2015届高考数学文科一轮总复习资源6数列第六篇

第1 数列的概念与简单表示1．

定义：如果数列{an}的第n项n与项数n之间的函数关系可以用一个来表示那么这个就叫做数列的通项记为an＝f(n)(n∈)数列可以用通项来描述，也可以通过列表或图象来表示．开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个来表示，＋M，使an3.nSnanSnan＝{S1，n＝1，1,2,3,4,5,66,5,4,3,2,1表示同一数列．(×)(3)(练习改编)数列1,0,1,0,1,0，…的通项，只能是(5)(2013·开封模拟改编)Sn＝3n＋1an＝2·3n－1.(×)一个区别“数列”与“数集

三个防范一是注意数列不仅有递增、递减数列，还有常数列、摆动数列，Snann＝1的特殊情形，如考点一【例1】根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项 2，2，2，8，25,55,555,5解(1)偶数项为正，奇数项为负，故通项必含有因式(－1)n，观察各项的绝1×3,3×5,5×7,7×9,9×11 的一个通 为 2n－1 察．即2，2，2，2，2，…，从而可得数列的一个通 为an＝2

将原数列改写为9×9，9×99，9×9999,99,999910n－1，故所求的数列的一个通项9规律方法根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面【训练1】根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项 解(1)21,22,23,242,3,4

21－3

23－31项变为－2

21

22

23

24因此可得数列的一个通 为an＝(－1)n·2n

7，可得分子的通项为bn＝2n＋1，对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n2}，可得分母的通项为cn＝n2＋1，因此可得数列一个通 为考点二anSn【例2】(2012·卷)设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，Tn＝2Sn－n2，n∈N*.(1)a1(2)求数列{an}的通项解(1)n＝1(2)n≥2n＝1时，a1＝S1＝1也满足上式，Sn＝2an－2n＋1(n≥1)，n≥2时，Sn－1＝2an－1－2(n－1)＋1，an＝2an－2an－1－2，an＝2an－1＋2(n≥2)an＋2＝2(an－1＋2)，a1＋2＝3≠0，所以数列{an＋2}32的等比数列．an＋2＝3×2n－1，∴an＝3×2n－1－2，n＝1时也成立，SnananSn－Sn－1＝an(n≥2)转化为an的递推关系，再求其通项；二是转化为Sn的递推关系，先Snnan.【训练2】(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则其通项 (2)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则 解析(1)n＝1n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5.显然当n＝1时，不满足上式，故数列的通项为an＝(2)∵Sn＝2an＋1n≥2即

n＝1

答案

考点三由递推求数列的通项3】在数列{an}(1)若a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则通项 (2)若a1＝1，an＋1＝3an＋2，则通项 审题路线(1)an＋1－an＝n＋1⇒＋…＋(an－an－1)⇒得出(2)

＋1＝3(a

a

⇒an＋1＝3⇒用累乘法或迭代法可求解析(1)n≥2 又 ＋1，符合上式因此 (2)an＋1＝3an＋2，即an＋1＋1＝3(an＋1)，

法

乘 因为a1＝1

＝3n，即an＋1＝2×3n－1(n≥1)，所以1(n≥2)a1＝1法二

＝3n≥2n＝1时，a1＝1＝2×31－1－1

规律方法数列的递推关系是给出数列的法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项由递推关系求数列的通项常用的方法有3设{an}1的正项数列，且 1,2,3，…)，则它的通项 nn解析nn即an＋1＝n，∴a2a3a4a5…·an

aaaaaa答案n

· 12

n，∴ 求数列通项或指定项，通常用观察法(对于交错数列一般用(－1)n或(－1)n＋1Snan

a1ananSn的关系的数列题均可考虑上“an＋1＝pan＋q”an＋1＋λ＝p(an＋λ)，由待定系数法求出5——【典例】数列{an}的通项是k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最n∈N*an＋1＞an.k解(1)n2－5n＋4＜0

(2)由an＋1＞an知该数列是一个递增数列，又因为通项an＝n2＋kn＋4，可n

，所以－2＜2[感悟](1)本题给出的数列通项可以看做是一个定义在正整数集N*上的(3)易错分析：本题易错答案为k＞－2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即设an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值 解析

答案 2解析设f(n)＝an＝n2＋λn，其图象的对称轴为直线n＝－λ，要使数列{an}2增数列，只需使定义在正整数上的函数f(n)为增函数，故只需满足－λ＜3，即 答案(建议用时：40分钟在数列{an}中，an＋1＝an＋2＋an，a1＝2，a2＝5，则a6的值 解析an＋1＝an＋2＋an答案－3若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝n，则1 n 解析当n≥2时 －n 答案在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则通项an＝ 解析由an＋1－an＝n＋1，可得an－an－1＝n，…n－1 答 4(2014·贵阳模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn且Sn＝2n2－1则 解析答案5．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项 解析法一(构造法)由已知整理得

