数学基础矢量分析

数学基础矢量分析1第一页，共四十六页，2022年，8月28日例电压、温度、时间、质量、电荷等都是标量。实际上，所有实数都是标量。你能列举多少标量、矢量？

1-1标量和矢量电磁场中遇到的绝大多数物理量，能够容易地区分为标量（Scalar）和矢量(Vector)。标量——一个仅用大小就能够完整描述的物理量矢量——一个有大小和方向的物理量力、位移、速度、力矩、电场强度、磁场强度等都是矢量。2第二页，共四十六页，2022年，8月28日矢量A在空间可用一有向线段表示几何表示ABAyxzAxBxAyByAzBzA(Ax,Ay,Az)B(Bx,By,Bz)A=B3第三页，共四十六页，2022年，8月28日1-2矢量的代数运算●

矢量加法也可用平行四边形法则得到矢量加法、减法的平行四边形法则矢量加法按平行四边形法则进行●

矢量减法

的始端（尾tail）和的末端（尖tip）重合两矢量相加两矢量相减B4第四页，共四十六页，2022年，8月28日两个矢量的加减运算：对应的坐标分量的相加和相减直角坐标系A(Ax,Ay,Az)B(Bx,By,Bz)(Ax＋Bx,Ay＋By,Bz＋Az)AA>1AA0<<1矢量与标量的乘法运算5第五页，共四十六页，2022年，8月28日标积(点积

)的基本性质服从交换律和分配律A·B=B·AA·(B+C)=A·B+A·C直角坐标系A(Ax,Ay,Az)B(Bx,By,Bz)矢量A的大小矢量A的模两个矢量的标积是一个标量

◆

矢量的标积（点积，内积，）

矢量的乘积包括标积和矢积1.3矢量的标积和矢积6第六页，共四十六页，2022年，8月28日◆

模为1的矢量称为单位矢量（UnitVector）任一矢量A可写成矢量A的单位矢量任一矢量等于该矢量的模与其单位矢量的乘积ex、ey

、ezx轴、y轴、z轴方向上的单位矢量矢量A的方向余弦7第七页，共四十六页，2022年，8月28日等于两个矢量的大小与它们夹角的余弦之乘积记为

标积（点积dotproduct)的几何意义任意两个矢量A与B的点积是一个标量标积的图示标量积(ScalarProduct)两非零矢量的点积为零，则两矢量正交两矢量平行时点积最大8第八页，共四十六页，2022年，8月28日直角坐标系则两矢量的矢积的代数定义可用行列式表示为A=Axex+Ayey+

Azez

B=Bxex+Byey+Bzez

例

◆

矢量的矢积(叉积，外积，)9第九页，共四十六页，2022年，8月28日矢积(叉积crossproduct)的几何意义（右手螺旋）

两个不为零的矢量的叉积等于零，则这两个矢量必然相互平行或两个相互平行矢量的叉积一定等于零任意两个矢量A与B的叉积是一个矢量，大小等于两个矢量的大小与它们夹角的正弦之乘积，方向垂直于矢量A与B组成的平面，记为10第十页，共四十六页，2022年，8月28日

叉积的图示

右手螺旋关系矢量积不服从交换律，但服从分配律11第十一页，共四十六页，2022年，8月28日场——描述在空间一定区域所有点的一个物理量矢量场——

矢量的空间分布构成矢量场标量场——静态场：场不随时间变化(staticfield）也称为时不变场（time-invariantfield）静止电荷产生的场（静电场）、恒定电流建立的场（静磁场）时变场（time-varingfield）温度场、气体压力、海拔、电位流体的速度和加速度、重力场、电场例例场的概念标量的空间分布构成标量场每点单纯用一个数来说明空间每个点的量同时用大小和方向来说明矢量的大小及方向与空间坐标无关——

常矢量或常矢12第十二页，共四十六页，2022年，8月28日1.4

标量场的梯度方向导数:标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向上的变化率。

例如标量场

在

P点沿

l方向上的方向导数定义为Pl标量场中各点标量的大小可能不等，因此某点标量沿着各个方向的变化率可能不同。13第十三页，共四十六页，2022年，8月28日梯度:标量场在某点梯度的大小等于该点的最大方向导数，梯度的方

