北师大版九年级上册数学直角三角形的边角关系全章经典教案

第一章直角三角形的边角关系第1节锐角三角函数导入：如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?【知识梳理】1、正切的定义记作tanA。在确定，那么A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做记作tanA。B口口 /A的对边_〃 /即伯必二/A的邻边-b A的对边wA的邻边bC■例1已知在RtAABC中，NC=90°,CD±AB,AD=8,BD=4,求tanA的值。跟踪练习：1、在RtAABC中，锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,tanA的值(A.扩大100倍B.缩小100倍C.不变 D.不能确定2、已知/&NB为锐角(1)若NA=NB,则tanAtanB;(2)若tanA=tanB,则NANB.3、在AABC中,NC=90°,BC=12cm,AB=20cm,^tanA和tanB的值.

4、在等腰aABC中，AB=AC=13,BC=10,求tanB.5、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为0,则tan0=.（1）坡度一般写成1：m的形式（比例的前项为1，后项可以是小数）；（2）若坡角为a，坡度为i=h=tana，坡度越大，则a角越大，坡面越陡。1/■例2拦水坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽BC为6m，坝高为3.21^为了提高拦水坝的拦水能力，需要将水坝加高2m，并且保持坝顶宽度不变,迎水坡CD的坡度不变,但是背水坡的坡度由原来的i=1：2变成i’=1：2.5（有关数据在图上已标明）。求加高后的坝底HD的宽为多少？跟踪练习:1、如图，RtAABC是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为12m,它的坡角为45°,为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD，求DB的长.（结果保留根号）2、若某人沿坡度i2、若某人沿坡度i=3：3、正弦、余弦的定义在Rt中，锐角NA的对边与斜边的比叫做NA的正弦，记作sinAoTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"/A的对边 a即sinA= ttvt =一斜边cNA的邻边与斜边的比叫做NA的余弦，记作cosAo/A的邻边b即cosA= tt-tt =—斜边c■例3在4ABC中，NC=90°,BC=1,AC=2,求sinA、sinB、cosA、cosB的值。通过计算你有什么发现？请加以证明。跟踪练习:1.如图，已知直角三角形ABC中，斜边AB的长为m,/B=40,则直角边BC的长是（0A.msin40B.mcos40 C.mtan40 A.msin40tan402.如图，NC=90°CD±AB.(1)SinB=9=H=旧(2)若BD=6,CD=12.求cosA的值.3、如图:在RtAABC中,NB=900,AC=200,sinA=0.6.求:BC的长.4、在等腰4ABC中,AB=AC=13,BC=10,求sinB,cosB.4、三角函数的定义(重点)锐角A的正弦、余弦和正切都是NA的三角函数。直角三角形中，除直角外，共5个元素，3条边和2个角，它们之间存在如下关系:(4、在等腰4ABC中,AB=AC=13,BC=10,求sinB,cosB.4、三角函数的定义(重点)锐角A的正弦、余弦和正切都是NA的三角函数。直角三角形中，除直角外，共5个元素，3条边和2个角，它们之间存在如下关系:(1)三边之间关系:(2)锐角之间关系:(3)边角之间关系:NA+NB=90°；a b a ... , ,, , ,, , ,sinA=,cosA=—,tanA=。(其中NA的对边为a,NB的对边为b,NC的对边c c b为c)除指角外只要知道其中2个元素(至少有1个是边)，就可以利用以上关系求另外3个元素。■例4、方方和圆圆分别将两根木棒AB=10cm,CD=6cm斜立在墙上，其中BE=6cm,DE=2cm,你能判断谁的木棒更陡吗？说明理由。总结:①锐角三角函数的定义.锐角A的都叫做NA的三角函数.②定义中应该注意的几个问题(1)sinA,cosA,tanA,是在直角三角形中定义的,NA是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).sinA,cosA,tanA,是一个完整的符号，表示NA,习惯省去“N”号;sinA,cosA,tanA,是一个比值.注意比的顺序，且sinA,cosA,tanA,均〉0,无单位.sinA,cosA,tanA,的大小只与NA的大小有关，而与直角三角形的边长无关.1.已知^ABC中，/C=90。，1.已知^ABC中，/C=90。，3cosB=2,AC=2<5，贝UAB=.在RtAABC中如果AB=2BC=1，那么sinB的值是（ACB<3B.2.在RtAABC中，/C=90°,3a,b,c分别是/A,/B,/C的对边，若b=2a则tanA=（5）角相等，则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.【课堂练习】一.基础练习:米.1.如图，P是Na的边OA上一点3 4—B.—5 5AD1CD且点P的坐标为（3,4）,则米.1.如图，P是Na的边OA上一点3 4—B.—5 5AD1CD且点P的坐标为（3,4）,则sina=（ ）4C. D.—4 3AB=13,BC=12,CD=3,AD=4，则sinB=（）5A.—1312B.—C.1335D..直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8,现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B则tan/CBE的值是（ ）重合,折痕为DE,24A.—7v'7 7B亍 C.24.如图所示Rt△ABCsRt△D£F则cosEB.<2