＝n，∴数列n 且

n

法二(累乘法)：n≥2时 … a两边分别相乘得an＝na1答案6(2013·an＝－2＋10n＋1 解析易知a1＝20>0，显然要想使和最大，则应把所有的非负项求和即可，令是最后一个正项，a11＝0，故前10或11项和最大．答案107．(2014·广州模拟)设数列{an}满足通项

n

{an}3解析∵a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝nn≥23

n－1＝3

知，a1＝1，符合上式，∴an＝1 答案an＝8．(2013·淄博二模)在如图所示的数阵中，第9行的第2个数 解析每行的第二个数构成一个数列{an}

an＝n2－2n＋a2＝n2－2n＋3(n≥2)答案9．(2013·梅州调研改编)f(x)＝2x－2－x，数列{an}f(log2an)＝－2n.(2)证明：数列{an}是递减数列(1) a∴2log2an－2－log2an＝－2n，∴an－1an∴a2＋2na－1＝0a＝－n± ∵an＞0，∴an＝(2)

an＝∵an＞0，∴aa＋1＜an，∴数列{an}是递减数10．设数列{an}nSn.(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项(2)an＋1≥an，n∈N*a的取值范围．解(1)依题意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，Sn＋1＝2Sn＋3n，S1－31＝a－3(a≠3)，故数列{Sn－3n}a－32的等比数列，因此，所求通项为bn＝Sn－3n＝(a－3)2n－1，n∈N*.(2)由(1)——n＝1时，a1＝aan＝＋an＋

a2＝a1＋3>a1.

a的取值范围是(建议用时：25分钟1．已知数列{an}的通 为 ，则满足

＋1＜an的n 解析由an＋1＜an，得an＋1－an＝ 22答案

数列{an}满足∈N*，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围 解析∵数列{an}

答案3．在一个数列中，如果∀n∈N*anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且＝2，公积为8，则 解析答案4．已知数列{an}nSna2an＝S2＋Snna1，a2设a1>0，数列

nTn.n为何值时，TnTnana解(1)n＝1a2a1＝S2＋S1＝2a1＋a2，①n＝2a2＝2a＋2a，② a2(a2－a1)＝a2.③a2＝0a1＝0.a2≠0，由③知由①④解得，a1＝2＋1，a2＝2＋2；a1＝1－2，a2＝2－2.－－(2)a1>0时，由(1)a1＝2＋1，a2＝n≥2时，有(2＋2)an＝S2＋Sn，(2＋∴(1＋2)an＝(2＋2)an－1an＝∴an＝a1(2)n－1＝(2＋1)·(2)n－1.

lgbn＝1－lg(

－1)lg

∴数列{bn}是单调递减的等差数列

b1>b2>…>b7＝

lg8>lgn≥8时，bn≤b8＝1lg100<1lg2128n＝7时，TnTnT

71＋1－3lg

＝7－2lg第2 等差数列及其前n项

常用字母“d”表示)an－an－1＝d(n≥2，n∈N)．a，A，bAabA＝2a1＋(n－1)dmamdanan＝am＋(n－m)d.等差数列的公差

＝n－1

若数列{an}是等差数列，则an－am＝(n－m)d(n、a1＋an＝a2＋an－1.m，kkSk，S2k－Sk，S3k－S2kk2d.2n的等差数列{an}S2n＝n(a1＋a2n)＝n(a2＋a2n－1)＝…＝n(an＋an＋1)(anan＋1为中间的两项)，S偶，＝S，＝奇S奇S偶

an2n－1的等差数列{an}S2n－1＝(2n－1)an(an为中间项＝S n＝S－S＝a

S n

(1)：若已知首项a1和末项an，则

，或等差数列{an}的首项a1，公差是d，则其前n项和为

d 等差数列的前n项和 数列的充要条件是Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．最值问题：在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0Sn＞0Sn

2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等(3)(习题改编)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项为n的一次函等差数列的通项与前n项数列{an}n∈N*2an＋1＝an＋an＋2.(√)(5)等差数列{an}d决定的．(√)(6)等差数列的前n项和是常数项为0的二次函数．(×)(7)(2012·福建卷改编)在等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公 一点注意等差数列概念中的“2项起”与“同一个常数”(1)等差数列与函数的区别一是当公差d≠0时，等差数列的通项是n的一d＝0时，an为常数，如(3)0nd决定的，如(8)an＝3n－12nan＝3n2－12nan＝n＋1，则满足已知，但an＝1＋1 an＋3nd＝4dn＋m是递增数列考点一1在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(2)若数列{an}kSk＝－35k解(1)设等差数列{an}d由a1＝1，a3＝－3，可得d＝－2.(2)由(1)

＝2n－n进而由Sk＝－35可得2k－k2＝－35.k2－2k－35＝0，解得k＝7或－5.k∈N*k＝7为所求．(2)数列的通项和前n项和在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等1】(1)(2013·浙江五校联考)已知等差数列{an}10，则它的前10项的和 2(2)记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S4＝20，则 2解析(1)设等差数列{an}a1

∴S

(2)设公差为d，由 得

1

解得

2答案

考点二2】(2014·梅州调研改编)若数列{an}nSn1

(1)求证 (2)求数列{an}的通项审题路线(1)an＝Sn－Sn－1(n≥2)SnSn－1的式子⇒1⇒利用定义证明⇒得出结论S(2)由(1)求1⇒再求Sn⇒再代入条件Sn

证 当n≥2时，由

11，所以 1

又＝＝2，故 是首项为2，公差为2的等差数列 (2) 由(1)可得1＝2n，∴Sn＝1n≥2a＝S

2n＝1时，a1＝121故

规律方法证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种：一是定义法，证明＋2】已知数列{an}满足：a1＝2，an＋设bn＝ 证明：数列{bn}为等差数列，并求{an}的通项aa

证明

∴{bn}为等差数列，又

考点三【例3】(1)(2013·卷改编)设Sn为等差数列{an}的前n项和－2，则 (2)在等差数列{an}m302m1003m 解析

(2)记数列{an}nSnn答案(1)－6(规律方法巧妙运用等差数列的性质，可化繁为简；若奇数个数成等差数列且和a－daa＋da－da＋d元．和为67，前n项和Sn＝286，则n＝ (2)已知等差数列{an}中，S3＝9，S6＝36，则 解析(1)由等差数列的性质知

