材料力学答案5185

第二章轴向拉压应力与材料的力学性能2-1试画图示各杆的轴力图。题2-1图解：各杆的轴力图如图2-1所示。图2-12-2试画图示各杆的轴力图，并指出轴力的最大值。图a与b所示分布载荷均沿杆轴均匀分布，集度为q。题2-2图(a)解：由图2-2a(1)可知，F(x)2qaqxN轴力图如图2-2a(2)所示，文档FN,max2qa图2-2a(b)解：由图2-2b(2)可知，FqaR()FxFqaN1RF(x)Fq(xa)2qaqxN2R22轴力图如图2-2b(2)所示，FN,maxqa图2-2bA=500mm2，载荷2-3图示轴向受拉等截面杆，横截面面积F=50kN。试求图示斜截面m-m上的正应力与切应力，以及杆内的最大正应力与最大切应力。题2-3图解：该拉杆横截面上的正应力为50103N－650010m2σFA1.00108Pa100MPam-m的方位角α50，故有斜截面文档σσcos2α100MPacos2(50)41.3MPa)49.2MPaτσsin2α50MPasin(1002α杆内的最大正应力与最大切应力分别为σσ100MPamaxτσ50MPa2max2-5某材料的应力-应变曲线如图所示，图中还同时画出了低应变区的详图。试确定b材料的弹性模量E、比例极限、屈服极限、强度极限与伸长率，并判断该材料属ps于何种类型（塑性或脆性材料）。题2-5解：由题图可以近似确定所求各量。EΔσ220106Pa220109Pa220GPaΔε0.001σ220MPa,σ240MPaspδ29.7%σ440MPa,b该材料2-7属于塑性材料。一圆截面杆，材料的应力-应变曲线如题2-6图所示。若杆径d=10mm，杆长l=200mm，杆端承受轴向拉力F=20kN作用，试计算拉力作用时与卸去后杆的轴向变形。文档题2-6图F420103N2.5510Pa255MPaσ解：8Aπ0.010m22σε查上述曲线，知此时的轴向应变为ε0.00390.39%轴向变形为Δllε(0.200m)0.00397.8104m0.78mm拉力卸去后，有ε0.00364，ε0.00026ep故残留轴向变形为Δllε(0.200m)0.000265.2105m0.052mmp2-9图示含圆孔板件，承受轴向载荷F作用。已知载荷F=32kN，板宽b=100mm，最大拉应力（考虑应力集中）。板厚15mm，孔径d=20mm。试求板件横截面上的题2-9图d/b0.020m/(0.100m)0.2K2.42解：根据集中因数曲线,得查应力根据σFσK，maxσn(bd)δn得文档KF(bd)δ2.4232103N(0.100－0.020)0.015m2σKσ＝6.45107Pa64.5MPamaxn2-10图示板件，承受轴向载荷F作用。已知载荷F=36kN，板宽b1=90mm，b2=60mm，板厚=10mm，孔径d=10mm，圆角半径R=12mm。试求板件横截面上的最大拉应力（考虑应力集中）。题2-10图解：1.在圆孔处根据d0.010m0.1111b0.090m1查圆孔应力集中因数曲线，得K2.61故有KF12.636103NσKσ1.17108Pa117MPa(0.090－0.010)0.010m2(b－d)δmax1n112．在圆角处根据b0.090m1.5D1db0.060m2RR0.012m0.2db0.060m2查圆角应力集中因数曲线，得故有K1.742KF1.7436103N1.0410Pa104MPaσKσ2bδ80.0600.010m2max2n223.结论σ117MPa（在圆孔边缘处）max2-14图示桁架，承受铅垂载荷F作用。设各杆的横截面面积均为A，许用应力均为[]，试确定载荷F的许用值[F]。文档题2-14图解：先后以节点C与B为研究对象，求得各杆的轴力分别为FN12FFN2FFN3根据强度条件，要求由此得2F[]A[]A[F]22-15图示桁架，承受载荷F作用，已知杆的许用应力为[]。若在节点B和C的位试确定使结构重量最轻的值（即确定节点A的最佳位置）。置保持不变的条件下，题2-15图解：1.求各杆轴力设杆AB和BC的轴力分别为和，由节点B的平衡条件求得，FFctanαN2FN1FN2FFsinαN12.求重量最轻的值由强度条件得F[σ]sin，AFctanαA[σ]12文档结构的总体积为FlFlctanαFl2[σ]sin2αVAlAl(ctanα)[σ]sinαcosα[σ]1122由得dVdα03cos2α10α由此得使结构体积最小或重量最轻的值为α5444opt2-16图示桁架，承受载荷F作用，已知杆的许用应力为[]。若节点A和C间的指定距离为l，为使结构重量最轻，试确定的最佳值。题2-16图解：1.求各杆轴力由于结构及受载左右对称，故有FFN1FN22sinθ2.求的最佳值由强度条件可得FAA2[σ]sinθ12结构总体积为FlFlV2Al11[σ]sinθ2cosθ[σ]sin2θ由dV0dθ得cos2θ0由此得佳值为的最θ45opt文档2-17图示杆件，承受轴向载荷F作用。已知许用应力[]＝120MPa，许用切应力[]＝90MPa，许用挤压应力[]＝240MPa，试从强度方面考虑，建立杆径d、墩头直径D及其bsh间的合理比值。高度题2-17图拉伸、挤压与剪切强度，得载荷F的许用值分别为解：根据杆件πd2[][F](a)(b)(c)4tπ(D2d2)[]bs[F]4b[F]πdh[]s理想的情况下，[F][F][F]stb在上述条件下，由式（a）与（c）以及式（a）与（b），分别得4[][]hd[][]D1dbs于是得由此得[][]:1D:h:d1:[]4[]bsD:h:d1.225:0.333:12-18图示摇臂，承受载荷F与F2作用。已知载荷F=50kN，F2=35.4kN，许用切11应力确定轴销B的直径d。