微专题03 双曲线- 高考数学（理）二轮复习微专题聚焦

微专题03双曲线——2020高考数学（理）二轮复习微专题聚焦【考情分析】双曲线的定义和标准方程，双曲线的简单几何性质，直线与双曲线的位置关系仍是2020年高考考查的热点，题型仍将是选择题，填空题，解答题，分值5~12分，重点考查考生的数学运算的核心素养.考点一双曲线的定义及其标准方程【必备知识】双曲线的定义平面内与两个定点的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点.(2)集合,其中a,c为常数且a>0,c>0.①当时,M点的轨迹是双曲线;②当时,M点的轨迹是两条射线;③当时,M点不存在.注：对双曲线定义的两点说明(1)定义中距离的差要加绝对值,否则只为双曲线的一支.设表示双曲线的左、右焦点,若,则点M在右支上;若,则点M在左支上.(2)双曲线定义的双向运用①若,则动点M的轨迹为双曲线.②若动点M在双曲线上,则.2.双曲线的标准方程焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程焦点坐标(-c,0),(c,0)(0,-c),(0,c)a,b,c的关系【典型例题】【例1】已知双曲线的左、右焦点分别为,以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),则此双曲线的方程为 ()A.B.C.D.【解析】选C.因为以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),所以c=5,，又,所以a=3,b=4,所以此双曲线的方程为.【方法归纳提炼素养】——数学思想是数形结合、方程思想，核心素养是数学运算.求双曲线标准方程的步骤(1)定位:是指确定与坐标系的相对位置,在标准方程的前提下,确定焦点位于哪条坐标轴上,以确定方程的形式.(2)定量:是指确定的数值,常由条件列方程组求解.注:若焦点的位置不明确,应注意分类讨论,也可以设双曲线方程为的形式,注意标明条件mn<0.【类比训练】是双曲线C:(m>0)的两个焦点,点M是双曲线C上一点,且,则的面积为________.【解析】因为是双曲线C：(m>0)的两个焦点,所以m+4=16,所以m=12,设,因为点M是双曲线上一点,且,所以|m′-n|=4①,②,由②-①2得m′n=16,所以的面积.答案:【方法归纳提炼素养】——数学思想是整体代换思想，核心素养是数学运算.求双曲线中焦点三角形面积的方法(1)方法一.①根据双曲线的定义求出|;②利用余弦定理表示出之间满足的关系式;③通过配方,利用整体的思想求出的值;④利用公式求得面积.(2)方法二:利用公式(为P点的纵坐标)求得面积.注:利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题,一是要注意定义条件的变形使用,二是特别注意与的关系.考点二双曲线的几何性质【必备知识】标准方程图形焦点焦距范围对称性对称轴：x轴、y轴；对称中心：坐标原点顶点轴长实轴长=2a，虚轴长=2b离心率渐近线等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其渐近线方程为,离心率为.双曲线中的几个常用结论1.过焦点垂直于实轴的直线被双曲线截得的线段叫做通径，长为.2.双曲线的焦点到渐近线的距离恰好为b,这条垂线是一条非常重要的线段.3.双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系).4.过双曲线焦点的弦AB与双曲线交在同支上,则AB与另一个焦点构成的的周长为4a+2|AB|.5.巧设双曲线方程(1)与双曲线有共同渐近线的方程可表示为.(2)过已知两个点的双曲线方程可设为.【例2】已知a>b>0,椭圆的方程为，双曲线的方程为,与的离心率之积为,则的渐近线方程为()A. B.C. D.【解析】选A.设椭圆和双曲线的离心率分别为和,则,.因为,所以,即,所以双曲线的渐近线方程为即.【方法归纳提炼素养】——数学思想是方程思想，核心素养是数学运算.求双曲线渐近线方程的方法(1)求双曲线中a,b的值,进而得出双曲线的渐近线方程.(2)求a与b的比值,进而得出双曲线的渐近线方程.(3)令双曲线标准方程右侧为0,将所得代数式化为一次式即为渐近线方程.【类比训练】已知为双曲线的焦点,过作垂直于x轴的直线交双曲线于点P和Q且为正三角形,则双曲线的渐近线方程为________.【解析】设,代入双曲线方程得,因为PQ⊥x轴,所以|PQ|=.在Rt中,,所以,即·又因为,所以或(舍),又因为a>0,b>0,所以，所以所求双曲线的渐近线方程为.答案:【例3】已知双曲线的右焦点为F(c,0).以原点O为圆心,c为半径作圆,该圆与双曲线在第一象限的交点为A,过A作圆的切线,斜率为,求双曲线的离心率. 【解析】设点A的坐标为,所以直线AO的斜率满足所以.①由已知,圆的方程为,将①代入圆的方程得,即,所以,点A的坐标为,代入双曲线方程得,即.②又因为,所以将代入②式,整理得,所以，所以,又因为e>1,所以,即双曲线的离心率为.【方法归纳提炼素养】——数学思想是数形结合、消元、整体代换思想，核心素养是数学运算.求双曲线离心率的方法(1)直接法：直接求出a,c的值,利用离心率公式直接求解.