， (2)∵{an}为等差数列∴S3，S6－S3，S9－S6答案 定义法：an＋1－an＝d(d是常数)⇔{an}等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列通项：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列前n项和：Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)⇔{an}是等差数列．2a1d4——整体代入法(整体相消法)【典例】(1)(2012·辽宁卷改编)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝ (2)(2013·卷)若等比数列{an}满足：a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比 ；前n项和 [一般解法](1)设数列{an}da4＋a8＝16即a1＝8－5d，所以S11＝11a1＋ (2)由a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，得

a1q＋a1q

＝

[优美解法1)a1＋a11＝a4＋a8＝16

(2)由已知，

a1＝2，所以

[感悟]整体代入法是一种重要的解题方法和技巧简化了解题过程节省了在等差数列{an}中，已知Sn＝m，Sm＝n(m≠n)，则 解析设{an}dS

n n得 ②－①得 m＋n－1 答案

(建议用时：40分钟1．(2013·肇庆二模)在等差数列{an}中，a15＝33，a25＝66，则 解析答案通项an＝ 解析a1＝1，S3＝9a1＋a2＋a3＝93a1＋3d＝9答案3．(2013·温州二模)Sn为等差数列{an}n项和，若S3－S2＝1.

解析由3－2＝1， 答案a9等于 解析3a6＝15，a6＝5.答案5．(2013·揭阳二模)在等差数列{an}a1＝0d≠0＋…＋a9，则m的值 解析am＝a1＋a2＋…＋a9，得答案 解析d

a＝a＋6dd＝2.

答案 解析在等差数列中 答案2，则

1解析S5＝5a1

答案9．(2013·福建卷)已知等差数列{an}d＝1n(1)1，a1，a3(2)S5＞a1a9a11解(1)因为数列{an}d＝11，a1，a312)a2－a－2＝0a＝－1 (2)因为数列{an}的公差d＝1，且S5＞a1a9，所以5a1＋10＞a2＋8a1，即 10＜0a1的取值范围是10．(2013·西安模拟)已知公差大于零的等差数列{an}nSn，且满足(1)求数列{an}的通项＝(2)若数列{bn}满足 Sn是否存在非零实数c使得{bn}为等差数列？若存在，＝c解(1)设等差数列{an}dd＞0a3，a4xx2－22x＋117＝0a3＝9，a4＝13，易知a1＝1，d＝4an＝1＋(n－1)×4＝4n－3.

(2)由(1)

＝2n2－n，所以 ，b ，b法一所以 1 ，b ，b

2令2b2＝b1＋b3，解得2 c＝－2

1nnn≥22故当c＝－1时，数列{bn}为等差数列2

Sn

法二bn＝n

c2∵c≠0c＝－12∴数列{bn}22即存在一个非零常数c＝－1，使数列{bn}也为等差数列2

(建议用时：25分钟130，则 ＋an)＝120，a1＋an＝30，由 ＝210，得答案等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝13，S3＝S11，当Sn最大时，n的值 解析法一S3＝S11a4＋a5＋…＋a11＝0＋a8＝013a7＞0，a8＜0＝7时，Sn法二S3＝S113a1＋3d＝11a1＋55da1＝13d＝－2＝13n－n(n－1)＝－n2＋14n，根据二次函数的性质，知当n＝7时，Sn最大．法三nn次函数以及二次函数图象的对称性得只有当 Sn答案3(2014·九江一模)正项数列{an}满足a1＝1a2＝2,2a2＝a2＋1＋a2－1(n∈N*n≥2)，则

nnnn1nnnn121nnd＝a2－a2＝4－1＝3为公差的等差数列，所以a2＝1＋3(n－1)＝3n－2，所以21nn 3n－2，n≥1.所以 3×7－2＝答 4．(1)已知两个等比数列{an}，{bn}a1＝a(a＞0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3，若数列{an}a的值；(2)是否存在两个等比数列{an}，{bn}，使得b1－a1，b2－a2，b3－a3，b4－a4解(1)设{an}qb1＝1＋a，b2＝2＋aq，b3＝3＋aq2b1，b2，b3a＞0得，Δ＝4a2＋4a＞0，故方程*3再由{an}唯一，知方程*0q＝0代入方程*3(2)假设存在两个等比数列{an}，{bn}使b1－a1，b2－a2，b3－a3，b4－a4差不0的等差数列．q1{bn}q22121331211b4－a4＝bq3－a1211

1 1b1－a1，b2－a2，b3－a3，b4－a412112b1q2－a1q1＝b1－a1＋bq2－a1211121112112bq2－aq2＝b1q2－a1q1＋bq3－a12111211 b1q2q2－12－a1q1q1－12＝0.①×q2a1(q1－q2)(q1－1)2＝0，a1≠0q1＝q2q1＝1.q1＝q2b1＝a1q1＝q2＝1，这时(b2－a2)－(b1－a1)＝0，与公差不为0．为0．综上所述，不存在两个等比数列{an}，{bn}b1－a1，b2－a2，b3－a3，b4－a4成0的等差数列．第3 等比数列及其前n项

q

ana，G，bGab＝±ab(ab>0)．在等比数列中，从第二项起每一项(有穷数列最后一项除外)它前一项与后一项的等比中项，即 (n∈N*且 等比数列的通项：若等比数列的首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1，若mamqan＝amqn－m.a＝等比数列的公 ana＝1

qn－m＝anama＋通项的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N＋若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则1