[]=100MPa，许用挤压应力[]=240MPa。试bs文档题2-18图解：1.求轴销处的支反力yF与F0，分别得由平衡方程0xFFFcos4525kNBx12FFsin4525kNBy2由此得轴销处的总支反力为F252252kN35.4kNB2.确定轴销的直径由轴销的剪切强度条件（这里是双面剪）F2FB[τ]τsAπd2得2F235.410d3m0.015m100106B[τ]由轴销的挤压强度条件FFBσ[σ]bddbsbs得F35.4103dδ[σ]0.010240106m0.01475mBbsd0.015m15mm。结论：取轴销直径2-19图示木榫接头，承受轴向载荷F=50kN作用，试求接头的剪切与挤压应力。题2-19图解：剪应力与挤压应力分别为50103N(0.100m)(0.100m)5MPa50103N(0.040m)(0.100m)bs12.5MPa文档2-20图示铆接接头，铆钉与板件的材料相同，许用应力[]=160MPa，许用切应力bs[]=120MPa，许用挤压应力[]=340MPa，载荷F=230kN。试校核接头的强度。题2-20图解：最大拉应力为230103Nmax(0.1700.020)(0.010)(m2)153.3MPa最大挤压与剪切应力则分别为230103N5(0.020m)(0.010m)230MPabs4230103N146.4MPa5π(0.020m)22-21图示两根矩形截面木杆，用两块钢板连接在一起，承受轴向载荷F=45kN作用。已知木杆的截面宽度b=250mm，沿木纹方向的许用拉应力[]=6MPa，许用挤压应力[]=10MPa，许用切应力[]=1MPa。试确定钢板的尺寸与l以及木杆的高度h。bs题2-21图解：由拉伸强度条件Fσb(h2δ)[σ]得45103h2δFb[σ]0.2506106m0.030m（a）由挤压强度条件文档Fσbsσ[]bs2bδ得F45103δ2b[σ]20.25010106m0.009m9mm（b）bs由剪切强度条件τF[τ]2bl得F45103m0.090m90mm2b[]20.2501106l取δ0.009m代入式（），得ah(0.03020.009)m0.048m48mm结论：取δ9mm，l90mm，h48mm。2-22图示接头，承受轴向载荷F作用。已知铆钉直径d=20mm，许用应力[]=160MP，a许用切应力[]=120MPa，许用挤压应力[]=340MPa。板件与铆钉的材料相bs同。试计算接头的许用载荷。题2-22图解：1.考虑板件的拉伸强度由图2-22所示之轴力图可知，FN1F，F3F/4N2σFN1F[σ](bd)δ1A1F(bd)δ[σ](0.200-0.020)0.015160106N4.32105N432kN3F4(b2d)δσFN2[σ]2A2F4(b2d)δ[σ]4(0.2000.040)0.015160106N5.12105N512kN33文档图2-222.考虑铆钉的剪切强度FF8s4FτF[τ]sA8πd2F2πd[τ]2π0.0202120106N3.02105N302kN23．考虑铆钉的挤压强度FF4bFF[]bsbd4dbsF4d[σ]40.0150.020340106N4.08105N408kNbs结论：比较以上四个F值，得[F]302kN2-23图a所示钢带AB，用三个直径与材料均相同的铆钉与接头相连接，钢带承受轴向载荷F作用。已知载荷F=6kN，带宽b=40mm，带厚=2mm，铆钉直径d=8mm，孔的边距a=20mm，钢带材料的许用切应力[]=100MPa，许用挤压应力[bs]=300MPa，许用拉应力[]=160MPa。试校核钢带的强度。题2-23图解：1．钢带受力分析文档分析表明，当各铆钉的材料与直径均相同，且外力作用线在铆钉群剪切面上的投影，通过该面的形心时，通常即认为各铆钉剪切面的剪力相同。铆钉孔所受挤压力F等于铆钉剪切面上的剪力，因此，各铆钉孔边所受的挤压力F相同，bb钢带的受力如图b所示，挤压力则为F6103NF2.0103N33b孔表面的最大挤压应力为F2.0103Nd(0.002m)(0.008m)1.25108Pa125MPa[]bsbbs在挤压力作用下，钢带左段虚线所示纵截面受剪（图b），切应力为2.0103N2a2(0.002m)(0.020m)Fb2.5107Pa25MPa[]钢带的轴力图如图c所示。由图b与c可以看出，截面1-1削弱最严重，而截面2-2的轴力最大，截面1-1与2-2的正应力分因此，应对此二截面进行拉伸强度校核。别为F2F3(b2d)2(6103N)83.3MPa3(0.040m20.008m)(0.002m)N11A16103N93.8MPaFFN2(0.040m0.008m)(0.002m)2A(bd)2文档第三章轴向拉压变形3-2一外径D=60mm、内径d=20mm的空心圆截面杆，杆长l=400mm，两端承受轴向拉力F=200kN作用。若弹性模量E=80GPa，泊松比=0.30。试计算该杆外径的改变量D及体积改变量V。解：1.计算D由于FεF，εΔDEADEA故有ΔDεDFD4FD40.302001030.060mEπ(D2d2)8010π(0.06020.0202）9EA1.79105m0.0179mm2.计算V变形后该杆的体积为π4V2)εεVlAllDεD()[()(dεd)2]Alε(1)(1)ε(122故有Fl2001030.400m3(120.3)80109ΔVVVV(ε2ε)(12μ)E4.00107m3400mm33-4图示螺栓，拧紧时产生l=0.10mm的轴向变形。已知：d1=8.0mm，d2=6.8mm，d3=7.0mm；l1=6.0mm，l2=29mm，l3=8mm；E=210GPa，[]=500MPa。