高考数学复习学案：离心率（二）

高三数学微专离心率（二）挖掘几何性质寻求几何特征之间关系（数形结合）例1.以双曲线上一点为圆心作圆,该圆与轴相切于的一个焦点,与轴交于两点P,Q.若三角形MPQ为正三角形，则该双曲线的离心率等于.解：设圆与双曲线相切于点，则轴，于是可设代入双曲线方程中解得所以所以.因为为等边三角形，所以化简，得即即，所以解得或又所以.练习1-(1).若,分别是双曲线的左、右焦点,过点作以为圆心为半径的圆的切线,为切点,若切线段被双曲线的一条渐近线平分,则双曲线的离心率为。练习1-(2).在平面直角坐标系中，点是双曲线的右焦点，点在双曲线上且是等边三角形，则双曲线的离心率为例2.已知是椭圆的右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且，则椭圆的离心率等于解：画出图象如下图所示，，根据，可知，所以，且.，.根据椭圆的定义知.由勾股定理有，化简得，.练习2-(1).设F为双曲线的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆交于P,Q两点,若,则的离心率为练习2-(2).点F为椭圆的一个焦点，若椭圆上存在点A使为正三角形，那么椭圆的离心率为例3.椭圆上的点到椭圆的两焦点、的距离的比为,且的面积为,则椭圆的离心率为解:本题考查椭圆的离心率,因为点到椭圆的两焦点、的距离的比为,且,故可设,,由的面积为可得,所以,于是,所以,即,所以,得.练习3.、为椭圆C：的左、右焦点，过左焦点的直线交椭圆于M、N两点，若轴，且，则椭圆的离心率为例4.已知,分别为椭圆的左、右焦点,为椭圆上一点,为坐标原点,且,,则该椭圆的离心率为解：由已知可得,即,又,所以,又,且,则可得,则,所以,所以,即练习4.设双曲线的左焦点为,直线过点且与双曲线在第二象限的交点为,为原点.若,则双曲线的离心率为例5.如图,点为双曲线的右顶点,点为双曲线上一点,作轴,垂足为,若为线段的中点,且以为圆心,为半径的圆与双曲线恰有三个公共点,则的离心率为。解：由题意可得,为线段的中点,可得,令,代入双曲线的方程可得,可设,由题意结合图形可得圆经过双曲线的左顶点,即,即有,可得,.练习5.已知双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线的左支上，与双曲线的右支交于点，若为等边三角形，则该双曲线的离心率是。

高三数学微专离心率（二）挖掘几何性质寻求几何特征之间关系（数形结合）例1.以双曲线上一点为圆心作圆,该圆与轴相切于的一个焦点,与轴交于两点P,Q.若三角形MPQ为正三角形，则该双曲线的离心率等于.解：设圆与双曲线相切于点，则轴，于是可设代入双曲线方程中解得所以所以.因为为等边三角形，所以化简，得即即，所以解得或又所以.练习1-(1).若,分别是双曲线的左、右焦点,过点作以为圆心为半径的圆的切线,为切点,若切线段被双曲线的一条渐近线平分,则双曲线的离心率为。解：由题设知,在直角中,,所以,即直线的倾斜角为,所以切线段被双曲线的渐近线垂直平分,因此,即,所以,所以,练习1-(2).在平面直角坐标系中，点是双曲线的右焦点，点在双曲线上且是等边三角形，则双曲线的离心率为解：由题意，，代入双曲线方程得，整理得，即，解得（舍去），即.例2.已知是椭圆的右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且，则椭圆的离心率等于解：画出图象如下图所示，，根据，可知，所以，且.，.根据椭圆的定义知.由勾股定理有，化简得，.练习2-(1).设F为双曲线的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆交于P,Q两点,若,则的离心率为解：∵,∴,又,∴解得,即.练习2-(2).点F为椭圆的一个焦点，若椭圆上存在点A使为正三角形，那么椭圆的离心率为解:设F为椭圆的右焦点，根据椭圆的对称性，得直线的斜率为，所以点A的坐标为，代入椭圆方程得得到，再将代入上式得，又，得，解得，注意到椭圆的离心率范围为，故.例3.椭圆上的点到椭圆的两焦点、的距离的比为,且的面积为,则椭圆的离心率为解:本题考查椭圆的离心率,因为点到椭圆的两焦点、的距离的比为,且,故可设,,由的面积为可得,所以,于是,所以,即,所以,得.练习3.、为椭圆C：的左、右焦点，过左焦点的直线交椭圆于M、N两点，若轴，且，则椭圆的离心率为解:由得，，又因为，所以，代入椭圆得.因为，所以.因为，所以.例4.已知,分别为椭圆的左、右焦点,为椭圆上一点,为坐标原点,且,,则该椭圆的离心率为解：由已知可得,即,又,所以,又,且,则可得,则,所以,所以,即练习4.设双曲线的左焦点为,直线过点且与双曲线在第二象限的交点为,为原点.若,则双曲线的离心率为解：设.由直线过点得,解得,即.设点,则线段的中点的坐标为.因为,所以直线与直线OM垂直,则,解得,则点的坐标为.因为点在双曲线上,所以.又,所以,,所以双曲线的离心率例5.如图,点为双曲线的右顶点,点为双曲线上一点,作轴,垂足为,若为线段的中点,且以为圆心,为半径的圆与双曲线恰有三个公共点,则的离心率为。解：由题意可得,为线段的中点,可得,令,代入双曲线的方程可得,可设,由题意结合图形可得圆经过双曲线的左顶点,即,即