若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则

公比不为－1的等比数列{an}nSnSn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成qn.n项和等比数列{an}q(q≠0)nSn，q＝1时，Sn＝na1；

q≠1

1－q2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等a，b，c 通项与前n项和的关数列{an}的通 是an＝an，则其前n项和为Sn＝1－a3(5)(2013·新课 Ⅰ卷改编)设首项为1，公比为2的等比数列{an}的前n项3SnSn＝3－2an.(√)(6)如果数列{an}为等比数列，则数列{lnan}(8)数列{an}S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．(×)[感悟·提升一个区别零常数”；(2)中，若b2＝ac，则不能推出a，b，c成等比数列，因为a，b，c为0时，不成立．两个防范一是在运用等比数列的前n项和时必须注意对q＝1或分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题，如二是运用等比数列的性质时，注意条件的限制，如(6)an＝q＜0时，ln1－lnan＝lnq无意义；而(8)q＝－1时，S4＝0不能构成等比数列考点一Sn＝2an－3nbn＝an＋3.求证：数列{bn}是等比数列，并求证明Sn＝2an－3n对于任意的正整数都成立，Sn＋1＝2an＋1－3(n＋1)，Sn＋1－Sn＝2an＋1－3(n＋1)－2an＋3n，an＋1＝2an＋1－2an－3an＋1＝2an＋3， 所以an＋1＋3＝2(an＋3)

bn＝an＋3＝2由已知得：S1＝2a1－3a1＝2a1－3a1＝3，b1＝a1＋3＝6bn＝6·2n－1.规律方法证明数列{an}anq为常数)；二是等比中项法，证明 .若判断一个数列不是等比数列 n－11(2014·镇海中学模拟)已知数列{an}和{bn}满足：a1＝λ，an

－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)λ为实数，n

＋对任意实数λ，证明：数列{an}不是等比数列试判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论2

证

42－4λ，即 ，所以{an}不是等比数列

因为

2＝－3bb1＝－(λ＋18)λ＝－18bn＝0(n∈N*)，此时{bn}不是等比数列当λ≠－18时，b1＝－(λ＋18)≠0，由bn 2b≠0

＋＝－3b ∈N*)λ≠－18 bn数列{bn}是以

考点二a2＋a3＋a4＝－18.(1)求数列{an}的通项审题路线(1)设数列{an}q⇒由已知联立方程组⇒⇒(2)由(1)Sn⇒Sn≥2013⇒n进行分类⇒解(1)设数列{an}q

解得

故数列{an}的通项为(2)由(1)有Sn＝ nSn≥21－(－2)n≥2013，即(－2)n≤－2012.n为偶数时，(－2)n>0.上式不成立；n为奇数时，(－2)n＝－2n≤－2012，2n≥2012n≥11.nn等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题2(1)已知{an}1的等比数列，Sn是{an}n1S6，则数列的前5项和 (2)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则

1解析(1)显然公比q≠1，由题意可 1

1

为公比的等比数列，由求和可得数列

的前5项和 2

q≠1，由题意得

解得 或 (舍去 1

22

＝4答 (2)

考点 等比数列性质的应【例3】(1)(2012·新课标卷改编)已知{an}为等比数列8，则

解析(1)由已知得

a4＝4，a7＝－2a1＝－8，a10＝1a1＋a10＝－7；当a4＝－2，a7＝4时，易得a10＝－8，a1＝1，从而a1＋a10＝－7.

(2)由S5＝32，a1＝－1q≠1

由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5＝－1 答案 ，规律方法熟练掌握等比数列的一些性质可提高解题速度，高考对等比数列题时要类比并且要能正确区分等差、等比数列的性质两者的性质搞，【训练3】(1)已知x，y，z∈R，若－1，x，y，z，－3成等比数列，则xyz的值 (2)(2014·模拟)在各项均为正数的等比数列{an}中，a3＝2－1，a5＝则a2＋2aa＋aa 2 3解析(1)y2＝3，∴y＝±又∵y与－1，－3符号相同，∴y＝－3，y2＝xz，所以xyz＝y3＝－33. 535a2＝(a＋a)2＝(2－1＋2＋1)2＝(25353答案 3

an＝q(q是不为零的常数，n∈N)⇔{an}通项：an＝cqn－1(c、q均是不为零的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列等比中项法：a2＝a

(a

≠0，n∈N*)⇔{a}

n

方程观点以及基本量(a1q)思想仍然是求解等比数列问题的基本a1，q，n，an，Sn五个量中，知三求二．6——(1)求数列{an}的通项将数列{an}中将数列{an}中落入区间9m，92m内项的个数记为，求数列{bm}m项的个数记为[审题 一审条件❶：根据性质转化为先求a4，再结合a9求a1和二审条件❷：转化为求{bm}的通项，尽而再求三审结构：由9m＜an＜92m解(1)a3＋a4＋a5＝843a4＝84a4＝28a9＝73＝45，即d＝9.又a1＝a4－3d＝28－27＝1，所以an＝1＋(n－1)×9＝9n－8，即(2)对任意m∈N*,9m＜9n－8＜92m，则即

＋9n∈N

于是

1－92

1－9

－

[感悟]本题第(2)问设置了落入区间内的项构成新数列，这是对考生数学能(2014·许昌模拟)已知点(1,2)f(x)＝ax(a＞0a≠1){an}nSn＝f(n)－1.(1)求数列{an}的通项2013解(1)把点(1,2)f(x)＝ax—n＝1时，a1＝S1＝21－1＝1n≥2时，an＝Sn－Sn—2n－1n＝1(2)由(1)知数列{an}2362项也为等比数列，首项a3＝23－1＝4，公比23＝8，a2013＝22102＝4×8671－1为其 4221×1－22

{an}2013 ＝22422 322∴所求剩余项的和为(22

(建议用时：40分钟 解析设数列{an}q4a2＝4a1＋a3，∴4a1q＝4a1＋a1q2

答案2．(2014·广州模拟)已知等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn.若S3S6等于

7 解析答案2

＝7a1＝2a1＝2.