试求预紧力F，并校核螺栓的强度。题3-4图解：1.求预紧力FF各段轴力数值上均等于，因此，lll)4FlllΔlF(()123EAAA122232πEddd312312由此得文档πEΔlπ2101090.10103N1.865104N18.65kN4(0.0060.0290.008)0.0080.006820.0072Flll24()121232ddd3222.校核螺栓的强度F4F418.65103N5.14108Pa514MPaπdπ0.0068m222σAminmax2[σ]此值虽然超过，但超过的百分数仅为2.6％，在5％以内，故仍符合强度要求。3-5图示桁架，在节点A处承受载荷F作用。从试验中测得杆1与杆2的纵向正应变分别为ε=4.0×10-4与ε=2.0×10-4。已知杆1与杆2的横截面面积A1=A2=200mm2，弹性12模量E1=E2=200GPa。试确定载荷F及其方位角之值。题3-5图解：1.求各杆轴力FEεA200104.0104200106N1.6104N16kN9N1111FEεA200102.0104200106N8103N8kN9N2222Fθ2.确定及之值由节点的平衡方程F0和F0得AxyFsin30FsinθFsin300N2N1Fcos30Fcos30Fcosθ0N1N2化简后，成为及FF2Fsinθ(a)N1N2文档3(FN1FN2)2Fcosθ(b)联立求解方程(a)与(b)，得FF(168)1030.19253(168)103tanθN1N23(FF)N1N2由此得θ10.8910.9FFFN2(168)103N2.12104N21.2kNN12sinθ2sin1089.3-6F作用。已知板的厚度为，长度为图示变宽度平板，承受轴向载荷l，左、右端的宽度分别为b与b2，弹性模量为E。试计算板的轴向变形。1题3-6图解：对于常轴力变截面的拉压平板，其轴向变形的一般公式为FF0Eb(x)Δlldxldx(a)0EA(x)由图可知，若自左向右取坐标x，则该截面的宽度为bbbxb()x211l代入式(a)，于是得1bln2ΔlFEdxFllbbEδ(bb)b2110δbx211l3-7A，材料密度为，弹性模量为图示杆件，长为l，横截面面积为E，试求自重下杆端截面B的位移。文档题3-7图B向上取坐标，处的轴力为yy解：自截面gAyFN该处微段dy的轴向变形为gAydygydyEdΔEAy于是得截面B的位移为glgl2()ΔydyE2ECy03-8图示为打入土中的混凝土地桩，顶端承受载荷F，并由作用于地桩的摩擦力所支f，且f=ky2，式中，k为常数。已知地桩的A，长度为l。试求地桩的缩短量。持。设沿地桩单位长度的摩擦力为横截面面积为弹性模量为E，埋入土中的题3-8图解：1.轴力分析摩擦力的合力为fdylFky2dykl33yl0根据地桩的轴向平衡，kl33F由此得k3F（a）l3y截面处的轴力为yyky3Ffdykydy23N002.地桩缩短量计算截面y处微段dy的缩短量为文档dδFdyNEA积分得lFdylkkl4yy3d12EAδNEA3EA00将式(a)代入上式，于是得Fl4EAδ3-9图示刚性横梁AB，由钢丝绳并经无摩擦滑轮所支持。设钢丝绳的轴向刚度（即需之力）为k，试求当载荷F作用时端点B的铅垂位移。产生单位轴向变形所题3-9图解：载荷F作用后，刚性梁AB倾斜如图(见图3-9)。设钢丝绳中的轴力为，其总伸长FNΔl为。图3-9以刚性梁为研究对象，由平衡方程M0得AFaF(abF(2ab))NN由此得FFN由图3-9可以看出，y(2ab)ΔlΔΔa(ab)(2ab)yy12可见，ΔΔly(b)根据k的定义，有文档FkΔlkΔyN于是得ΔFNkFyk3-10图示各桁架，各杆各截面的拉压刚度均为EA，试计算节点A的水平与铅垂位移。题3-10图（a）解：利用截面法，求得各杆的轴力分别为FFF（拉力）N1N2F2F（压力）N4F0N3于是得各杆的变形分别为llFl(伸长)12EA2F2l＝2Fl(伸长)EAEAl4l03如图3－10(1)所示，根据变形l1与l4确定节点作水平直线，与过A点的铅垂线相交于A’,此即结构变形后节点B的新位置B’,然后，过该点作长为l+l2A的新的垂线，并过其下端点位置。于是可以看出，节点A的水平与铅垂位移分别为Δ0AxFl212EA2FlFlΔl2llFl2EAAy142EAEA文档图3-10（b）解：显然，杆1与杆2的轴力分别为FF（拉力）N1F0N2于是由图3－10(2)可以看出，节点A的水平与铅垂位移分别为ΔlFlAx1EAΔlFlEAAy13-11图示桁架ABC，在节点B承受集中载荷F作用。杆1与杆2的弹性模量均为E，A=320mm2与A2=2580mm2。试问在节点B和C的位置保持不变的A的最佳位置）。横截面面积分别为条件下，1应取何值（为使节点B的铅垂位移最小，即确定节点题3-11图解：1.求各杆轴力由图3-11a得FsinθF，FFctanθN1N2文档图3-112.求变形和位移由图3-11b得ctanθFl，Δl＝Fl2FlN11EA2FlΔlEA2N22EAsin2θ12EA2112及ΔlΔl2ctan2θFl(sin2θsinθ)ΔBy122EAsinθtanθA21θ3.求的最佳值由dΔ/dθ0，得By2(2cos2θsinθcosθsin2θ)2ctanθcsc2θ0A1sin2θsinθ22A2由此得2Acos3θA(13cos2θ)012与将AA的已知数据代入并化简，得12cos3θ12.09375cos2θ4.031250解此三次方程，舍去增根，得cosθ0.564967θ由此得的最佳值为θ55.6opt3-12图示桁架，承受载荷F作用。设各杆的长度为l，横截面面积均为A，材料的应力应变关系为=B，其中n与B为由试验测定的已知常数。