(2)方程法：列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助于消去b,转化为含有e的方程(或不等式)求解,注意e的取值范围.(3)特殊值法：因为离心率是比值,所以可利用特殊值法.例如,令a=1,求出相应c的值,求离心率,能有效简化计算.(4)通过特殊位置,求出离心率.【类比训练】设F为双曲线C:的右焦点,过坐标原点的直线依次与双曲线C的左、右支交于点P,Q,若,则该双曲线的离心率为()A. B.C. D.【解析】选B.∠PQF=60°,因为|PQ|=2|QF|,所以∠PFQ=90°,设双曲线的左焦点为F1,连接F1P，F1Q,由对称性可知,四边形F1PFQ为矩形，|F1F|=2|QF|,|QF1|=|QF|,所以.考点三直线与双曲线的位置关系【必备知识】判断直线与双曲线C的位置关系时,通常将直线的方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)代入双曲线C的方程,消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程,即消去y,得.当a≠0时,设一元二次方程的判别式为Δ,则Δ>0⇔直线与双曲线C相交;Δ=0⇔直线与双曲线C相切;Δ<0⇔直线与双曲线C相离.(2)当a=0,b≠0时,即得到的是一次方程,则直线与双曲线C相交,且只有一个交点,此时,直线与双曲线的渐近线的位置关系是平行.【例4】若双曲线E:的离心率等于,直线y=kx-1与双曲线E的右支交于A,B两点.（1）求k的取值范围;（2）若,点C是双曲线上一点,且，求k，m的值. 【解析】（1）设,由得，所以双曲线E的方程为.由得.①因为直线与双曲线的右支交于A,B两点,所以即所以,即k的取值范围是.（2）由①得，所以，整理得,所以,又,所以,,设,由得,因为点C是双曲线上一点,所以,得,所以.【方法归纳提炼素养】——数学思想是数形结合、整体代换、方程思想，核心素养是数学运算.判断直线与双曲线位置关系的方法(1)联立方程:设直线方程或双曲线方程,然后把直线方程和双曲线方程联立,消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程,利用根与系数的关系,整体代入.(2)与渐近线比较:根据直线的斜率与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系.【类比训练】已知双曲线方程2x2-y2=2.(1)求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程.(2)求过点B(1,1)能否作直线l,使l与所给双曲线交于Q1,Q2两点,且点B是弦Q1Q2的中点?这样的直线l如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.【解析】(1)由2×22-12=7>2知,点A在双曲线内部(含焦点的区域内),设以A(2,1)为中点的弦的两端点分别为P1(x1,y1),P2(x2,y2),则x1+x2=4,y1+y2=2.由对称性知x1≠x2.因为P1,P2在双曲线上,所以QUOTE两式相减得2(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)=0.因为x1+x2=4,y1+y2=2.所以QUOTE=4.所求中点弦所在直线方程y-1=4(x-2),即4x-y-7=0.(2)由2×12-12=1<2知,B(1,1)在双曲线的外部(双曲线两支之间).若直线l存在,采用(1)的方法求出l的方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.联立方程组QUOTE消去y,得2x2-4x+3=0.因为Δ=(-4)2-4×2×3=-8<0,无实根,所以直线l与双曲线无交点,这一矛盾说明了满足条件的直线l不存在.【方法归纳提炼素养】——数学思想是数形结合、整体代换、方程思想，核心素养是数学运算.涉及弦中点的问题,常用“点差法”设而不求,将动点的坐标、弦中点坐标和弦所在直线的斜率联系起来,相互转化.思路：设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,式中含有x1+x2,y1+y2,QUOTE三个未知量,这样就直接联系了中点和直线的斜率,借用中点公式即可求得斜率.做高考真题提能力素养【选择题组】1、(2019·高考全国卷Ⅲ·T10)双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为（）A. B. C. D.【解析】选A.由，又P在C的一条渐近线上，不妨设为在上，，故选A．2、(2019·高考全国卷II·T11）设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为（）A.B.C.2 D.【解析】选A.设与轴交于点，由对称性可知轴，又，为以为直径的圆的半径，为圆心．，又点在圆上，，即．，故选A．