＝63a1＝253．(2013·温州三模)已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝2a2，a2＝1，则5 5解析5a7＝2a5∴q2＝2，∴q＝2，∴a1＝a2＝1＝ 答案2在等比数列{an}中，a3＝7，前3项之和S3＝21，则公比q的值 解析根据已知条件 ＝3.整理得2q2－q－1＝0，解得q＝1或2答案12 解析an＝a1qn－1＝(－2)n－1答案在等比数列{an}中，a1＋a2＝30，a3＋a4＝60，则 解析答案设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，则q的值为 解析即2Sn＝2Sn＋2an＋1＋an＋2，

答案8．(2014·浙江十校联考)若方程x2－5x＋m＝0与x2－10x＋n＝0的四个根适当排列后，恰好组成一个首项为1的等比数列，则m∶n值为 解析x2－5x＋m＝0x1，x2x2－10x＋n＝0

答案4求数列{an}n项和．解所以a1(q－1)＝2，q2－4q＋3＝0，解得q＝3或1.由于a1(q－1)＝2，因此q＝1不合题意，应舍去．q＝3a1＝1.n

求{an}的通项bn＝2an＋2，证明数列{bn}n 设等差数列{an}的公差为d.由题意证 由题意知—bn—

22

＝3n－3＝2＝8(n∈N，n≥2)∴{bn}b1＝88 Tn＝1－8

(建议用时：25分钟1．(2014·南通模拟)已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，且＝9

＋a＋a)的值

a解析由log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)log3an＋1－log3an＝1且an＞0an＝1，解得an＝3，所以数列{an}3＋a4＋a6)q3所以a5＋a7＋a9＝9×33＝35.所

1

答案项为22，则2a7＋a11的最小值是 9解析由题意知a4·a14＝(22)2＝a2，即a9＝22.设公比为q(q＞0)，所以9a11＝2a9＋a9q2＝42＋22 244q2×22

4 答案

q2＝22q

f(x)Rx，y∈Rf(x＋y)

an＝f(n)(n∈N*)则数列{an}的前n项和Sn的取值范围 1

解析

22 答案4(2013·

3

Sn(n∈N*)S3,4S4求数列{an}的通项证明Sn1 设等比数列{an}的公比为q，因为－2S2，S3,4S4成等差数列，所以S3＋2S2＝4S4－S3，即S4－S3＝S2－S4，可得于是 3＝a32又a1＝3，所以等比数列{an}的通 2

n－1

1

1 证 Sn＝1

，Sn

Sn＝1

1 22 22

，n为偶数22Sn为奇数时，Sn1nSn所以Sn1≤S11 n为偶数时，Sn1nSn1≤S21＝25.N*，有Sn1

第4 数列求法等差数列的前n项和

等比数列的前n项和 1－q

一个数列的通项是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成则求么这个数列的前n项和即可用此法来求如等比数列的前n项和就是用此法如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5常见的拆项 1nn＋1＝n－＋n

—1 1 —

＝n＋1－n.n＋n＋1 当n≥2时， 1 1.( Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nana即可根据错推导等差数列求和的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.(√)(4)(2014·调研改编)若Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S50＝－25.(√)两个防范一是用裂项相消法求和时，注意裂项后的系数以及搞清未消去的项，二是含有字母的数列求和，常伴随着分类讨论，如(2)aa＝0，a＝1，a≠1a≠0a≠1a≠0时可用错位相减法求和.考点 分组转化法求【例1】已知数列{an}的通项是an＝2·3n－1＋(－1)n(ln2－ln3)＋(－1)nnln3，nSn.解Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n](ln2－ln＋…＋(－1)nn]ln3，n Sn＝21－3＋2ln3＝3n＋2ln3－1；n为奇数时，

Sn＝2×1－3－(ln2－ln3)＋2－nln

—2ln3－ln

＋2ln

－1，n

ln3－ln2－1，n为奇数(1)等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和求解．数时使用等差数列或等比数列的求和．列{bn}b1＝a1，b4＝a2，b13＝a3.(1)求数列{an}与{bn}的通项(2)cn＝(－1)nbn＋an，求数列{cn}n解(1)设等比数列{an}q，等差数列{bn} 故

⇒

⇒q＝31(舍去3q qd＝2(2)cn＝(－1)nbn＋an＝(－1)n(2n＋1)＋3n， n

2－2＝2 n为奇数时，Sn＝(n－1)－(2n＋1)＋2－2＝2 2＋n－2，n所以 2－n－2，n为奇数考点 裂项相消法求【例2】(2013·新课标Ⅰ卷)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足(1)求{an}的通项 的前n项和解(1)设{an}的公差为d，则 由已知可得

故{an}的通项为知(2)由 知—1 1 —＝

从而数列 的前n项和1

1 n －

使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些2(2013·徐州一模)已知数列{an}nSn

1(1)求数列{an}的通项

(2)