试求节点C的铅垂位移。n文档题3-12图解：两杆的轴力均为轴向变形则均为F2cosFNnFnl2AcoslllBB于是得节点C的铅垂位移为lcos2nAnBcosn1FnlΔCy3-13图示结构，梁BD为刚体，杆C承受集中载荷F作用。已知载荷F=20kN，各杆的横截面面积均为弹性模量E=200GPa，梁长l=1000mm。试计算该点的1、杆2与杆3的横截面面积与材料均相同。在梁的中点A=100mm2，水平与铅垂位移。题3-13图解：1.求各杆轴力F0，得由xF0N2F0，得由yFFF10kN2N1N32．求各杆变形文档Δl02101031.000200109100106FlΔlm5.010-4m0.50mmΔl3N1EA13．求中点C的位移由图3-13易知，图3-13ΔΔl0.50mm()，ΔΔl0.50mm()x1y13-14图a所示桁架，承受载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试求节相对位移。B/C点B与C间的题3-14图解：1.内力与变形分析利用截面法，求得各杆的轴力分别为FFFFF（拉力）N1N2N3N42FF（压力）N5于是得各杆得变形分别为Flllll(伸长)12342EA文档F2l2Fll(缩短)5EAEA2.位移分析b所示，过d与g分别作杆与h，然后，在de与gh延长线取线段l与l2，并在其端点C的新位置如图2与杆3的平行线，并分别与节点C的铅垂线相交于em与n分别作垂线，得交点C’，3即为节点。可以看出，lΔ2CiiC'252l2Fl222222Fl2EAFlB/C3EAEA3-15如图所示桁架，设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试用能量法求载荷作用点沿载荷作用方向的位移。题3-15图(a)解：各杆编号示如图3-15a，各杆轴力依次为221F，，FFFFN32F22N1N2该桁架的应变能为32EA2EA(2F222l214F2l)2EA11F2l(221)4Fl2NiiVεi1图3-15依据能量守恒定律，FΔV2ε文档最后得221)(221)Fl()44EA2F2Δl(F2EA(b)解：各杆编号示如图b列表计算如下：ililFNiFFl2NiiFl212340Fl0lF22lFlFl2F2l22F2l(322)F2l5于是，(322)F2l5Fl2NiiVε2EA2EAi1依据能量守恒定律，FΔ2Vε可得Δ(322)Fl()EA3-16图示桁架，承受载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试用能量法求节点B与C间的相对位移。B/C题3-16图解：依据题意，列表计算如下：iFNi2F/2lilF2lNiiF2l/2122F/2F2l/2l文档2F/22F/2FF2l/2F2l/22F2l345ll2l(22)F2l由表中结果可得F2l(22)F2lNii2EA2EA5Vεi1依据得WVΔ(22)Fl()B/CEA3-17F作用。已知板的厚度为，长度为图示变宽度平板，承受轴向载荷l，左、右端的宽度分别为b与b2，弹性模量为E，试用能量法计算板的轴向变形。1题3-17图解：对于变截面拉压板件，应变能的表达式为dxdxF2N02EA(x)F2Nll(a)V02Eb(x)由图可知，若自左向右取坐标x，则该截面的宽度为bb()bxb21x1lF,于是得将上式代入式（a）,并考虑到FNl1F2F2l2Eδ(bb)b1bln2Vdxbb1xε2E0δb1221l设板的轴向变形为能量守恒定律可知，l，则根据FΔlV2ε或FΔlFl2bln222Eδ(bb)b211文档由此得bFlΔlln2Eδ(bb)b2113-19图示各杆，承受集中载荷F或均布载荷q作用。各杆各截面的的拉压刚度均为EA，试求支反力与最大轴力。题3-19图力如图3-19a(1)所示，(a)解：杆的受平衡方程为F0,FFFF0xAxBx一个平衡方程，两个未知支反力，故为一度静不定。图3-19aAC，CD与DB段的轴力分别为FF,FFF,FF2FN1AxN2AxN3Ax由于杆的总长不变，故补充方程为lFaFFaF2Fa0AxEAAxEAAxEA得FF0Ax由此得FFAxF2FFFBxAx杆的轴力图如3-19a(2)所示，最大轴力为文档FFN,max(b)解：杆的受力如图3-19b(1)所示，平衡方程为F0,qaFF0xAxBx一个平衡方程，两个未知支反力，故为一度静不定。图3-19bAC与CB段的轴力分别为FF,FFqxN1AxN2Ax由于杆的总长不变，故补充方程为lFa1Fqxdx0aAxEAEA0Ax得qa20212FaAxEA由此得qa4FAx3qaFqaF4BxAx杆的轴力图如3-19b(2)所示，最大轴力为3qaF4Nmax3-20图示结构，杆1与杆2的横截面面积相同，弹性模量均为E，梁BC为刚体，c载荷F=20kN，许用拉应力[]=160MPa,许用压应力[]=110MPa，试确定各杆的横截面面积。t文档题3-20图解：容易看出，在载荷F作用下，杆2伸长，杆1缩短，且轴向变形相同，故F为拉力，N2FFFN1为压力，且大小相同，即N2N1以刚性梁BC为研究对象，铰支点为矩心，由平衡方程M0,FaFaF2a0N2N1由上述二方程，解得FFFN2N1根据强度条件，20103NF[]A1.818104m2N1111010Pa6c20103NF[]A1.25104m216010Pa6N22t取AA182mm2123-21图示桁架，承受铅垂载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度相同，试求各杆轴力。题3-21图(a)解：此为一度静不定桁架。