有导体时的静电场

有导体时的静电场第一页，共九十六页，2022年，8月28日2第2章有导体时的静电场目录§1静电场中的导体§2封闭金属壳内外的静电场§3电容器及电容§4静电演示仪器§5带电体系的静电能量第二页，共九十六页，2022年，8月28日3

以静电场基本规律为依据，讨论有导体存在时对静电场的影响。静电场中放入导体后，导体和电场相互影响，相互制约,经历一个极短暂的时间，达到平衡状态。我们研究的前提：假定导体在电场作用下已处于平衡，结合基本规律分析，解决问题。第三页，共九十六页，2022年，8月28日4电场的基本性质方程仍是本章研究的问题仍然是静电场场量仍是电场强度和电势第四页，共九十六页，2022年，8月28日5§1静电场中的导体一、导体和绝缘体1.导体存在大量的可自由移动的电荷2.绝缘体理论上认为无自由移动的电荷也称电介质3.半导体介于上述两者之间本章讨论金属导体对场的影响第五页，共九十六页，2022年，8月28日6二、导体的静电平衡1．

静电感应+++++++++感应电荷第六页，共九十六页，2022年，8月28日7++++++++++++第七页，共九十六页，2022年，8月28日8++++++++导体内电场强度外电场强度感应电荷电场强度第八页，共九十六页，2022年，8月28日9定义：

导体内部和表面都没有电荷作宏观定向运动的状态。2、静电平衡：电荷不动3、静电平衡条件：导体内部任何一点处的电场强度为零第九页，共九十六页，2022年，8月28日10注意：（1）“点”指导体内部宏观的点（物理无限小体元）。（2）平衡条件中，根本的是（若有非静电力时，例导体接了电池，平衡时静电力、静电场不等于零)。第十页，共九十六页，2022年，8月28日11导体导体三、导体静电平衡的性质1.导体为等势体，表面为等位面证明：导体内部任取两点a、b第十一页，共九十六页，2022年，8月28日122.导体内部没有电荷，电荷只分布在导体表面证明：在导体内任取体积元由高斯定理体积元任取电荷只能分布在导体表面！第十二页，共九十六页，2022年，8月28日133.导体表面附近的电场①第十三页，共九十六页，2022年，8月28日14②E与σ的关系取扁柱面为高斯面外法线方向写作ΔS第十四页，共九十六页，2022年，8月28日15四、带电导体所受的静电力设是导体表面含P点的小面元，是P点的电荷面密度，则受到的静电力是除外所有电荷在P点贡献的场强导体表面附近的场强为可以分为两部分其中是在P1

的场强，是除第十五页，共九十六页，2022年，8月28日16外的电荷在P1

的场强。P1点在导体附近，所以代入前式可得最后可得：第十六页，共九十六页，2022年，8月28日17对导体表面作积分，可得整个导体所受的静电力。由上述讨论可知：导体表面稍微往外的

P1处的总场强为

它由两个部分构成，即第十七页，共九十六页，2022年，8月28日18其中如果考虑导体表面稍微里面一点P2，则而的连续性保证于是故场强在导体表面一点p的突变完全是由含小面元的场强的突变引起的。第十八页，共九十六页，2022年，8月28日19五、孤立导体形状对电荷分布的影响

1.孤立导体的电荷分布由自身的形状和电荷总量决定表面突出的尖锐处（曲率为正且较大）:电荷面密度较大比较平坦地方（曲率较小）:电荷面密度较小第十九页，共九十六页，2022年，8月28日20表面凹进部分（曲率为负）：电荷面密度最小尖端放电实验给出了一个尖形导体的等势面、电力线和电荷分布，如图。＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋第二十页，共九十六页，2022年，8月28日21由于带电导体尖端附近的电荷密度最大，按照导体表面电场公式，该处的场最强。2、尖端放电现象在尖端处的空气可能被电离而出现尖端放电现象，如图。第二十一页，共九十六页，2022年，8月28日22