1)(n∈N*)，令 1 1 1 ，求

解(1)n＝1时，a1＝S1S1＋1a1＝1 当n≥2时，Sn＝1－1n，Sn 1n －2a则Sn－Sn n1－an)，即 n—＝2(a ＝2(a33

故数列{an}是以2为首项，1为公比的等比数列 2 故

因为 1 1 1 1 1 1——

1

考点 错位相减法求a1≠02an－a1＝S1·Sn，(1)求a1，a2，并求{an}的通项(2)求数列{nan}n审题路线(1)n＝1a1⇒n＝2a2⇒an＝Sn－Sn－1(n≥2)an－1的关系式⇒anan－1(2)由(1)知数列{nan}⇒错位相减法求和⇒得出结论11解(1)n＝12a1－a1＝a211a1≠0a1＝1Sn＝2an－1，n＝22a2－1＝S2＝1＋a2.a2＝2.n≥2两式相减得2an－2an－1＝an，即于是数列{an}12的等比数列．an＝2n－1.所以数列{an}的通项为an＝2n－1.记数列{n·2n－1}nBn Bn＝1＋(n－1)·2n.3】(2013·嘉兴二模)在数列{an}(1)记bn＝an＋1，求证：数列{bn}为等比数列(2)求数列{nan}n 由an＋1＝3an＋2，可得an＋1＋1＝3(an＋1)．因为bn＝an＋1，所以bn＋1＝3bn，b1＝a1＋1＝3，所以数列{bn}33 由(1)知an＋1＝3n，an＝3n－1，所以nan＝n·3n－n，所以Sn＝(3＋2·32＋…＋n·3n)－(1＋2＋…＋n)，其中1＋2＋…＋n＝

所以 7——求数列{|an|}n(14分)(2013·浙江卷)d的等差数列{an}a1＝10，且a1,2a2＋2,5a3成等比数列．(1)(2)d<0，求[规范解答](1)5a3·a1＝(2a2＋2)2，(2分d2－3d－4＝0.d＝－14.(4分an＝－n＋11，(n∈N*)an＝4n＋6，(n∈N*).(6分)(2)设数列{an}nSn.d<0，由(1)

1 ＝－2n2n，(8分n≤11

1 ＝－2n2n.(10分n≥12

1

＋110.(12分＝2n－21 14分[感悟](1)本题求解用了分类讨论思想，求数列{|an|}的和时，因为an有正有n≥12{|an|}＋an)，导致出错答题模板答题模板求数列{|an|}的前n项和一般步骤如下：第五步 回顾：查看{|an|}的前n项和与{an}的前n项和的关系，以防求错结果已知等差数列{an}前三项的和为－38.(1)求等差数列{an}的通项；(2)a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}n解(1)设等差数列{an}d，a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d，

所以由等差数列的通项，可得an＝2－3(n－1)＝－3n＋5an＝－4＋3(n－1)＝3n－7.an＝－3n＋5an＝3n－7.(2)由(1)an＝－3n＋5时，a2，a3，a1分别为－1，－4,2，不成等比数列；an＝3n－7时，a2，a3，a1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．记数列{|an|}nn＝1时，S1＝|a1|＝4n＝2时，S2＝|a1|＋|a2|＝5；n≥3时，Sn＝S2＋|a3|＋|a4|＋…＋|an| ＝2n－2n＝2时，满足此式．综上，Sn＝3

—2

(建议用时：40分钟

等差数列{an}的通 项的和

解析因为n＝n＋2，所以n的前10项和为 答案an＝2n＋2n－1 解析

1－2

答案数列{an}nSnSn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n 解析答案4．(2014·西安质检)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，则S2

解析a1＝1，a2＝a1＝2

2n∴an＝2.∴a1，a3，a5，…成等比数列；a2，a4，a6，…∴S2012＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋…＋a2011＋a2＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2011)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a21－21

21－21＝3·21答案3·212

5．(2014·杭州模拟)已知函数f(x)＝x＋2bx过(1,2)点，若数列 的前n项和Sn，则S2012的值 2解析2

∴1＝ ＝1－1

∴S2012＝1－1＋1－1＋…＋ － ＝1－ ＝2 答案22

2

2

2

26．在等比数列{an}中，若

a4＝－4，则公比

解析设等比数列{an}qa4＝a1q3q3＝－8＝－2；等比数列{|an|}的公比为|q|＝2，则

2n－1，所以

答案

7．(2013·山西晋中名校联合测试)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)，Sn为{an}的前n项和，则S2 解析a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)a1＝1，a2＝－2，a3＝－1，a4＝0，该4S2013＝503(a1＋a2＋a3＋a4)＋a2013＝503×(－2)＋1＝－1005.答案－112n8．(2014·模拟)等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则12n 解析n＝1nn≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1，又∵a1＝1适合上式．∴an＝2n－1，∴a2＝4n－1.n∴数列{a2}a2＝14

3答案3n9．(2013·江西卷)正项数列{an}满足n求数列{an}的通项 ，求数令 {bn ，求数n解(1)a2－(2n－1)a－2n＝0得(a－2n)(a＋1)＝0，由于{a} ＝(2)由(1)知an＝2n，故 ＝ 1