VC,立2D.国3五.中考链接1.正方形网格中NAOB如图放置则cosNAOB的值为（A.三5B.D.2TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument" 3 ….如图,一架梯子斜靠在墙上，若梯子到墙距离AC=3米，cos/BAG二，则梯子AB的长度为4.如果/a是等腰直角三角形的一个锐角，则tana的值是（ ）1 至A.-B. C.1\o"CurrentDocument"2 2知识延伸A.V2B.A.V2B.O 1..如图，在△ABC中，/ACB=90,CD1AB于D，若AC=2v,3,AB=3t2第则Un/BCD的0,A值为（ ）E2 *C（第2题）第2-3节特殊角的三角函数值1、对几个特殊角的三角函数值熟记.度数sinacosatanacota0°010无意义30°12出与后45°①2也21160°显12V3且了90°10无意义02、直角三角形中的边角关系直角三角形的边角关系:三边关系：勾股定理a2+b2=c2；②锐角关系：/A+ZB=900；„ 一 _a b, _a, -b边角之间的关系：sinA=cosB=—,cosA=sinB=—,tanA=cotB=—,cotA=tanB=—.c c b a（2）※直角三角形可解的条件和解法：①一边一锐角：先由锐角关系求另一锐角，知斜边，再用正弦（或余弦）求另二边；知直角边用正切求另一直角边，再用正弦或勾股定理求斜边；二边：先用勾股定理求另一边，再用边角关系求锐角.（解题关键：先构造直角三角形，再利用三角关系求对应未知量）【基础训练】.在RtAABC中,NC=90°,AB=3,BC=1,贝UsinA=,tanA=,cosA=.在RtAABC中,NC=90°,tanA=3,贝UsinB=,tanB=.4.在△ABC中,AB=AC=3,BC=4,则tanC=,cosB=.， ， 91，.在RtAABC中,NC=90°,AB=41,sinA=—，则AC= ,BC=.41.在△ABC中,AB=AC=10,sinC=］，贝UBC=..在△ABC中,已知AC=3,BC=4,AB=5,那么下列结论正确的是（ ）3 3A.sinA=—B.cosA=4 53C.tanA=一3-7.如图，3 3A.sinA=—B.cosA=4 53C.tanA=一3-7.如图，在△ABC中,NC=90°,sinA=5，则4BCAC3D.cosB=—5等于（a-44B.-3c.54D.—5，,一3一8.RtAABC中,NC=90°,已知cosA=5，那么tanA等于4A.一3B4A.一3B-1c.59.已知甲、乙两坡的坡角分别为a、B,若甲坡比乙坡更徒些，则下列结论正确的是（A.tana<tanpA.tana<tanpB.sina<sinp;C.cosa<cospD.cosa>cosp.如图,在RtAABC中,CD是斜边AB上的高，则下列线段的比中不等于sinA的是（CD DBA..如图,在RtAABC中,CD是斜边AB上的高，则下列线段的比中不等于sinA的是（CD DBA.—— B.——AC CBC.AD.C.某人沿倾斜角为B的斜坡前进100m,则他上升的最大高度是（100A.-sinpB.100-sinp C.^0- D,100-cospcosp.在RtAABC中,NC是直角,NA、NB、NC的对边分别是a、b、c,且a=24,c=25,求sinA、cosA、tanA、sinB、cosB、tanB的值..若三角形三边的比是25:24:7，求最小角的正切值、正弦值和余弦值.【典型例题】例1.①如图：P是Na的边OA上一点，且P点的坐标为(3,4),则sin(900-a)=.②在4ABC中，NACB=90。，CD±AB于D,若AC=4,BD=6,则sinA=tanB=.1③若a为锐角，tana=5,则sina=,cosa=.④当尸,sinx+cosx-、时，— 无意义.(00<x<90。)sinx-cosx⑤求值：1sin60。义cos45。sinx+2cosx⑥已知：tanx=2,则2sinx-cosx=⑦在AABC中/C=90°，/A>NB，且tanA和tanB的值是方程x2一333x+1=0的两个根，