F0，得以压为正，其余各段轴力以拉力为正。先取杆为研究对象，由ABy设FN,AB(a)FFFN,ABN,BC后取节点为研究对象，由和0依次得到yAF0xF文档FF(b)(c)(d)N,ADN,AG及2Fcos45FN,ADN,ABA在节点处有变形协调关系（节点铅垂向下）AΔlΔlΔl2ΔlADADcos45BCAB物理关系为ΔlFl，ΔlFlΔF，lN,ADEAAD2lΔlAGN,BCEAN,ABEA(e)BCAB将式(e)代入式(d)，化简后得(d)FF2FN,ABN,ADN,BC(a)，(c)(d)联解方程和，得22F（压），21F（拉）FN,BC22F（拉），FFF22N,ABN,ADN,AG(b)解：此为一度静不定问题。考虑小轮的平衡，由，得AF0yFsin45F0N1由此得F2FN1FAΔ在作用下，小轮沿刚性墙面向下有一微小位移，在小变形条件下，，故有l20F0N2F的水平分量由刚性墙面提供的约束反力来平衡。N13-22图示桁架，杆1、杆2与杆3分别用铸铁、铜和钢制成，许用应力分别为123[]=40MPa，[]=60MPa，[]=120MPa，弹性模量分别为E=160GPa，E2=100GPa，1E3=200GPa。若载荷F=160kN，A1=A2=2A3，试确定各杆的横截面面积。文档题3-22图解：此为一度静不定结构。节点C处的受力图和变形图分别示如图3-22a和b。图3-22由图a可得平衡方程F0，F23FN2(a)(b)xN1F0，12FFFyN2N3由图b得变形协调方程为ΔlΔlctan30Δl3(c)21sin30根据胡克定律，有FlN11Fl，ΔlFlFl，ΔlFlFlN31Δl(d)N11N22EAN213EAN33EAEA2EA1233EA111322233333将式(d)代入式(c)，化简后得补充方程为15F32F8FN2N3(c')N1联解方程(a)，(b)和(c’)，并代入数据，得F22.6kN(压)，F26.1kN（拉），F146.9kN（拉）N1N2N3根据强度要求，计算各杆横截面面积如下：A2420.6101063m25.65104m2565mm2FN1[]σ11A2660.1101063m24.35104m2435mm2FN2[]σ22文档AF146.9103m21.22410m21224mm23N3[]σ12010633根据题意要求，最后取AA2A2450mm21233-23图a所示支架，由刚体ABC并经由铰链A、杆1与杆2固定在墙上，刚体在C点处承受铅垂载荷F作用。杆1与杆2的长度、横截面面积与弹性模量均相同，分别为l=100mm，A=100mm2，E=200GPa。设由千分表测得C点的铅垂位移ymm，试确定载荷F与各杆轴力。题3-23图解：1.求解静不定在载荷F作用下，刚体ABC将绕节点A沿顺时针方向作微小转动，刚体的位移、杆件的变形与受力如图b所示。显然，本问题具有一度静不定。M0，得由平衡方程AFFN2F0(a)(b)(c)2N1由变形图中可以看出，变形协调条件为l2l12根据胡克定律，Fl,FlΔlΔlN1N2EA1EA2将上述关系式代入式（b），得补充方程为F2FN2N1联立求解平衡方程（a）与上述补充方程，得4F,2FFF(d)55N1N22.由位移y确定载荷F与各杆轴力变形后，C点位移至C’(CC’AC)（图b），且直线AC与AB具有相同的角位移，因此，文档C点的总位移为ACABCC'l2l11又由于2y由此得l1y将式（c）与（d）的第一式代入上式，于是得F5EA4l5(200109Pa)(100106m2)(0.075103m)1.875104Ny4(10010m)3并从而得F1.5104N,F7.5103NN1N23-24图示钢杆，横截面面积A=2500mm，弹性模量E=210GPa，轴向载荷F=200kN。2试在下列两种情况下确定杆端的支反力。(a)间隙=0.6mm；(b)间隙=0.3mm。题3-24图F作用下，杆右端截面的轴向位移为解：当杆右端不存在约束时，在载荷(200103N)(1.5m)FaEA(210109Pa)(2500106m2)0.57mmFF当间隙=0.6mm时，由于，仅在杆C端存在支反力，其值则为FF200kNCxF当间隙=0.3mm时，由于，杆两端将存在支反力，杆的受力如图3-24所示。图3-24杆的平衡方程为文档FFF0BxCx补充方程为由此得F2aBxEAFaEAEAFF22aBx200103N(0.0003m)(210109Pa)(2500106m2)47.5kN22(1.5m)而C端的支反力则为FFF200kN47.5kN152.5kNCxBx3-25图示两端固定的等截面杆AB，杆长为l。在非均匀加热的条件下，距A端xTTx2B/l2，式中的为杆T件B端的温度增量。材料的弹性模量与线膨处的温度增量为B胀系数分别为件横截面上的应力。E与。试求杆l题3-25图解：1.求温度增高引起的杆件伸长问题。假如将B端约束解除掉，则在x处的杆微段dx就会因温升而有一此为一度静不定个微伸长αΔTx2dxd(Δl)αΔTdxlBl2tl全杆伸长为lαΔαΔTlTxB2ΔldxllB3tl202．求约束反力设固定端的约束反力为F，杆件因F作用而引起的缩短量为ΔlFlFlEAEANF由变形协调条件ΔlΔlFt文档可得αΔTlEATlαΔEAlFBlB333．求杆件横截面上的应力αΔETσFNFAAlB33-26图示桁架，杆BC的实际长度比设计尺寸稍短，误差为。如使杆端B与节点G强制地连接在一起，试计算各杆的轴力。设各杆各截面的拉压刚度均为EA。题3-26图下将各杆编号1~5。由强制装配容易判断，分别示如图3-26a和b。解：此为一度静不定问题。自左向右、自上向杆1~3受拉，杆4和5受压。