尖端放电会损耗电能,干扰精密测量还会对通讯产生危害。然而，尖端放电也有很广泛的应用。尖端放电现象的利与弊例如：静电加速器、感应起电机、避雷针等。第二十二页，共九十六页，2022年，8月28日23<电风实验>++++++++++将带电的尖端物体接近火苗，由于尖端放电，电离空气，将发现火苗被吹偏，称为电风实验。第二十三页，共九十六页，2022年，8月28日243.避雷针高层建筑物上的避雷针也是利用导体的尖端放电现象。尖端处：曲率大，电荷面密度大，导体表面的场强也大；这个电场击穿空气，产生电子和离子并加速它们；加速的电子和离子与空气分子碰撞，进一步产生大量的电子和离子，被电离的空气成为导体。﹢﹢﹢﹢﹢﹢﹢第二十四页，共九十六页，2022年，8月28日25雷雨时节，大块的云层顶部带正点，底部带负电，在接近地面时，地面感应产生正电荷。云层与地面距离在３-４Km，其电荷大到足以使云层与地面产生一个20-30MV甚至100MV的电势差。如果没有避雷针地面与云层就会遭受雷击；当装上避雷针由于尖端放电，率先把周围空气击穿，使云与地面电荷不断中和，将大规模的放电变为小规模的放电，从而避免电荷积累和大规模放电带来的危害。因此，避雷针实际上是“引雷针”。第二十五页，共九十六页，2022年，8月28日26闪电闪电第二十六页，共九十六页，2022年，8月28日27第二十七页，共九十六页，2022年，8月28日28第二十八页，共九十六页，2022年，8月28日29荧光质导电膜+高压4.金属尖端的强电场的应用-场离子显微镜(FIM)接真空泵或充氦气设备金属尖端接地原理：样品制成针尖形状，针尖与荧光膜之间加高压，样品附近极强的电场使吸附在表面的原子电离，氦离子沿电力线运动，撞击荧光膜引起发光，从而获得样品表面的图象。第二十九页，共九十六页，2022年，8月28日30六、导体静电平衡问题的讨论方法困难：

因为电场影响导体，使导体电荷发生重新分布；反过来，重新分布的电荷，又会改变电场的分布，这使得问题陷入了循环的地步，在数学上有相当的困难。原则:1.静电平衡的条件第三十页，共九十六页，2022年，8月28日313.电荷守恒定律或电力线的两条性质2.基本性质方程第三十一页，共九十六页，2022年，8月28日32例1：证明如图的静电感应现象中，A是带正电的点电荷，B是中性导体，试证导体B左端的感应负电荷绝对值小于施感电荷。证：根据电力线的性质1,B的左端一定有电力线终止。第三十二页，共九十六页，2022年，8月28日33这些电力线的发源地为：（1）A上的正电荷。（2）B上的正电荷。（3）无限远。∵沿电力线方向电位降低，与导体平衡时等势体矛盾∴（2）不可能。第三十三页，共九十六页，2022年，8月28日34B右端的正电荷发出的电力线又终止于无穷远处,,所以（3）不成立。∴终止于B左端的电力线全部来自A上的正电荷，而A的电力线有可能终止于感应电荷，也可能终止于无穷远，即感应电荷一定不大于施感电荷。第三十四页，共九十六页，2022年，8月28日35（1）接地时导体上不能有正电荷，若B上有正电荷，发出电力线可能：①到无穷远:沿电力线电位降低②到本身的负电荷:与导体是等位体矛盾,所以唯一可能是导体B上没有正电荷。（2）接地只能说明电位为零，只提供了当地交换电荷的可能性。讨论第三十五页，共九十六页，2022年，8月28日36例2：中性封闭金属壳内有正点电荷q，求壳内外壁感生电荷的数量。+q解：根据电场线的性质，由q发出的电力线的条数正比于q；这些电力线不会在无电荷处中断，也不能穿过导体（因导体内场强为0），它只能止于壳的内壁，所以壳内壁的总电荷为-q；又因壳为中性，内外壁电荷的代数和为0，故外壁总电荷为q。第三十六页，共九十六页，2022年，8月28日37例3.把例1的导体B接地,试证B上不再有的点。证：选择地与无限远电势相等，即。设B上某点有，它所发出的电力线只能延伸到无限远，故。另一方面，B导体接地要求，这与矛盾。所以B导体上不能有的点。第三十七页，共九十六页，2022年，8月28日38说明：1）导体B右则的正电荷在接地后不存在可以认为它们沿着接地线流入了大地（实际是大地的电子流向导体中和了正电荷）。而且，即使接地线在导体B左侧结论仍然成立。2）接地不但使B右侧的正电荷流光，而且改变了导体B左端的负电荷分布。第三十八页，共九十六页，2022年，8月28日39例4接地导体球附近有一点电荷q,如图所示。求导体上感应电荷的电量。解:导体接地，即设感应电量为Q由于导体是个等势体，可知o点的电势为0;由电势叠加原理有关系式：第三十九页，共九十六页，2022年，8月28日40SS例5两块平行放置的面积为S的金属板，各带电量Q1、Q2,板距与板的线度相比很小。求：

②若把第二块金属板接地，以上结果如何？EIEIIEIIIQ1Q2

①静电平衡时,金属板电荷的分布和周围电场的分布。第四十页，共九十六页，2022年，8月28日41EIEIIEIIIQ1Q2解：无限大带电平面：静电平衡条件电荷守恒•P1•P2第四十一页，共九十六页，2022年，8月28日42解得：EIEIIEIIIQ1Q2•P1•P2取向右为正第四十二页，共九十六页，2022年，8月28日43电场分布：EIEIIEIIIQ1Q2•P1•P2第四十三页，共九十六页，2022年，8月28日44EIEIIEIIIQ1Q2如果第二块坂接地，则4=0电荷守恒高斯定理静电平衡条件解得：•P第四十四页，共九十六页，2022年，8月28日45§2封闭金属壳内外的静电场腔内腔外导体壳的结构特点：两区域：腔内、腔外两表面：内表面、外表面内表面