/A=.⑧在AABC中，/ACB=900,CD1AB于点D,若AD=运,CD=2。5,则cosB=例2①在Rt△ABC中，zC=90Q4、zB、/的对边分别为a,b,c,根据下列条件解题：c=20,b=10v'2,求NA.a=36,/B=300,求c.②如图，在RtAABC中，/BCA=90。，CD是中线，BC=6,CD=5，求sin/ACD,cos/ACD和tanZACD.例3.①sin300+tan2300.cos600+1tan60°—tan45° , .o②cot2300+tan600•②cot2300+tan600•cos300④(tan45°”—4cos230°—2cos300+1… sin35。⑤3tan300—1— +2sin60。cos550⑥已知tanA=2，求2sinA+cosA2sinA—cosA的值.例4.(1)如图已知AABC的两边分别为a,b,且夹角为/C，你能否得到AABC的面积呢?(2)已知一个(2)已知一个AABC中，AB=14,AC=15,S^BC=84求sinC,cosB.100-100-(3)等腰三角形的底边长20cm，面积为飞-“3cm2,求它的各内角.例5.如图，在RtA例5.如图，在RtAABC中，NC=90°,AC=8,NA的平分线AD二16<3，求NB的度数及边BC、AB的长.例6.已知2+<3是方程x2—5xsin9+1=0的一个根，求sin9.【课堂测试】,1则cosB的值为1、已知/人+ZB=90°,且cosA=则cosB的值为A、B、2、在菱形ABCD中5NABC=60°C、2<6D、A、 8V3B、4<35AC=4,则BD的长是D、33、在RtAABC中NC=90°,tanA=3,AC=10,则S△BC等于A、30B、300C、50D、1504、在RtAABC中3NC=90°,NA、NB、ZC的对边分别为a、b、c三边，则下列式子一定成立的是(A、a=c•sinBB、a=c•cosBC、c=tanBD、c=a•sinA5、如果把RtAABC的三边同时扩大n倍则sinA的值(A、不变B、扩大n倍C、缩小n倍D、不确定tanB=—,

2ADtanB=—,

2AD=3,BC=2V3，求四边形,6、如图AABC中，AD是BC上的高，NC=30°,BC=2+.<3那么AD的长度为7、已知方程x2-7x+12=0两根为直角三角形的两直角边，则其最小角的余弦值为8、tan230o+(tan15。25'19")0:9、在RtAABC中，NC=90°，且sinA=1,AB=3,求BC,AC及/B.10、已知，四边形ABCD中，已知/ABC=/ABD=900，CELBD,AB=5ABCD的面积S四边形ABCD10第4节直角三角形边角关系的应用【知识考点】一、与三角函数有关概念：1、仰角、俯角：在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角是仰角，视线在水平线下方的角是俯角.一,一 ,h2、坡度（坡比）、坡角：坡角的垂直高度和水平宽度的比叫做坡度（或坡比）即，=tana=-,坡面与水1/平线的夹角，叫坡角.方向角：指南或指北方向线与目标方向线所成的小于90。方向角：指南或指北方向线与目标方向线所成的小于90。的角叫做方向角.3、，方法总结：先找到已知角与边的对应关系，利用三角函数值，建立方程或比例式，进而求解。口诀：一个角度找关系，另外一个列比例。【考点应用】1、若某人沿坡度i=3:4的斜坡前进10m,则他所在的位置比原来的位置升高了m.2、如图1，从楼顶A点测得电视塔CD的仰角为a，俯角为S，若楼房与电视塔之间的水平距离为m，求电视塔的高度.将这个实际问题写成数学形式:已知在△ADC中，ABCD于B，a==，B=m=，求11