装配后节点和的受力图GC图3-26根据平衡条件，由图a可得(a)FN1FFN2N3由图b可得(b)(c)(d)FN4FF，2Fcos303FN3N4N5N4变形协调关系为(参看原题图)ΔΔl4l1ΔΔlcos60cos303依据胡克定律，有FlΔlii(i1~5)NEAi将式(d)代入式(c)，得补充方程文档Δ2Fl2F3lFl(e)N1EAN43EAN3EA联立求解补充方程(e)、平衡方程(a)与(b)，最后得(923)EAΔ,23l(332)EAΔ23lFFN3N4即(923)EAΔ（拉）FN,GEFF23lN,BCN,GD(332)EAΔ（压）FF23lN,CDN,CE3-27图a所示钢螺栓，其外套一长度为l的套管。已知螺栓与套管的横截面面积分别为Ab与At，弹性模量分别为Eb与Et，螺栓的螺距为p。现将螺母旋紧1/5圈，试求螺栓与套管所受之力。螺帽与螺母的变形忽略不计。题3-27图解：首先设想套管未套上，而将螺母由距螺帽l处旋转1/5圈，即旋进=p/5的距离。然后，再将套管套上。由于螺帽与螺母间的距离小于套管的长度，故套合后的螺栓将受拉，而套管则受压。设螺栓所受拉力为FNb，伸长为lb，套管所受压力为FNt，缩短为lt，则由图b与c可知，平衡方程为FF0(a)NbNt而变形协调方程则为tllb利用胡克定律，得补充方程为FlFl(b)NbAENtAEttbb最后，联立求解平衡方程（a）与补充方程（b），得螺栓与套管所受之力即预紧力为AEl1kFFFNbNtbbN0式中，文档AEbAEkbtt3-28图示组合杆，由直径为30mm的钢杆套以外径为50mm、内径为30mm的铜管组成，二者由两个直径为10mm的铆钉连接在一起。铆接后，温度升高40，试计算铆钉剪E=200GPa与Ec=100GPa，线膨胀系数分别为切面上的切应力。钢与铜的弹性模量分别为s=12.5×10-6与lc=16×10-6-1。-1ls题3-28图δ和铜管自由伸长量分别为和，由于二者TsT被铆钉连在一起，δTc解：设温度升高时钢杆变形要一致，即变形协调条件为δΔlδΔlTssTcc或写成ΔlΔlδδscTcTsΔlΔl这里，伸长量和缩短量均设为正值。sc引入物理关系，得FlFl(αα)lΔTNsEAEAcNclclsssc将静力平衡条件FFF代入上式，得NsNcEAEA(αα)ΔTcEAEAllcsFsscsscc注意到每个铆钉有两个剪切面，故其切应力为EAEA(αα)ΔTτFFSsscclcls2A(EAEA)ssccA2A由此得2001090.0302100109(0.05020.0302)(1612.5)10640N20.0102[2001090.0302100109(0.05020.0302)]m25.93107Pa59.3MPa3-29图示结构，杆1与杆2各截面的拉压刚度均为EA，梁BD为刚体，试在下列两文档种情况下，画变形图，建立补充方程。(1)若杆2的实际尺寸比设计尺寸稍短，误差为；(2)若杆1的温度升高T，材料的热膨胀系数为。l题3-29图。(1)解：如图3-29(1)a所示，当杆2未与刚性杆BD连接时，下端点位于，即DDD端点铅垂位移至D，同时，当杆2与刚性杆BD连接后，下杆1的下C端点则铅垂位移至。CeΔl同时，Δ，DDl，即代表杆1的弹性变形，过作直线C’e垂直于杆1的轴线，显然1C2即代表杆2的弹性变形。与上述变形相应，杆1受压，杆2受拉，刚性杆BD的受力如图3-29(1)b所示。图3-29(1)可以看出，DD2CC即变形协调条件为Δl22Δl21而补充方程则为或Fl4Fl021EAEAEAF4F021l(2)解：如图3-29(2)a所示，当杆1未与刚性杆BD连接时，由于其温度升高，下端点位2lΔT。当杆1与刚性杆BD连接后，下端点C铅垂位移至C，而杆2的于，即CCClDΔ即代表杆1，显然，CC下端点D则铅垂位移至。过作直线C’e垂直于直线CeCl1文档DDΔl的弹性变形，同时，，代表杆2的弹性变形。与上述变形相应，杆1受压，杆2受2拉，刚性杆BD的受力如图3-29(2)b所示。图3-29(2)可以看出，故变形协调条件为而补充方程则为DD2CC2lΔTΔlΔl222l12lΔTF2lEAFl2EA221l或lF4F4EAΔT0213-30图示桁架，三杆的横截面面积、弹性模量与许用应力均相同，并分别为A，E与[]，试确定该桁架的许用载荷[F]。为了提高许用载荷之值，现将杆3的设计长度l变为lΔ。试问当为何值时许用载荷最大，其值Fmax[]为何。题3-30图解:此为一度静不定问题。节点C处的受力及变形示如图3-30a和b。文档图3-30由图a得平衡方程为FF，2Fcos30FFN3(a)(b)(c)(b’)N1N2N1由图b得变形协调条件为ΔlΔlcos3013依据胡克定律,有FlNii(i1,2,3)EAΔli将式(c)代入式(b)，化简后得补充方程为43FN3FN1将方程(b’)与方程(a)联解，得3N24334FN1FFF，N3433FFN14F(433)AσFN3[σ]maxA由此得F(433)[]A,[F](433)[]A4为了提高值，可将杆做长，由图4b得变形协调条件为[F]3ΔlΔlΔ31cos30l与l式中，均为受载后的伸长，依题意，有了后，应使三根杆同时达到[σ]，即31[σ]lΔ4[σ]l3EE由此得Δ(41)[σ]l[σ]l3E3E此时，各杆的强度均充分发挥出来，故有[F]2([]Acos30)[]A(13)[]Amax文档第四章扭转4-5一受扭薄壁圆管，外径D=42mm，内径d=40mm，扭力偶矩M=500N•m，切变模量G=75GPa。试计算圆管横截面与纵截面上的扭转切应力，并计算管表面纵线的倾斜角。