＝ －＋－＋…＋

1 求数列{an}的通项设数列{b}nT

n数列{cn}n

2n

解(1)d(2)∵a＝2n－1

λ

λ，即 n

n＋＋

n＋2n

n＋2n

∴Tn－1＋2n－2①－②得 n

＝0，∴b

＋ 2n－1－＋

2n－1 ∴cn＝b2n＝22n－1＝

＋4＋42＋…＋4n－2＋4n－1

4n＝42＋43＋…＋4n－1＋4n 1 ③－④得

n－1)－4 1

1 －1 1 44

n－1－ ＝3－3×4n

(建议用时：25分钟

前n项和，则

＋2解析an＋an＋1＝an＋1＋n＋21an＋2＝an2 答案2．(2014·长沙模拟)已知函数f(n)＝n2cosnπ，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则 解析nan＝f(n)＋f(n＋1)＝n2－(n＋1)2＝－(2n＋1)＝－5，公差为－4的等差数列；若n为奇数，则1)2＝2n＋1a1＝34

答案

1

2

．设

解析当x1＋x2＝1时

1

2

1

2

9设

1答案2已知数列{an}满足a1＝1，a2＝1，且2

求a3，a4，a5，a6的值及数列{an}的通项bn＝a2n－1·a2n，记数列{bn}nTn 分别令n＝1,2,3,4，可求 nn＝2m－1，m∈N*，a2m＋1－a2m－1＝2，所以{a2m－1}为等差数列．a2m－1＝1＋(m－1)·2＝2m－1an＝n.nn＝2m，m∈N*

2＝ 11＝所以{a2m}为等比数列 证

1·a2n＝(2n－1)·1 所以Tn＝1×1＋31＋51＋…＋(2n－1)·1所以

1

2 1 1

211－14141

1

，，2

.第5 数列的综合应

a1dq求解出这两个数列的基本量解决问题的．等差数列的通项和前n项和是(在公差d≠0的情况下)关于n的一次等比数列的通项和前n项和在公比q≠1的情况下是公比q的指数函anan＋1SnSn＋1之间的递推关系．一个细胞由1个为2个，则经过5次后的细胞总数为增长率与存利息问q12q.(×)[感悟·提升一个区别“单利计息”与“复利计息“利滚利”．计算本利和的是本利和＝本金×(1＋利率)存期，如一个防范数列的实际应用问题，要学会建模，对应哪一类数列，进而求考点一a1＝25a11，a13成等比数列．(1)求{an}的通项(2)解(1)设{an}d.由题意得，a2d(2a1＋25d)＝0.a1＝25d＝－20(舍去)．an＝－2n＋27.(2)由(1)a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}25，公差为－6

1＋a3n n －对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的【训练1】(2014·盐城模拟)已知数列{an}是公差为2的等差数列n项和Sna1＋1，a3＋1，a7＋1成等比数列．(1)求{an}的通项1 的前n项和解(1)a3＋1＝a1＋5，a7＋1＝a1＋13，得解得a1＝3，所以an＝3＋2(n－1)，即(2)由(1)知an＝2n＋1， 1Sn＝n(n＋2)，＝

1

1Tn＝

＝11＋1－1－1

22 22

考点二【例2】(2012·湖南卷)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业金后的剩余为an万元．(1)da1，a2an＋1an(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余为4000万元，试确定企业每年上缴d的值(用m表示)．解(1)a1＝2000(1＋50%)－d＝3

31－d＝4 5 an 3 (2)由(1)，得 3n

＝2a …

(3

(3am＝4即

(3000－3d)＋2d＝4

1

2

1故该企业每年上 d的值 时，经过m(m≥3)年企业的剩4000规律方法用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学，【训练2】“十一”期间十家重点公园将举行免费游园活动北海公园免，1308230330324行下去，到上午11时30分公园内的人数 解析63030分钟内进入的人数4为首项，21为首项，1为公差的等差数列，记第n30ann30分钟内出来的人数为bn，则an＝4×2n－1，bn＝n，则上午11时30分公园内的人数为

＝4答案4

考点三【例3】(2013·卷)设数列{an}满足a1＝2，a2＋a4＝8，且对任意n∈N*，f(x)＝(an－an＋1＋an＋2)x＋an＋1cosx－an＋2sinx(1)求数列{an}的通项(2)

1 ，求数列{bn}n

审题路线{an}为等差数列⇒根据条件求公差d⇒得出通项(2)由(1)知bn⇒分组求和⇒得出结论解(1)n∈N*，f′(x)＝an－an＋1＋an＋2－an＋1sinx－an＋2cosxan＋1－an＝an＋2－an＋1，故{an}为等差数列．a1＝2，a2＋a4＝8d＝1，(2)b

1

1 ＋ 2＋

＋＋

知

11规律方法解决数列与函数、不等式的综合问题的关键是从题设中提炼出数列的【训练3】(2014·浙江五校联考)已知正项数列{an}的首项a1＝1nSn满an＝Sn＋Sn－1(n≥2)．(1)求证：{Sn}为等差数列，并求数列{an}的通项 的前n项和为Tn，若对任意的n∈N，不等式4Tn＜a－a恒a解(1)an＝Sn＋Sn－1Sn－Sn－1＝Sn＋即Sn－Sn－1＝1，所以数列{Sn}11的等差数列，得Sn＝an＝Sn＋Sn－1＝n＋(n－1)＝2n－1(n≥2)n＝1时，a1＝1也适合，所an＝2n－1. 因

