高考数学复习备忘录（五）三角函数

高考数学备忘录（五）三角函数【知识要点】1.与角终边相同的角的集合：.2.弧长公式：，扇形面积公式：，1弧度(1rad).3任意角的三角函数的定义：设是任意一个角，P是的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是，那么，三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关。如4.三角函数线的特征是：正弦线MP“站在轴上(起点在轴上)”、余弦线OM“躺在轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点处(起点是)”.三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。如：若为锐角，则的大小关系为5.同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：（2）商数关系：6.三角函数诱导公式：概括为“奇变偶不变，符号看象限”1、诱导公式一：（其中：）2、诱导公式二：3、诱导公式三：4、诱导公式四：5、诱导公式五：6、诱导公式六：【拓展】1.三角函数求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tanx＝eq\f(sinx,cosx)化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化；(3)遇sinα，cosα的齐次式常“弦化切”，如：sinαcosα＝eq\f(sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tanα,1＋tan2α)；sin2α＋sinαcosα－2cos2α＝eq\f(tan2α＋tanα－2,1＋tan2α)2.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：负角变正角，再写成2k+,；最后转化为锐角三角函数。【易错提醒】已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断正、负号．【高考热点预测】考查三角函数定义、角函数求值、诱导公式，同角三角函数基本关系式的应用是高考的热点，同时掌握各知识点之间的内在联系.【过关题】1.已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线上，则=（）（A）（B）（C）（D）2.若tanα＝eq\f(3,4)，则cos2α＋2sin2α＝()A．eq\f(64,25)B．eq\f(48,25)C．1D．eq\f(16,25)（答：B，A）7.正弦、余弦、正切函数的图像及其性质图象定义域值域[-1,1][-1,1]最值无周期性奇偶性奇偶奇单调性在上单调递增在上单调递减在上单调递增在上单调递减在上单调递增对称性对称轴方程：对称中心对称轴方程：对称中心无对称轴对称中心【拓展】1.函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数，当φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)时是偶函数；函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时是偶函数，当φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)时是奇函数．2.函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为eq\f(2π,|ω|)，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为eq\f(π,|ω|)．【易错提醒】1.要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数．书写单调区间时不要漏掉k∈Z。2.书写对称中心时，要注意图像是否上下平移，纵坐标的变化情况。【高考热点预测】函数y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象与性质，已知三角函数的性质求参数值或取值范围，或已知图象确定它的解析式等都是高考热点．【过关题】1.已知函数f(x)＝4sin(eq\f(π,3)－2x)，x∈[－π，0]，则f(x)的单调递减区间是()A．[－eq\f(7,12)π，－eq\f(π,12)]B．[－π，－eq\f(π,2)]C．[－π，－eq\f(7π,12)]，[－eq\f(π,12)，0]D．[－π，－eq\f(5,12)π]，[－eq\f(π,12)，0]2.已知ω>0，函数f(x)＝sin(ωx＋eq\f(π,4))在(eq\f(π,2)，π)上是减函数，则ω的取值范围是()A．[eq\f(1,2)，eq\f(5,4)]B．[eq\f(1,2)，eq\f(3,4)]C．(0，eq\f(1,2)]D．(0,2]（答：C,A）8.的图象（1）函数：：振幅A，周期，初相，相位，频率.（2）函数的图象与的图象之间的平移伸缩变换关系.【拓展】1．五点法作图及图象变换问题(1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凹凸方向；(2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x而言，而不是看角ωx＋φ的变化．2．由图象确定函数解析式由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)时，φ的确定是关键，尽量选择图象的最值点代入；若选零点代入，应根据图象升降找“五点法”作图中第一个零点．【易错提醒】由函数y＝sinx的图象经过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，如先伸缩，再平移时，要把x前面的系数提取出来．【高考热点预测】函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的变换及求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，已知函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质求参数的范围仍是高考热点.【过关题】1.为了得到y＝eq\r(2)sin(3x＋eq\f(π,4))的图象，可以将y＝eq\r(2)cos3x的图象()A．向右平移eq\f(π,12)个单位B．向右平移eq\f(π,4)个单位C．向左平移eq\f(π,12)个单位D．向左平移eq\f(π,4)个单位2.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－π<φ<π)图象的一部分(如图所示)，则ω与φ的值分别为()A．eq\f(11,10)，－eq\f(5π,6)B．1，－eq\f(2π,3)C．eq\f(7,10)，－eq\f(π,6)D．eq\f(4,5)，－eq\f(π,3)3.已知函数f(x)＝2sin(2x＋eq\f(π,6))，把函数f(x)的图象沿x轴向左平移eq\f(π,6)个单位，得到函数g(x)的图象，关于函数g(x)，下列说法正确的是()A．在[eq\f(π,4)，eq\f(π,2)]上是增函数 B．其图象关于直线x＝－eq\f(π,4)对称C．函数g(x)是奇函数 D．当x∈[0，eq\f(π,3)]时，函数g(x)的值域是[－1,2](答：A,B,D)9.三角恒等变换（一）两角和与差的正弦、余弦、正切公式1、2、3、4、5、.6、.（二）二倍角的正弦、余弦、正切公式1、，变形：.2、.变形如下：升幂公式：降幂公式：3、.2、辅助角公式：（其中辅助角所在象限由点的象限决定,).【拓展】1.万能公式用tanα表示sin2α与cos2αsin2α＝2sinαcosα＝eq\f(2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tanα,tan2α＋1)；cos2α＝cos2α－sin2α＝eq\f(cos2α－sin2α,cos2α＋sin2α)＝eq\f(1－tan2α,1＋tan2α)．2.3.重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等;巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.如，，，，等）【易错提醒】1.在三角函数求值时，一定不要忽视题中给出的或隐含的角的范围2.利用辅助角公式，asinx＋bcosx转化时一定要严格对照和差公式，防止搞错辅助角．【高考热点预测】以三角变换为基础，考查三角函数式的求值、三角函数的图象和性质；利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行化简求值，尤其是各公式的正用、逆用、变形用是高考考查的热点内容．【过关题】1.计算：eq\f(\r(3),cos10°)－eq\f(1,sin170°)＝()A．4B．2C．－2D．－42.已知sin(α＋eq\f(π,6))＋cosα＝－eq\f(\r(3),3)，则cos(eq\f(π,6)－α)＝()A．eq\f(－2\r(3),3) B．eq\f(2\r(3),3) C．－eq\f(