解：该薄壁圆管的平均半径和壁厚依次为1Dd222DdR()20.5mm，1mm220于是，该圆管横截面上的扭转切应力为T500N2π0.020520.001m21.894108Pa189.4MPa2πR20依据切应力互等定理，纵截面上的扭转切应力为ττ189.4MPa该圆管表面纵线的倾斜角为τ189.4106Grad2.5310375109rad4-7R/≥10时，薄壁圆管的扭转切应力公式的最0试证明，在线弹性范围内，且当大误差不超过4.53%。解：薄壁圆管的扭转切应力公式为Tτ2πR2δ0述公式计算的扭转切应力为/，按上设Rδβ0TTτ(a)2πR2δ2πβδ0轴的内、外直径分别为23按照一般空心圆轴考虑，dRδDRδ2，200极惯性矩为πRδ(4R2δ2)Iπ(D4d4)π[(2Rδ)4(2Rδ)4]323202p000由此得π3(421)T(21)T(RδTτI2πR(2R))(b)0(4R22)max00p0比较式(a)与式(b)，得πT(21)2(21)(421)421τT2π233τmaxR当10时，041021210(2101)0.9548max文档Rδτ可见，当/10时，按薄壁圆管的扭转切应力公式计算的最大误差不超过4.53％。04-81/m表示，并可C图a所示受扭圆截面轴，材料的曲线如图b所示，用式中的C与m为由试验测定的已知常数。试建立扭转切应力公式，并画横截面上的切应力分布图。题4-8图解：所研究的轴是圆截面轴，平面假设仍然成立。据此，d从几何方面可以得到(a)dxρ根据题设，轴横截面上距圆心为处的切应力为d)1/τC((b)mρdx由静力学可知，dρdAC()dAT(c)(d)1/m(m1)/mρdxdA取径向宽度为的环形微面积作为，即dA2πρdρAAdρ将式(d)代入式(c)，得dd/22πC()1/m(2m1)/mdρTρdx0由此得(3m1)T(d)1/mx(e)d2πCm(d)(3m1)/m2将式(e)代入式(b)，并注意到T=M，最后得扭转切应力公式为M1/m2πmd()(3m1)/m3m12横截面上的切应力的径向分布图示如图4-8。文档图4-8a所示受扭圆截面轴内，用横截面ABC和DEF与径向纵截面ADFC切出单4-9在图元体ABCDEF（图b）。试绘各截面上的应力分布图，并说明该单元体是如何平衡的。题4-9图解：单元体ABCDEF各截面上的应力分布图如图4-9a所示。图4-9根据图a，不难算出截面上分布内力的合力为AOOD114Tld2Fx1τ(l)2πdmax2同理，得截面上分布内力的合力为OCFO14TlFπdx22方向示如图c。设Fx1与xF作用线到轴线的距离为e，容易求出xz212dd323ez1根据图b，可算出单元体右端面上水平分布内力的合力为Tπd/2π28T3πdcos(θ)ρdρdθFzI002p同理，左端面上的合力为8T3πdFz1方向亦示如图c。设F作用线到水平直径DF的距离为e（见图b），由zy2文档FeTπcos2()dπd/2dT3I24zy002p得T3πd3πde0.295d3248TyF作用线到水平直径的距离也同此值。ACz同理，1根据图b，还可算出半个右端面DOE上竖向分布内力的合力为1π/2d/2Tρπ4T3πdFsin(θ)ρdρdθI2y003peFOE设作用线到竖向半径的距离为（见图b），由y1z23Tπ/2cos2dd/2FedT3I8yz2003p得T3πd3πd0.295de84T32z2同理，可算出另半个右端面OFE以及左端面AOB、OCB上的竖向分布内力的合力为14T3πdFFFy4yy21e均示如图c。它们的作用线到所在面竖向半径的距离均为。z方向2由图c可以看得很清楚，该单元体在四对力的作用下处于平衡状态，这四对力构成四个力偶，显然，这是一个空间力偶系的平衡问题。TT22M0，F(2e)FeF(2e)Fe0xyzzyyzzy4221218Tl8Tl0M0，FlF(2e)3πd3πdyzxz1214Tl4Tl0M0，FlFl3πd3πdzyy34既然是力偶系，力的平衡方程（共三个）自然满足，这是不言而喻的。TM所有的在数值上均等于。上述讨论中，4-11如图所示，圆轴AB与套管CD用刚性突缘E焊接成一体，并在截面A承受扭力偶矩M作用。圆轴的直径d=56mm，许用切应力[]=80MPa，套管的外径D=80mm，壁1厚=6mm，许用切应力[]=40MPa。试求扭力偶矩M的许用值。2文档题4-11图解：由题图知，圆轴与套管的扭矩均等于M。1.由圆轴求的许用值ABMM16M11[]πd31max1Wp1由此得M的许用值为πd3[]π0.056380106M[]Nm2.76103Nm2.76kNm1161612．由套管CD求M的许用值D2806mm37mm，Rδ6mmR10200此管不是薄壁圆管。80－6268800.858016M2M2W[])42Dπ(1max23p2由此得M的许用值为[M]πD3(1)[]π0.0803(10.854)401046Nm2161621.922103Nm1.922kNm可见，扭力偶矩M的许用值为[][]1.922kNmMM24-13图示阶梯形轴，由AB与BC两段等截面圆轴组成，并承受集度为m的均匀分布的扭力偶矩作用。为使轴的重量最轻，试确定AB与BC段的长度l1与l2以及直径d1与d2。已知轴总长为l，许用切应力为[]。题4-13图文档解：1.轴的强度条件A在截面处的扭矩最大，其值为Tmax1ml由该截面的扭转强度条件T[τ]max116mlπdmax1W31p1得16mlπ[τ]d(a)31BCB段上的最大扭矩在截面处，其值为Tmax2ml2由该截面的扭转强度条件得316ml2π[τ]d22．