1 1 —a —n

1 1 —＋－

1

— —要使不等式4Tn＜a2－a恒成立，只需2≤a2－a恒成立，解得a≤－1a≥2，a的取值范围是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．5——【典例】(2012·卷改编)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{an}，{f(an)}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函①f(x)＝x2；②f(x)＝2x；③f(x)＝|x|；④f(x)＝ln则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号 解析an＝2nf(x)＝x2f(an)＝4n.显然{f(2n)}44f(x)＝2xf(a1)＝f(2)＝22， 所以所以{f(an)}不是等比数列f(x)＝|x|f(an)＝2n＝(显然{f(an)}是首项为2，公比为2f(x)＝ln|x|f(an)＝ln2n＝nln2.显然{f(an)}是首项为ln2，公差为ln答案[感悟](1)本题解题的关键是抓住新定义中“对任意给定的等比数列an＝2nSSn等比数列”，则d＝ 解析由题意可知，数列{cn}的前n项和为

，前2n项和为2nc1＋c2n，所以

.因为数列{c}

nc＋c

＋ ＋S“和等比数列”，即S2nSn答案2．(201·肇庆二模)若把能表示为两个连续偶数的平方差的正整数称为“和平数”则在1～100这100个数中能称为“和平数”的所有数的和是 ．解析设两个连续偶数为2k＋2和2k(k∈*)，则(2k＋2)2－(2)2＝4(2＋1)和平数是4的倍数，但不是8的倍数，故在1～100之间，能称为和平数的有4×1,4×3,4×5,4×7，…，4×25，共计13个，其和为4× 答案

(建议用时：40分钟a3成等差数列，若a1＝1，则S4＝ 解析记等比数列{an}的公比为q(q≠1)－3a1＋a1q2，即q2＋2q－3＝0，(q＋3)(q－1)＝0，又q≠1，因此有q＝－3

答案 解析由已知得 ＝－5，b2＝(－9)×(－1)＝9且答案和为Sn，则满足Sn>1025的最小n值是 解析a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N*)2n－1Sn>1025n答案4中项 4解析设数列{an}q，则由等比数列的性质知，a2·a3＝a1·a4＝2a1，即a4＝2.由a4与2a7的等差中项为5知 11

22

答案数列，则f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)等于 解析由题意可设f(x)＝kx＋1(k≠0)，则(4k＋1)2＝(k＋1)×(13k＋1)，解得答案a3，a4构成等比数列，则此等比数列的公比等于 解析d314111a2＝a·a，即(a＋2d)2＝a(a314111a1a＝－4da1

1答案2

7．(2013·江西卷)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于 解析每天植树棵数构成等比数列a1＝2，q＝2.

＝2(2n－1)≥100，即∴n≥6答案8．(2013·山东省实验中学诊断)数列{an}a1＝3，an－anan＋1＝1，An表示前n项之积，则A2

解析由a1＝3，an－anan＋1＝1，得

an，所以

3A2答案9(2014·SnS3＝7a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列．求数列{an}的通项bn＝nan，n＝1,2，…，求数列{bn}n解(1)由已知，得

q设数列{an}的公比为q，由a2＝2，可得qq2S3＝7，可知2＋2＋2q＝72q2－5q＋2＝0，q＝2或1.q＞1q＝2.q2故数列{an}的通项为(2)Tn＝(n－1)2n＋1.10(2013·(x)＝x2－2x＋4a1＝f(d－1)，a3＝f(d＋1)，求数列{an}的通项Sn为{an}n111 又由a3＝a1＋2d，可得d＝2，所以a1＝3，an＝2n＋1.证

1 ＝

＝11－1＋1－1＋1－1＋…＋1－1232435n 232435n 1

1

1 1 ＝

≥

＝

(建议用时：25分钟n项的和，若Sn取得最大值，则 解析d3(a1＋3d)＝7(a1＋6d)，所以d＝－4a1<0.a>0a＋(n－1)4a 334n<374n≤9时，an>0n≥10时，an<0.故当n＝9时，Sn取得最大值．答案2．已知f(x)＝bx＋1是关于x的一次函数，b为不等于1的常数，且

设an＝g(n)－g(n－1)(n∈N*)，则数列{an}为 解析a1＝g(1)－g(0)＝f[g(0)]－g(0)＝b＋1－1＝bn≥2时，an＝g(n)－g(n－答案等比3．(2013·浙江五校联考)x为实数，[x]x的最大整数，记－[x][0,1)a1＝{a}1 ；当an＝0时，an＋1＝0.如果a＝3，则a2

2 2解析a1＝

3－1＝2 2

，…，所以数列{an}2a2013＝a1＝答 4(2014·盐城调研已知数列{an满足a1＝2，前n项和为Snan1pan＋n－1，n为奇数－an－2n，n为偶数若数列{bn}bn＝a2n＋a2n＋1(n≥1)，试求数列{bn}n若数列{cn}满足cn＝a2n，试判断{cn}是否为等比数列，并说明理由2n的值；若不存在，请说明理由．2解(1)∴{bn}成等差数列，故

＋1－10)c2n＝1？若存在，求出所有当p＝1时，数列{cn}成等比数列；当p≠1时，数列{cn}不为等比数列

cn ，故当p＝2时，数列{cn}是首项为1，公比为－2等比2当p≠1时，数列{cn}不成等比数列2 当p＝2时，由(2)知 则由(S2n＋1－10)c2n＝14n2＋4n＋16＝4n，f(x)＝4x－4x2－4x－16(x≥2)，g(x)＝f′(x)＝4xln∴g′(x)＝(ln∴g(x)在[2，＋∞)n＝3，使得(S2n＋1－10)c2n＝1

(建议用时：90分钟 解析在等差数列中，a2＋a8＝a1＋a9＝4，所