外表面第四十五页，共九十六页，2022年，8月28日46理论上需说明的问题是：1)腔内、外表面电荷分布特征2)腔内、外空间电场分布特征基本思路:从特例开始-然后得出结论一、腔内无带电体时场的特征内表面处处没有电荷腔内无电场结论第四十六页，共九十六页，2022年，8月28日47即或者说腔内电势处处相等证明:在导体壳内紧贴内表面作高斯面S。因为导体内场强处处为零，所以S第四十七页，共九十六页，2022年，8月28日48由高斯定理得高斯面内电量代数和为零，即由于空腔内无带电体，所以因为导体体内场强处处为零，第四十八页，共九十六页，2022年，8月28日491）处处不带电，即处处无净电荷2）一部分带正电荷，一部分带等量负电荷还需排除第2种情况，用反证法证明假设：内表面有一部分带正电荷一部分带等量的负电荷。第四十九页，共九十六页，2022年，8月28日50这与导体是等势体矛盾。故说明假设不成立！?则电力线从正电荷向负电荷。证明了：腔内无带电体时内表面处处没有电荷

腔内无电场第五十页，共九十六页，2022年，8月28日511)导体壳是否带电?2)腔外是否有带电体?未提及的问题在腔内说明：腔内的场与腔外(包括壳的外表面)的电量及分布无关结论第五十一页，共九十六页，2022年，8月28日52二、腔内有带电体时场的特征用高斯定理证明：S在导体壳中作高斯面S如图，因为导体体内场强处处为零

所以可见第五十二页，共九十六页，2022年，8月28日53腔内的电场1)与壳内电量q有关2)与几何因素(腔内带电体、腔内表面形状）有关，与壳外电荷无关。（内要影响外）。第五十三页，共九十六页，2022年，8月28日541)壳是否带电?2)腔外是否有带电体?腔内的场只与腔内带电体电量、形状、位置）及腔内的几何因素、介质有关，与壳外电荷无关

（外不影响内）。未提及的问题或者说在腔内结论第五十四页，共九十六页，2022年，8月28日55

腔内部的电场：只与腔内带电体（电量、形状、位置）及腔内壁的几何因素、介质有关,或说：在腔内任一点小结

腔外部的电场：只与腔外带电（电量、形状、位置）及腔外壁的几何因素、介质有关。或说：在腔外任一点第五十五页，共九十六页，2022年，8月28日56三、静电屏蔽的装置---接地导体壳静电屏蔽：腔内、腔外的场互不影响腔内场:只与内部带电量及内部几何条件及介质有关腔外场:只由外部带电量和外部几何条件及介质决定第五十六页，共九十六页，2022年，8月28日57思考：不接地行吗？第五十七页，共九十六页，2022年，8月28日58

屏蔽外电场外电场

空腔导体可以屏蔽外电场,使空腔内物体不受外电场影响。这时,整个空腔导体和腔内的电势也必处处相等。空腔导体屏蔽外电场

封闭导体壳,壳内外场强的关系第五十八页，共九十六页，2022年，8月28日59

接地空腔导体将使外部空间不受空腔内的电场影响。导体壳接地，内外电场互不影响——静电屏蔽接地导体电势为零

屏蔽腔内电场：++++++++第五十九页，共九十六页，2022年，8月28日60例：有一外半径，内半径的金属球壳，在球壳内放一半径的同心金属球，若使球壳和金属球均带有的正电荷。问两球体上的电荷如何分布？球心的电势为多少？第六十页，共九十六页，2022年，8月28日61解：根据静电平衡的条件求电荷分布作球形高斯面作球形高斯面第六十一页，共九十六页，2022年，8月28日62根据静电平衡条件作球形高斯面第六十二页，共九十六页，2022年，8月28日63意味着球壳内表面带作球形高斯面意味着球壳外表面带第六十三页，共九十六页，2022年，8月28日64总结:第六十四页，共九十六页，2022年，8月28日65球心的电势第六十五页，共九十六页，2022年，8月28日66§3.电容器及其电容一、孤立导体的电容电容只与导体的几何因素有关——固有的容电本领。孤立导体的电势定义:(capacitor)第六十六页，共九十六页，2022年，8月28日67单位:法拉FSI制：第六十七页，共九十六页，2022年，8月28日68例求真空中孤立导体球的电容(如图)设球带电为