向为该点具有最大方向导数的方向。可见，梯度是一个矢量。在直角坐标系中，标量场

的梯度可表示为式中grad

是英文字母

gradient的缩写。若引入算符，它在直角坐标系中可表示为则梯度可表示为14第十四页，共四十六页，2022年，8月28日

令u(x,y,z)=C,C为任意常数标量场的等值面一个标量场u可以用一个标量函数来表示直角坐标系u=u(x,y,z)曲面梯度的方向与等值面垂直，且指向标量场数值增大的方向。等值面15第十五页，共四十六页，2022年，8月28日

梯度的性质（1）方向导数等于梯度在该方向上的投影（2）标量场u中每一点P处的梯度，垂直于过该点的等值面，且指向函数u(P)增大的方向。也就是说，梯度就是该等值面的法向矢量。例梯度运算规则16第十六页，共四十六页，2022年，8月28日通量：矢量

A

沿某一有向曲面

S的面积分称为矢量

A通过该有向曲

面

S的通量，以标量

表示，即

1-5矢量场的通量与散度通量可为正、或为负、或为零。当矢量穿出某个闭合面时，认为该闭合面中存在产生该矢量场的源；当矢量进入这个闭合面时，认为该闭合面中存在汇聚该矢量场的洞（或汇）。闭合的有向曲面的方向通常规定为闭合面的外法线方向。因此，当闭合面中有源时，矢量通过该闭合面的通量一定为正；反之，当闭合面中有洞时，矢量通过该闭合面的通量一定为负。所以，前述的源称为正源，而洞称为负源。

17第十七页，共四十六页，2022年，8月28日

由物理得知，真空中的电场强度

E

通过任一闭合曲面的通量等于该闭合面包围的自由电荷的电量

q与真空介电常数

0

之比，即，可见，当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭合面中存在负电荷时，通量为负。在电荷不存在的无源区中，穿过任一闭合面的通量为零。这一电学实例充分地显示出闭合面中正源、负源及无源的通量特性。但是，通量仅能表示闭合面中源的总量，它不能显示源的分布特性。为此需要研究矢量场的散度。

18第十八页，共四十六页，2022年，8月28日散度：当闭合面

S

向某点无限收缩时，矢量

A通过该闭合面S的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场

A

在该点的散度，以

divA表示，即式中div

是英文字母

divergence的缩写，

V为闭合面

S包围的体积。上式表明，散度是一个标量，它可理解为通过包围单位体积闭合面的通量。直角坐标系中散度可表示为19第十九页，共四十六页，2022年，8月28日因此散度可用算符

表示为高斯定理(散度定理)或者写为

从数学角度可以认为高斯定理建立了面积分和体积分的关系。从物理角度可以理解为高斯定理建立了区域

V中的场和包围区域

V

的闭合面

S上的场之间的关系。因此，如果已知区域

V中的场，根据高斯定理即可求出边界

S上的场，反之亦然。20第二十页，共四十六页，2022年，8月28日在直角坐标系中，散度的表达式为算符散度定理21第二十一页，共四十六页，2022年，8月28日

散度运算规则直角坐标系，梯度的散度为22第二十二页，共四十六页，2022年，8月28日如果要求梯度的散度，就要进行“·”的运算，·记作2，叫作拉普拉斯算符，在直角坐标下，按算符的定义拉普拉斯算子(LaplaceOperator)例23第二十三页，共四十六页，2022年，8月28日环量：矢量场