最轻重量设计轴的总体积为π4π4π16ml4π[τ])2/3(ll)(16π[mlτ]2)2/3l]Vd2(ll)d2l[(122222根据极值条件dV0dl2得(16ml)(16m)2/35l2/302/3π[]π[]32由此得从而得35l()3/2l0.465l(b)235lll1[1()3/2]l0.535l(c)(d)216mπ[]316mlπ[]d()1/3l1/3()0.775d11/23522该轴取式(a)~(d)所给尺寸，可使轴的体积最小，重量自然也最轻。4-14一圆柱形密圈螺旋弹簧，承受轴向压缩载荷F=1kN作用。设弹簧的平均直径D=40mm，弹簧丝的直径d=7mm，许用切应力[]=480MPa，试校核弹簧的强度解：由于。文档D40d7m5.7110故需考虑曲率的影响，此时，8FD(4m＋2）81.001030.040(45.712)Ndm3)π0007(45.713)m.maxπ(43323.72108Pa372MPa结论：[]，该弹簧满足强度要求。max4-20图示圆锥形薄壁轴AB，两端承受扭力偶矩M作用。设壁厚为，横截面A与B的平均直径分别为d与d，轴长为l，切变模量为G。试证明截面A和B间的扭转角为BA2Ml（dd)πGAd2d2BA/BAB题4-20图证明：自左端A向右取坐标x，轴在x处的平均半径为ddBlR(x)1(dAx)1(dcx)220AA式中，cddBAl截面x的极惯性矩为1πδI2πR32π[(dcx)]3(dcx)324p0AA依据dT(x)4MGπ(dcx)AdxGI3p得截面A和B间的扭转角为dcx2l04Md(dcx)2Ml()|AπGc()πGδcA/BAdcxA302Ml112Ml(dd)AB()πGδ(dd)d2d2πGδd2d2BABAAB文档4-21图示两端固定的圆截面轴，承受扭力偶矩作用。试求支反力偶矩。设扭转刚度为已知常数。题4-21图但有对称条件可以利用。(a)解：此为静不定轴，设A与B端的支反力偶矩分别为和M，它们的M转向与扭力偶矩相反。由于左右MAB对称，故知MMABM0可得x由MMA2M2MAB即MMMBA(b)解：此为静不定轴，可解除右端约束，代之以支反力偶矩M，示如图4-21b。B图4-21b变形协调条件为0(a)(b)B利用叠加法，得MaM(2a)Ma(3)BBGIGIGIppp将式(b)代入式(a)，可得1M3MB文档进而求得1MM（转向与相反）BM3A(c)解：此为静不定轴，与(a)类似，利用左右对称条件，容易得到maMMB2AmM和M的转向与相反。AB(d)解：此为静不定轴，可解除右端约束，代之以支反力偶矩M，从变形趋势不难判断，BmM的转向与相反。B变形协调条件为0(c)(d)Bx利用叠加法，得到（从左端向右取）am(ax)dxM(2a)ma2Ma2BGIB2GIGIBB,mB,MBGI0pppp将式(d)代入式(c)，可得maM4B进而求得3maMmaMA4BmM的转向亦与相反。A4-22图示轴，承受扭力偶矩M=400N•m与M2=600N•m作用。已知许用切应力1[]=40MPa，单位长度的许用扭转角[]=0.25(°)/m，切变模量G=80GPa。试确定轴径。题4-22图解：1.内力分析B此为静不定轴，设端支反力偶矩为，M当系统示4-22a该轴的相如图。B文档图4-22利用叠加法，得1[4000.5006001.250M2.500]GIBBp将其代入变形协调条件0，得BM(6001.2504000.500)Nm2220Nm2.500mB该轴的扭矩图示如图4-22b。2.由扭转强度条件求d由扭矩图易见，T380Nmmax将其代入扭转强度条件，Tmax16Tmax[]πd3maxWp由此得d316Tmax316380m30.0364m36.4mmπ40106π[]3.由扭转刚度条件求d将最大扭矩值代入Tmax32Tmax[]GIGπd4p得d432TπG[]32380180m44π801090.25π0.0577m57.7mmmax结论：最后确定该轴的直径d57.7mm。文档4-23图示两端固定阶梯形圆轴AB，承受扭力偶矩M作用。已知许用切应力为[]，径d与d2。为使轴的重量最轻，试确定轴1题4-23图解：1.求解静不定设A与B端的支反力偶矩分别为M与M，则轴的平衡方程为ABM0,MMM0(a)xABAC与CB段的扭矩分别为代入式（a），得TM1TM，2BATTM0(b)(c)12与，则变形协调条件为AC设AC与CB段的扭转角分别为CB0CBAC利用扭转角与扭矩间的物理关系，分别有Ta2Ta2GICB，1GIACp1p2代入式（c），得补充方程为4dT2T0(d)(e)12d21最后，联立求解平衡方程（b）与补充方程（d），得2d4Md4M2，4T11T4d42d42d2d21212.最轻重量设计从强度方面考虑，要使轴的重量最轻，应使AC与CB段的最大扭转切应力的数值相等，且当扭力偶矩M作用时，最大扭转切应力均等于许用切应力，即要求T1WT2W[]，[]p1p2由此得3WWT1T2dp11dp22文档将式（e）代入上式，得d2d21并从而得M8M9T，T912根据圆轴扭转强度条件，于是得轴的直径为d2316T1316Mπ[]9π[]d214-24图示二平行圆轴，通过刚性摇臂承受载荷F作用。已知载荷F=750N，轴1和轴2的直径分别为d=12mm和d2=15mm，轴长均为l=500mm，摇臂长度a=300mm，切变模1量G=80GPa，试求轴端的扭转角。题4-24图解：这是一度静不定问题。变形协调条件为ΔΔ或2(a)121这里，和分别为刚性摇臂1和2在接触点处的竖向位移。设二摇臂间的接触力为2F，则轴1和2承受的扭矩分别为TF1FaTFa(a)，(b)(c)2222物理关系为Tl1GITl212，＝GIpp12将式(c)代入式(a)，并注意到式(b),得d4F22(d4d4)12F2由此得文档Tl16Fal167500.3000.500m4)π8010(0.01240.0154)m2GIπG(d4d