3、(2018·全国Ⅲ高考理科·T11)设F1,F2是双曲线C:QUOTEx2a2x2a2-QUOTEy2b2y2b2=1(a>0,b>0)的左,右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若QUOTEPF1PF1=QUOTE6OP6OP,则A.QUOTE55 B.2 C.QUOTE33 D.QUOTE22【解析】选C.方法一:设渐近线的方程为bx-ay=0,则直线PF2的方程为ax+by-ac=0,由QUOTEax+by-ac=0,bx-ay=0,ax+by-ac=0,bx-ay=0,可得PQUOTEa2c,abca得QUOTEa2c+c2+abc2a2c+c2+abc2=QUOTE66×QUOTEa2c2+abc2a2方法二:因为|PF2|=b,|OF2|=c,∴|PO|=a,在Rt△POF2中,设∠PF2O=θ,则有cosθ=QUOTE|PF2||OF2||PF2∵在△PF1F2中,cosθ=QUOTE=QUOTEbcbc,∴QUOTEb2+4c2-(6a)22b·2cb2+4c2-(6a)22b·2c=QUOTEbcbc⇒b2+4c2-6a2=4b2⇒4c2-6a4、(2018·全国卷II高考理科·T5)双曲线QUOTEx2a2x2a2-QUOTEy2b2y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为QUOTE33A.y=±QUOTE22x B.y=±QUOTE33xC.y=±QUOTE2222x D.y=±QUOTE3232x【解析】选A.因为e=QUOTEcaca=QUOTE33,所以QUOTEc2a2c2a2=QUOTEa2+b2a2a2+b2a2=3,即QUOTEb2a2b2a2=2,QUOTEbaba=±QUOTE22,所以渐近线方程为y=±QUOTE25、(2018·天津高考理科·T7)已知双曲线QUOTEx2a2x2a2-QUOTEy2b2y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+dA.QUOTEx24x24-QUOTEy212y212=1 B.QUOTEx212x212-QUOTEy24y24=1C.QUOTEx23x23-QUOTEy29y29=1 D.QUOTEx29x29-QUOTE【解析】选C.因为双曲线的离心率为2,所以QUOTEcaca=2,c=2a,b=QUOTE33a,不妨令A(2a,3a),B(2a,-3a),双曲线其中一条渐近线方程为y=QUOTE33x,所以d1=QUOTE|23a-3a|(3)2+(-1d2=QUOTE|23a+3a|(3)2+(-1)2|23a+3a|(3)2+(-1)2=QUOTE23a+3a223a+3所以双曲线方程为:QUOTEx23x23-QUOTEy29y296、(2018·全国卷I高考理科·T11)已知双曲线C:QUOTEx23x23-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则QUOTEMNMN= ()A.QUOTE3232 B.3 C.2QUOTE33 D.4【解析】选B.渐近线方程为:QUOTEx23x23-y2=0,即y=±QUOTE3333x,所以∠MON=QUOTE.因为△OMN为直角三角形,假设∠ONM=QUOTE,如图,所以kMN=QUOTE33,直线MN方程为y=QUOTE33(x-2).联立QUOTEy=-33x所以NQUOTE32,-3232,-32,即ON=QUOTE33,因为∠MON=QUOTE,所以|MN|=3.7、(2017·全国丙卷·理科·T5)已知双曲线C:QUOTEx2a2-QUOTEy2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为,且与椭圆QUOTEx212+QUOTEy23=1有公共焦点,则C的方程为()A.QUOTEx28-=1B.-QUOTEy25=1C.-=1D.-=1【解析】选B.由题意可得:QUOTE=QUOTE,c=3,又a2+b2=c2,解得a2=4,b2=5,则C的方程为QUOTE-QUOTE=1.8、(2017·全国甲卷理科·T9)若双曲线C:QUOTEx2a2-=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为()A.2 B. C. D.【解析】选A.圆心到渐近线bx±ay=0的距离为,所以=⇒c=2a⇒e=2.9、(2017·全国甲卷文·T5)若a>1,则双曲线-y2=1的离心率的取值范围是()A.(,+∞) B.(,2) C.(1,) D.(1,2)【解析】选C.由题意e2==QUOTE=1+QUOTE,因为a>1,所以1<1+<2,则1<e<.【非选择题组】1、(2019·高考全国卷I·T16).已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，则C的离心率为____________．【答案】2.【解析】如图，由得又得OA是三角形的中位线，即由，得则有，又OA与OB都是渐近线，得又，得．又渐近线OB的斜率为，所以该双曲线的离心率为．2、(2018·江苏高考·T8)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线QUOTEx2a2x2a2-QUOTEy2b2\*