A沿一条有向曲线

l的线积分称为矢量场

A

沿该曲线的环量，以

表示，即1-6矢量场的环量与旋度可见，若在闭合有向曲线

l上，矢量场

A的方向处处与线元

dl

的方向保持一致，则环量

>0；若处处相反，则

<0

。可见，环量可以用来描述矢量场的旋涡特性。24第二十四页，共四十六页，2022年，8月28日由物理学得知，真空中磁感应强度

B沿任一闭合有向曲线

l的环量等于该闭合曲线包围的传导电流强度

I

与真空磁导率

0

的乘积。即

式中电流

I的正方向与

dl的方向构成

右旋关系。由此可见，环量可以表示产生具有旋涡特性的源的强度，但是环量代表的是闭合曲线包围的总的源强度，它不能显示源的分布特性。为此，需要研究矢量场的旋度。

25第二十五页，共四十六页，2022年，8月28日旋度：旋度是一个矢量。若以符号

rotA

表示矢量

A

的旋度，则其方向是使矢量

A

具有最大环量强度的方向，其大小等于对该矢量方向的最大环量强度，即式中

rot

是英文字母

rotation的缩写，en

为最大环量强度的方向上的单位矢量，S为闭合曲线

l

包围的面积。上式表明，矢量场的旋度大小可以认为是包围单位面积的闭合曲线上的最大环量。

26第二十六页，共四十六页，2022年，8月28日直角坐标系中旋度可用矩阵表示为

或用算符

表示为

应该注意，无论梯度、散度或旋度都是微分运算，它们表示场在某点附近的变化特性，场中各点的梯度、散度或旋度可能不同。因此，梯度、散度及旋度描述的是场的点特性或称为微分特性。函数的连续性是可微的必要条件。因此在场量发生不连续处，也就不存在前面定义的梯度、散度或旋度。

27第二十七页，共四十六页，2022年，8月28日斯托克斯定理

同高斯定理类似，从数学角度可以认为斯托克斯定理建立了面积分和线积分的关系。从物理角度可以理解为斯托克斯定理建立了区域

S中的场和包围区域

S

的闭合曲线

l上的场之间的关系。因此，如果已知区域

S中的场，根据斯托克斯定理即可求出边界

l上的场，反之亦然。或者写为28第二十八页，共四十六页，2022年，8月28日旋度运算规则例已知一矢量场F=exxy-ey2x,试求该矢量场的旋度.梯度、散度及旋度描述的是场的点特性或称为微分特性29第二十九页，共四十六页，2022年，8月28日

散度处处为零的矢量场称为无散场，旋度处处为零的矢量场称为无旋场。

1-7无散场和无旋场两个重要公式：

左式表明，任一矢量场A的旋度的散度一定等于零

。因此，任一无散场可以表示为另一矢量场的旋度，或者说，任何旋度场一定是无散场。

右式表明，任一标量场

的梯度的旋度一定等于零。因此，任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度，或者说，任何梯度场一定是无旋场。

30第三十页，共四十六页，2022年，8月28日

若矢量场

F(r)

在无限区域中处处是单值的，且其导数连续有界，源分布在有限区域V

中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场

F(r)可以表示为

1-8亥姆霍兹定理式中

可见，该定理表明任一矢量场均可表示为一个无旋场与一个无散场之和。矢量场的散度及旋度特性是研究矢量场的首要问题。

31第三十一页，共四十六页，2022年，8月28日1-9正交曲面坐标系

已知矢量A在圆柱坐标系和球坐标系中可分别表示为式中

a,b,c

均为常数，A

是常矢量吗？圆柱(r,,z)yzxP00=

0r=r0z=z

0Oxzy=

0

0

0球(r,,

)r=r

0=

0P0O直角(x,y,z)zxyz=z

0x=x

0y=y

0P0O32第三十二页，共四十六页，2022年，8月28日直角坐标系直角坐标系单位矢量的标量积单位矢量的矢量积直角(x,y,z)zxyz=z

0x=x

0y=y

0P0O33第三十三页，共四十六页，2022年，8月28日

在直角坐标系中，梯度、散度、旋度可表示为34第三十四页，共四十六页，2022年，8月28日圆柱坐标系圆柱坐标系圆柱(r,,z)yzxP00=

0r=r0z=z

0O单位矢量的点积和叉积35第三十五页，共四十六页，2022年，8月28日

矢量函数A在圆柱坐标系中的梯度、散度、旋度表达式分别为36第三十六页，共四十六页，2022年，8月28日圆柱坐标系单位矢量的变换单位矢量和在单位矢量和上的投影

x=ρcosφy=ρsinφz=z

圆柱坐标与直角坐标的关系37第三十七页，共四十六页，2022年，8月28日从直角到圆柱坐标系单位矢量的变换矩阵形式

将上式求逆即可得到从圆柱坐标系到直角坐标系的转换关系38第三十八页，共四十六页，2022年，8月28日微分体积元dlρ=dρ,dlφ=ρdφ,dlz=dz三个边长微分长度元三个坐标面的面元微分体积元39第三十九页，共四十六页，2022年，8月28日球坐标系球坐标系xzy=

0

0

0球(r,,

)r=r

0=

0P0O单位矢量的点积和叉积40第四十页，共四十六页，2022年，8月28日

矢量函数A在球坐标系中的梯度、散度、旋度表达式分别为41第四十一页，共四十六页，20