数列概念及通项公式

数列概念及通项公式第一页，共三十一页，2022年，8月28日【自主学习】一、数列的概念1数列:按一定次序排列的一列数叫数列，记为，其中an是数列{an}的第

项

2数列与函数：数列是一个定义域为正整数集N+

（或它的有限子集）{1，2，3，…，n}的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，即an=f(n)(n∈N+),其图象是无限个或有限个孤立的点.

n

注:依据此观点可以用函数的思想方法来解决有关数列的问题.第二页，共三十一页，2022年，8月28日二、数列的表示及分类1数列的通项公式:数列{an}的第n项an与项数n之间的关系可以用一个公式an=f(n)

来表示，那么

an=f(n)叫数列{an}的通项公式。

注意：通项公式有时并不唯一

2数列的递推公式：已知数列{an}的第一项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an-1（或前n-1项）之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的递推公式。

第三页，共三十一页，2022年，8月28日(一）数列的表示1.列举法2.图象法3.通项公式法若数列的每一项

an

与项数

n

之间的函数关系可以用一个公式来表达,即

an=f(n),则

an=f(n)

叫做数列的通项公式.4.递推公式法如果已知数列的第一项(或前几项),

且任一项与它的前一项(或前几项)的关系可以用一个公式来表示,

这个公式就叫做数列的递推公式.注:递推公式有两要素:递推关系与初始条件.第四页，共三十一页，2022年，8月28日（二）数列的分类1.按项数：有穷数列和无穷数列；2.按

an

的增减性：递增、递减、常数、摆动数列；3.按

|an|

是否有界：有界数列和无界数列.三、数列的前

n

项和Sn=a1+a2+…+an=

ak;nk=1an=S1(n=1),Sn-Sn-1(n≥2).第五页，共三十一页，2022年，8月28日四、数列的单调性设

D

是由连续的正整数构成的集合,

若对于

D

中的每一个n

都有

an+1>an(或

an+1<an),则称数列

{an}

在

D

内单调递增(或单调递减).方法：作差、作商、函数求导.五、重要变换an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1);an=a1….

anan-1a2a1a3a2第六页，共三十一页，2022年，8月28日B【双基自测】第七页，共三十一页，2022年，8月28日A第八页，共三十一页，2022年，8月28日D第九页，共三十一页，2022年，8月28日4已知数列{an}对任意的p、q∈N+满足ap+q=ap+aq,且a2=－6,那么a10=(C)A－

165B－33C－

30D－

215在数列{an}中，a1=2，an+1=an+ln(1+）则an=（A）A2+lnnB2+nlnnC2+(n-1)lnnD1+n+lnn第十页，共三十一页，2022年，8月28日6.若数列{an}满足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2),则当n≥2时,{an}的通项an=

.7将全体正整数排成一个三角形数阵：12345678910．．．．．．．

按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为

．n!

2第十一页，共三十一页，2022年，8月28日8(－∞，3）第十二页，共三十一页，2022年，8月28日【典例分析】例1.根据下列数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式:(1)-1,,-,,-,,…;3436321315(2)

5,55,555,….an=(-1)n

2+(-1)nnan=555…5=(999…9)=(10n-1)n个59n个59(3)

-1,7,-13,19,…;(4)

7,77,777,7777,…;(5),,

,

,

,…;236389910154356(6)

5,0,-5,0,5,0,-5,0,….an=(-1)n(6n-5)an=(10n-1)79an=2n

(2n-1)(2n+1)an=5sin2

n题型一求数列的通项公式第十三页，共三十一页，2022年，8月28日

已知数列的前n项，写出数列的通项公式，主要从以下几个方面来考虑：

(1)符号用(-1)n与(-1)n+1(或(-1)n-1)来调节，这是因为n和n+1奇偶交错.(2)分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系.(3)对于比较复杂的通项公式，要借助等差数列、等比数列（后面将学到）和其他方法来解决.(4)此类问题虽无固定模式，但也有其规律可循，主要靠观察（观察规律）、比较（比较已知的数列）、归纳、转化（转化为等差或等比数列）等方法.第十四页，共三十一页，2022年，8月28日例2.已知下面各数列

{an}

的前

n

项和

Sn

的公式,求

{an}

的通项公式:(1)Sn=2n2-3n;(2)Sn=3n2+n+1;(3)Sn=3n-2.解:(1)当

n=1

时,a1=S1=-1;当

n≥2

时,an=Sn-Sn-1=4n-5,故

an=4n-5(nN*).(2)当

n=1

时,a1=S1=5;当

n≥2

时,an=Sn-Sn-1=6n-2,故

an=

5,

n=1,6n-2,n≥2.

