的，这就是正态分布。正态分布曲线取决于这个随机变量的一些表征数，其中最重要的是平均值和差异度。平均值也叫数学期望，差异度也就是标准方差。数理统计包括抽样、适线问题、假设检验、方差分析、相关分析等内容。抽样检验是要通过对子样的调查，来推断总体的情况。究竟抽样多少，这是十分重要的问题，因此，在抽样检查中就产生了“小样理论”，这是在子样很小的情况下，进行分析判断的理论。适线问题也叫曲线拟和。有些问题需要根据积累的经验数据来求出理论分布曲线，从而使整个问题得到了解。根据什么原则求理论曲线、如何比较同一问题中求出的几种不同曲线、选配好曲线后如何判断它们的误差等问题，都属于数理统计中的适线问题的讨论范围。假设检验是只在用数理统计方法检验产品的时候，先作出假设，再根据抽样的结果在一定可靠程度上对原假设做出判断。方差分析也叫做离差分析，即用方差的概念去分析由少数试验就可以作出的判断。由于随机现象在人类的实际活动中大量存在，概率统计随着现代工农业、近代科技的发展而不断发展，因而形成了许多重要分支。如：随机过程、信息论、极限理论、试验设计、多元分析等。概率论的应用概率论在生活中的应用非常广泛，概率学可以说是各种预测的基石，它是研究随机现象数量规律的一门数学学科.生活中我们常说一件事成功的概率是零，也就是指这件事成功率很低.如发生在我国汶川的地震、某人中彩票等等实例.可以看出，概率通过某些事件反复实践得出规律，从而作出合理的判断和预测，体现概率对决策的作用，因此概率问题的应用便成了近年来现实生活中常见的方向.下面通过一个例子说明概率论在生活中应用：例：某大型商场对某种原来售价2500元的家用电器进行“让利”促销活动，推出先使用后付款的方式。设该家用电器的使用寿命为（单位：年），规定：

一台付款1500元 一台付款2000元

一台付款2500元

一台付款3000元已知寿命服从参数为1/10的指数分布，试估算该商场在促销活动中销售一台家电时利润是降低了还是提高。为此需求出在促销活动中该电器售价的数学期望，先求出寿命落在各时间区间内的概率，因为寿命服从参数为1/10的指数分布，所以其概率密度为，的期望为1624，由大数定律知，促销活动中该电器的平均售价约为2732元，每台电器利润提高了232元。相信通过以上介绍大家对概率论已经有了一