启航新课堂七数北上第四章

4.3角★角的定义(1)有公共端点的两条

组成的图形叫做角.这个公共端点是角的顶点；(2)角也可以看作是由

射线绕着它的端点

而成的图形，旋转开始的边叫角的

，旋转终止的边叫做角的

.射线一条旋转始边终边★角的表示方法(1)用三个

英文字母表示，而且表示顶点的字母必须写在中间，其他两个字母的位置可以调换；(2)当角的顶点处只有一个角时，可以用角的顶点字母来表示这个角；(3)当一个角的内部不再包含其他角时，可以在角的内部靠近顶点处加上弧线，注上数字或小写希腊字母来表示一个角.大写★角的度量与单位(1)角的度量步骤：一对点、二重合、三读数；(2)1周角=

平角=

直角=

°.24360★方向角方向角一般是以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角).(1)一般地，习惯将南或北写在前面，东或西写在后面；(2)东北方向指北偏东45°，西南方向指南偏西45°，东南方向指南偏东45°，西北方向指北偏西45°.例1.如图4-3-1.(1)写出能用一个字母表示的角；(2)写出以B为顶点的角；(3)图中共有几个小于平角的角?分析：本题目主要考查对角的表示方法，从角的顶点去思考有几个角是解决此题的关键.解：(1)∠A，∠C；(2)∠ABE，∠ABC，∠EBC.(3)共有7个小于平角的角，分别是：以A为顶点的是∠A，以B为顶点的是∠ABE、∠ABC、∠EBC，以C为顶点的是∠C，以E为顶点的是∠AEB、∠CEB.点评：角的表示方法要恰当选取，特别是在同一顶点处不止一个角时，注意正确表示.1．下列关于角的说法正确的是()A．两条射线组成的图形叫做角B．角的大小与这个角的两边的长短无关C．延长一个角的两边D．角的两边是射线，所以角不可度量B2．如图4-3-3，下列说法正确的是()A.∠BAC和∠DAE是不同的两个角B.∠ABC和∠ACB是同一个角C.∠ADE就是∠DD.∠ABC可以用∠B表示D3．如图4-3-4，图中小于平角的角共有

个，其中可以用一个字母表示的角有

.9∠B、∠D例2.(1)把36．28°化成度、分、秒的形成；(2)把51°28′30″化成度的形成．分析：(2)根据1°=60′，1′=60″，先把30秒化为分，再把分化为度，逐级计算．4．下列各式中，角度互化正确的是()A．18°18′18″=3．33°B．46°48′=46．48°C．22．25°=22°15′D．28．5°=28°50′C15018.25°911648例3.一艘货轮从O点出发，沿南偏东60°方向航行30海里到A点，因前方出现冰山改道航行，又沿南偏西60°方向航行30海里到B点．(1)请画出货轮的航行路线；(2)B点在O点的什么位置？测量出B点距离O点多远(结果取整数)．分析：利用角度来描述方位，以正北、正南的方向为基准，先确定是北还是南，然后再根据方向确定东西，最后确定偏东(西)的角度．解：(1)如图4-3-4；(2)B点在O点的正南方向，经测量B点与O点的距离是30海里．点评：方位角的应用广泛，特别是在航空、航海、地质领域等等，应准确掌握方位角的表示．6．如图4-3-5，下列说法中错误的是()A．OA方向是北偏东30°B．OB方向是北偏西15°C．OC方向是南偏西25°D．OD方向是东南方向A7．一轮船A观测灯塔B在其北偏西50°,灯塔C在其南偏西40°,则此时∠BAC的度数为

．90°8．如图4-3-6，OA表示北偏东30°方向的一条射线，依照这条射线画出表示下列方向的射线：(1)南偏东25°；(2)北偏西50°；(3)东南方向．解：如图.1．如图4-3-7，下列表示角的方法中，不正确的是()A．∠AB．∠EC．∠αD．∠1B2．如图4-3-8，图中小于平角的角的个数是()A．11个B．10个C．9个D．8个A3．已知岛P位于岛Q的正西方，由岛P、Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上，符合条件的示意图是()D4．下列等式成立的是()A．83．5°=83°50′B．37°12′36″=37．48°C．24°24′24″=24．44°D．41．25°=41°15′D5．如图4-3-9，以O为顶点的角有

个，其中，∠1还可表示为

，∠COB还可表示为

，∠B还可表示为

.3∠AOC∠α∠26．(1)120°=

直角=

平角=

周角;(2)计算：50°-15°30′=

；(3)把度化为度、分、秒的形式，则20．5°=

；3．76°=

；(4)把度、分、秒化为度的形式，则106°14′24″=

;22°32′24″=

．34°30′20°30′3°45′36″106．24°22．54°7．(1)时钟在1时20分，时针与分针的最小夹角为

．(2)当时钟指向上午10时10分时，时针与分针的夹角是

．(3)时钟的时针每分钟转

度；时钟的分针每分钟转

度；12时30分时，时钟上的时针和分针的夹角为

度．80°115°0．561658．一只蚂蚁从点O出发，沿北偏东45°的方向爬0.7cm，碰到障碍物(记作B)后折向北偏西60°的方向爬行1cm(此时位置记作C).(1)画出蚂蚁的爬行路线；(2)求出∠OBC的度数.解：(1)如图.(2)∵点B在O的北偏东45°方向上，∴∠OBD=∠BOD=45°.又∵点C在点B的北偏西60°方向上，∴∠CBD=30°.∴∠OBC=∠CBD+∠OBD=30°+45°=75°.9．若∠1+∠2+∠3=180°,则∠1、∠2、∠3()A．都是锐角B．都是钝角C．两个锐角、一个钝角D．至少有两个锐角D10．从点O引四条射线OA、OB、OC、OD，如果∠AOB∶∠BOC∶∠COD∶∠DOA=1∶2∶3∶4，那么这四个角的度数分别为多少？解：设∠AOB的度数为k，则∠BOC=2k，∠COD=3k，∠DOA=4k，∵∠AOB+∠BOC+∠COD+∠DOA=360°，∴k+2k+3k+4k=360°.∴k=36°，即∠AOB=36°.∴∠BOC=36°×2=72°，∠COD=36°×3=108°，∠DOA=36°×4=144°.11．某人晚上6时后外出时表上时针与分针的夹角是110°，晚上7时前回家时表上时针与分针的夹角仍为110°，求此人外出了多少分.解：设此人外出了x分，则时针转过了(0.5x)°，分针转过了(6x)°，由题意得6x-0.5x=220，解得x=40.答:此人外出了40分.12．如图4-3-10①，射线OM把∠AOB分成两部分，图中有1+2=3(个)角；如图4-3-10②，射线OM1，OM2把∠AOB分成三部分，图中有1+2+3=6(个)角；如图4-3-10③，射线OM1，OM2，OM3把∠AOB分成四部分，图中有1+2+3+4=10(个)