(3)当

n=1

时,a1=S1=1;当

n≥2

时,an=Sn-Sn-1=23n-1,故

an=1,

n=1,2∙3n-1,n≥2.

题型二由sn推出通项公式第十五页，共三十一页，2022年，8月28日S1(n=1)

Sn-Sn-1(n≥2)求数列的通项，特别要注意验证a1的值是否满足“n≥2”的通项公式；同时认清“an+1-an=d（常数）(n≥2)”与“an-an-1=d（d为常数，n≥2）”的细微差别.本例的关键是应用an=第十六页，共三十一页，2022年，8月28日题型三利用递推公式求数列的通项例3根据下列条件,写出数列的通项公式：（1）a1=2，an+1=an+n；（2）a1=1，an-1=2n-1an.

（1）将递推关系写成n-1个等式累加，即“累加法”.（2）将递推关系写成n-1个等式相乘，即“累积法”或用逐项迭代法.第十七页，共三十一页，2022年，8月28日(1)(方法一)an+1=an+n，所以a2=a1+1，a3=a2+2，a4=a3+3，…,an=an-1+(n-1),所以a2+a3+…+an=(a1+a2+…+an-1)+[1+2+3+…+(n-1)]，所以an=+2=.第十八页，共三十一页，2022年，8月28日(方法二)因为an+1-an=n，所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1=(n-1)+(n-2)+…+1+2=+2=.第十九页，共三十一页，2022年，8月28日(2)(方法一)因为an=

,所a2=,a3=,a4=,…,an=,相乘得a2·a3·…·an=··…·an==.(方法二)因为=，所以an=··…···a1=··…·××1=.第二十页，共三十一页，2022年，8月28日例4求满足条件的数列{an}的通项公式分析：两边取倒数，利用逐差法求即利用公式an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)求解：由两边取倒数得则b1=1，bn-bn-1=n-1（n≥2）

bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)=1+1+2+3+…+(n-1)=第二十一页，共三十一页，2022年，8月28日已知数列的递推关系，求数列的通项公式的方法大致分为两类：一是根据前几项的特点归纳猜想出an的通项公式，然后用数学归纳法证明；二是将已知递推关系整理，变形为可用“累加法”“累乘法”或新的等差数列、等比数列等，再求其通项.第二十二页，共三十一页，2022年，8月28日变式练习已知数列{an}的前n项和Sn满足:log2(1+Sn)=n+1,求数列{an}的通项公式.3,n=1,2n,

n≥2.an=第二十三页，共三十一页，2022年，8月28日学例1(2009·湖北卷)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种行状来研究数，例如：第二十四页，共三十一页，2022年，8月28日他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是()CA.289B.1024C.1225D.1378第二十五页，共三十一页，2022年，8月28日由图形可得三角形数构成的数列通项an=(n+1),同理可得正方形数构成的数列通项bn=n2,由bn=n2(n∈N*),在区间（1000，1250）中是平方数的只有322，332，342，352，又由an=(n+1)知an必为奇数，故只可能是332或352，经检验只有352==1225.第二十六页，共三十一页，2022年，8月28日学例2(2009·重庆卷)已知a1=1,a2=4,an+2=4an+1+an,bn=,n∈N*.（1）求b1,b2,b3的值；（2）设cn=bnbn+1,Sn为数列{cn}的前n项和，求证Sn＞17n；（3）求证：|b2n-bn|＜·.第二十七页，共三十一页，2022年，8月28日

(1)因为a2=4,a3=17,a4=72，所以b1=4,b2=,b3=.(2)证明：由an+2=4an+1+an,得