3、如图2,水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽5m,坝高20m,斜坡AB的坡度为1：2.5,斜坡CD的坡度为1：2,则坝底宽AD等于已知这种地毯每平方米售价30元，已知这种地毯每平方米售价30元，元.D图1口口口门口，5>AABC中，/C=90°,斜边上的中线CD=6元.D图1口口口门口，5>AABC中，/C=90°,斜边上的中线CD=6,sinA=3ABC6、如图4小明想测量电线杆AB的高度，发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=4m,BC=6m,CD与地面成30°角，且此时测得1m杆的影子长为2m,则电线杆的高度约为m.（结果保留两位有效数字，Q处1.41, "1.73）7、8、9、把一条长1.5m的铁丝弯成顶角为120°的等腰三角形，则此等腰三角形底边长为—.（精确到7、8、9、把一条长1.5m的铁丝弯成顶角为120°的等腰三角形，则此等腰三角形底边长为—.（精确到0.1m）△ABC中，/ACB=90°,CD±AB于点D,AD、DB的长是方程%2-20%+m=0的根，若△ABC的面积为40,则Um=.已知如图5,小明在打网球时，要使球恰好能打过网，而且落在离网5m的位置上，则球拍击球的高度h应为(A.2.7m)B.1.8m图5C.0.9mD.6m10、图6为测量一河岸相对两电线杆A、B间的距离，在距A点15米的C处（AC±AB）测得/ACB=50°,则A、B间的距离应为（A.15sin50°mB.15cos50°mC.15tan40°mD.15tan50°m1211、如图7,小红从A地向北偏东30°的方向走100米到B地，再从B地向正西走200米到C地，这时小红距A地（ ）A.150米B.100V3米 C.100米 D.50n3米12、如图8,某地夏季中午，当太阳移至房顶上方偏南时，光线与地面成80°角，房屋朝南的窗子高AB=1.8m，要在窗子外面上方安装水平挡光板AC，使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板的宽度AC为（ ）1.81.8D. tan80。C图1013.如图9,小红把梯子AB斜靠在墙壁上，梯脚B距墙1.6米，小红上了两节梯子到D点，此D点距墙1.4米，BD长0.55米，则梯子的长为（ ）A.4.95米 B.4.40米 C.3.85米 D.3.30米14、如图10,已知RtAABC中，AC=3,BC=4,过直角顶点C作CA1±AB,垂足为A1，再过A1作A1cl，BC,垂足为C1,过C1作C1A2,AB,垂足为A2,再过A2作A2c2，BC,垂足为C2,…，这样一直做下去，得到了一组线段CA,AC,CA，…，则CA= ,C4^= 1 11 12 1 AC方法总结：一个角度表关系，另外一个列比例（一般情况下，和未知的边直接有关的角先用其来表示关系，再用另一个去建立比例式）【典型例题】例1、如图，某国侦察机B飞抵我国近海搞侦察活动，我战斗机A奋起拦截，地面雷达测得：当两机都处在雷达的正东方向的上空并在同一高度时，测得它们仰角分别为zDCA=16°,NDCB=15°,它们与雷达C的距离分别为AC=80千米，BC=81千米，求此时两机距离是多少千米?（精确到0.01km,cos15°"0.97,cos16°心0.96)13例2、在某高速公路建设中，要沿AC方向开山修路，为加快施工进度，要在山坡的另一边同时施工如图12所示，从AC上的一点B量取/ABD=150°,BD=420m,ZD=60°,那么开挖点E离D多远正好使A、C、E成一直线?例4.（2011威海，）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB//CF,ZF=ZACB=90°,ZE