Q解：导体球电势导体球电容介质几何第六十八页，共九十六页，2022年，8月28日69例：欲得到1F

的电容，孤立导体球的半径应该为多大？解：由孤立导体球电容公式知地球平均半径约为第六十九页，共九十六页，2022年，8月28日70二、电容器及其电容

由静电屏蔽--导体壳内部的场只由腔内的电量和几何条件决定(相当于孤立)腔内导体表面与壳的内表面形状及相对位置定义:几何条件内表面第七十页，共九十六页，2022年，8月28日71电容器的主要作用：(1)储存电能(2)产生均匀场(3)隔直流,通交流常见的电容器：圆柱形电容器、球形电容器、平行板电容器等第七十一页，共九十六页，2022年，8月28日72基本步骤

：①设电容器两极板带电±

Q

；②计算板间的电场E；③计算板间电势差

④计算电容三、电容的计算第七十二页，共九十六页，2022年，8月28日73典型的电容器平行板d球形柱形第七十三页，共九十六页，2022年，8月28日74例1平板电容器++++++------（2）两带电平板间的电场强度（1）设两导体板分别带电（3）两带电平板间的电势差（4）平板电容器电容第七十四页，共九十六页，2022年，8月28日75例2圆柱形电容器（2）在两导体之间，做一半径为r高为h的封闭的同轴圆柱面为高斯面++++----（1）设两导体圆柱面单位长度上分别带电第七十五页，共九十六页，2022年，8月28日76平行板电容器电容（3）（4）电容讨论：第七十六页，共九十六页，2022年，8月28日77例3球形电容器的电容

球形电容器是由半径分别为和的两同心金属球壳所组成。解设内球带正电（），外球带负电（）。＋＋＋＋＋＋＋＋*在内外球之间作一同心球面为高斯面：第七十七页，共九十六页，2022年，8月28日78孤立导体球电容内外球的电势差电容第七十八页，共九十六页，2022年，8月28日79解设两金属线的电荷线密度为，坐标如图。

例4两半径为的平行长直导线中心间距为，且,求单位长度的电容。第七十九页，共九十六页，2022年，8月28日80单位长度的电容电路中的分布电容一般较小！第八十页，共九十六页，2022年，8月28日81

耐压值-电容器极板间可以承受的最大电压。2、电容器的串联:

1、电容器的参数：电容值-电容的大小。

3、电容器的并联:

四、电容器的串联和并联第八十一页，共九十六页，2022年，8月28日82

C1，C2两电容分别标明：200pF500V

；300pF900V。①串联后等效电容C＝？②把串联后的C1，C2加上1000V电压，是否被击穿？解:等效电容例1、串联后V1

+V2

=1000VV1

=600V,V2=400VV1>C1的额定电压,C1被击穿。1000伏的电压加在C2上，结果C2也会击穿。第八十二页，共九十六页，2022年，8月28日83§4静电演示仪器(阅读)一、感应起电机原理:静电感应作用:连续产生静电荷及高电压(静电演示实验用,可达几万伏)

原理示意图见书69页莱顿瓶:一种电容器储存电荷,内外表面贴有锡箔的玻璃瓶。第八十三页，共九十六页，2022年，8月28日84二、静电计(p70)

测电位差,若外壳接地可测电位。静电计与验电器区别:把验电器的玻璃瓶改为金属盒。静电计测电压：利用静电荷所受电场力伏特计测电压：利用电流所受磁场力静电感应和静电起电的演示试验：第八十四页，共九十六页，2022年，8月28日85§5带电体系的静电能一、带电体系的静电能状态a时的静电能是什么？定义：把系统从状态

a

无限分裂到彼此相距无限远的状态时静电场力作的功叫作系统在状态a时的静电势能，简称静电能。带电体系处于状态或者说：把这些带电体从无限远离的状态聚合到状态a的过程中，外力克服静电力作的功。第八十五页，共九十六页，2022年，8月28日86二、点电荷之间的相互作用能两个点电荷系统状态a想象q1

q2

初始时相距无限远第一步:先把q1摆在某处,外力不作功第二步:再把q2从无限远移过来,

使系统处于状态a,外力克服q1的场作功（系统的相互作用能）---q1在q2

所在处的电势第八十六页，共九十六页，2022年，8月28日87电场力作功与路径无关,所以写为对称的形式也可以先移动---q2在q1所在处的电势---q1在q2

所在处的电势是第2个电荷在第1个电荷处产生的电势是第1个电荷在第2个电荷处产生的电势第八十七页，共九十六页，2022年，8月28日88推广到多个点电荷组成的体系，写为是以外的电荷在处产生的电势。上式即为点电荷系的相互作用能。点电荷系第八十八页，共九十六页，2022年，8月28日89若带电体连续分布:因dq无限小，所以V为带电体上所有电荷在dq处的电势；Q表示积分遍及带电体所有电荷。如带电导体球：带电量半径电荷只分布在外表面第八十九页，共